2023年海南省高考數(shù)學(xué)壓軸題總復(fù)習(xí)（附答案解析）

2023年海南省高考數(shù)學(xué)壓軸題總復(fù)習(xí)

V2X2

1.已知橢圓C：^r+—=1(?>^>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,P是橢圓上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

a2bz

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的上頂點(diǎn)，O為心的中點(diǎn)，且直線PA與直線OD的斜率之

積恒為-4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若斜率為k且過橢圓C的上焦點(diǎn)/的直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,

N到y(tǒng)軸的距離之和最大時(shí)，求直線/的方程.

解：(1)由題意可知2a=4,所以。=2,所以A(0,2),

設(shè)P(xo>jo)>(xo，yoWO)，由。為肉的中點(diǎn)，可得。(年，一),

所以直線外的斜率3”二，直線。。的斜率奶。="處，

xoxo

因?yàn)橹本€PA與直線OD的斜率之積恒為-4,

匚…田一？yo+2

所以----?-----=-4,

x0X0

Vn2-4

即也—=-4,

XQ2

22

而P在橢圓上，所以+

4b2

所以---n——4,解得。2=1,

b2

所以橢圓的方程為：—+?=1;

4

(2)由(1)可得尸(0,V3),所以直線/的方程為：y=kx+痘,

設(shè)M(xi,yi),N(肥，y2),

y=fcx4-V3

聯(lián)立直線與橢圓的方程：2，整理可得：(4+然)/+2舊日-1=0,

乙v+%2n=1

4

則4=(26攵)2+4(4+F)=16^+16>0,jq+x2=菖冷,加0=37，

4+d4+r

易知點(diǎn)M,N到y(tǒng)軸的距離之和為團(tuán)-尤|=一40％2

,一2&/C、24

=(----2~)+---7

J4+/4+5

=4.I.必

](1+/)2+6(1+必)+9

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——2?-9——§

(1+/)+3+6

1+k"

當(dāng)且僅當(dāng)1+^=3,即左=±或時(shí)取等號(hào),

i+r

這時(shí)直線/的方程為：y=±&x+B

2.已知函數(shù)/(x)=—x+alnx.

(I)求在(1,/(D)處的切線方程(用含a的式子表示)

(II)討論/(x)的單調(diào)性；

(III)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)XI，X2.證明：―“"2)Va-2.

x1-x2

1

解：(I)V/(x)=--x+alnx(x>0),

???當(dāng)x=l時(shí)，/(I)=0,/(1)=-2+m

設(shè)切線方程為y=(-2+〃)x+b,代入(1,0),得b=2-a,

：.f(x)在(1,7(I))處的切線方程為>=(-2+a)x+2-a.

(II)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(x)=弋尸_，

設(shè)g(x)=1,注意到g(0)=-1,

①當(dāng)aWO時(shí)，g(x)VO恒成立，即/(x)V0恒成立，此時(shí)函數(shù)/G)在(0,+8)

上是減函數(shù)；

②當(dāng)〃>0時(shí)，判別式△=“2-4,

1°當(dāng)0VaW2時(shí),A^O,即ga)〈O,即，G)90恒成立,此時(shí)函數(shù)/(x)在(0,

+8)上是減函數(shù)；

c9…人?、加a-Va2-4a+Ja2-4

2當(dāng)a>2時(shí)，令，(x)>0,得：---------VxV—\----；

,22

令/'(x)<0,得：0Vx或x>a+J'T；

.?.當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在區(qū)間(“一"2-4,a+Va2-4)單調(diào)遞增，在(0,紇唬三),

J222

a—4

(--------，+°°)單調(diào)遞減；

2

綜上所述，綜上當(dāng)〃W2時(shí)，/(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，

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當(dāng)心2時(shí)，在（0,七~）,（一^，+8）上是減函數(shù),

a+vo2—4

在區(qū)間（上是增函數(shù)?

(III)(2)由(1)知〃>2,0VxiVlVx2，X1X2=1，

11

WO/(xi)-/(X2)=--xi+alnx\-[-―工2+〃加刈

=(X2-Xi)(H——)+。(lnx\-Inxi)

Xji%2

=2(%2-Xi)+aUnxi-Inx2),

則/(右)一f(%2)=_2+a(伍勺一仇一2)

、%]一%2X1~X21

則問題轉(zhuǎn)為證明處匚空工<1即可,

Xi-X2

即證明lnx\-lnx2>x\-X2f

,1I

則-In->x\---,

%iX1

]

即lnx\+lnx\>xi---,

X1

1

即證2歷xi>xi---在(0,1)上恒成立，

X1

1

設(shè)〃(x)=2bvc-x+—(0<x<l),其中/i(1)=0,

xif

求導(dǎo)得〃'(X)=2—1-[=-歡岑±1=-如或<0,

則力(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

1

:?h(x)>h(1),BP2lnx-x-F->0,

x

故2lwc>x—L,

x

皿/(31)一f(%2)-

則------------<a-2成乂.

Xi-x2

3.已知函數(shù)f(x)=71-n6/?).

（I）若函數(shù)/（x）在（1,/（l））處的切線與直線x-y=0平行，求實(shí)數(shù)〃的值;

（II）若〃=1時(shí).，函數(shù)/（X）恰有兩個(gè)零點(diǎn)XI，X2（0Vxi〈K2），證明：Xl+K2>2.

解：（I）因?yàn)椋邸＃?爰—右且切線與直線X7=0平行，

可得/（1）=〃-1=1,

所以n=2；

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1

(II)證明：當(dāng)n=l時(shí)，f(x)=m----hvc,

1

---

m4Znxx=0①

由題意知?1

_--

m上lnx2=0②

②一①得：，眸-9=基1,

紅一1

即*箕③

令亡=也，則12=比1，且>1，

X1

又因?yàn)橛菼+R2=X1+ZX|=(1+，)XI，由③知：)t=蕓5

所以'】=導(dǎo)

要證XI+X2>2,

只需證(1+t)扁>2,

t2-l

即證一^->2lnt,

1

即￡———2"￡>0,

2

令/i(t)=t——2"￡(七>1),則九'(t)=―—>0,

所以〃(/)在(1,+°°)上單調(diào)遞增且〃(1)=0,

所以當(dāng)任(1,+8)時(shí)，h(/)>0,

即XI+%2>2.

4.己知函數(shù)/(x)=or+/nx+l.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)對(duì)任意的x>0,不等式f(x)W,恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解：(1)定義域?yàn)?0,+8),1(x)=a+；=零

①若a20,則/(x)>0,f(x)在(0,+8)遞增，

②若aVO,則r(x)="三㈤，f(%)在(0,-i)遞增，在(一^,+8)遞減,

綜上知①a20,/(%)在(0,+8)遞增，

@a<0,f(x)在(0,--)遞增，(一工，+8)遞減；

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(2)不等式以+歷x+lW/恒成立，等價(jià)于aW=詈=在(0,+8)恒成立，

令。⑶=之笠1.QO,則/⑺=…廣嗎

XX

1

令h(x)=(x-1)d+hvc,x>0,/i\x)=xex+->0.

所以(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

而〃(1)=0,所以燼(0,1)時(shí)，h(x)<0,即g'(k)<0,y=g(x)單調(diào)遞減；

(1,+8)時(shí)，力(X)>0,即/(x)>0,y=g(x)單調(diào)遞增.

所以在x=l處y=g(x)取得最小值g(1)=e-1,所以aWe-1,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是{a|〃We-1}.

%2

5.在平面直角坐標(biāo)系中，A、B分別為橢圓「：—+y2=1的上、下頂點(diǎn)，若動(dòng)直線/過

2

點(diǎn)P(0,b)Cb>l),且與橢圓「相交于C、。兩個(gè)不同點(diǎn)(直線/與y軸不重合，且C、

。兩點(diǎn)在)，軸右側(cè)，C在。的上方)，直線AD與BC相交于點(diǎn)Q.

(1)設(shè)廠的兩焦點(diǎn)為尸1、尸2，求/尸MF2的值；

t&—

(2)若6=3,且PO=*PC,求點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；

(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得點(diǎn)。的縱坐標(biāo)恒為?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不

存在，請(qǐng)說明理由.

解：(1)由橢圓「的方程知，F(xiàn)i(-1,0),&(1，0),A(0,1),則NOA尸2=45°,

AZFIAF2=90°；

(2)若b=3,設(shè)C、。的兩點(diǎn)坐標(biāo)為。(xi,“)，D(X2,”),

VPZT)=|3PCT,

3333

???。2,丫2-3)=2。1，yi-3),即亞=2%1，丫2=2%一2，

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x2

而C(xi,yi),D(X2，＞2)均在萬+y?=1上,

住/+2y/=2

代入得葭+ld，解得外7

9,

**?72=分別代入「解得，*2=）

???直線BC的方程為y=2x-1,直線A。的方程為產(chǎn)-x+1,

聯(lián)立《二：：二,解得X=|,

??.Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為|；

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,設(shè)直線/的方程為y=fc<+6（*<0,b>\）,

點(diǎn)C,。的坐標(biāo)為C（xi，yi）,D（X2,”），

v—kxb

2-c2c，得（2必+l）/+4助x+2后-2=0,由4=16必y-8（2乒+1）（序-1）

{產(chǎn)+2yz=2

>0,得上2>與1,

_4kb

\xi+x2

由“2廬”+'可得/￡尤1&=啜-（%1+%2），

2必+1

直線BC的方程為y=px—l,直線4。的方程為丁=第二久+1,

X1x2

（71+11

-\y=x~X~X

而x\yi=kx\xz+bx\,12yl=kx\xi+bx2，聯(lián)立<，得y=

卜=號(hào)1+1

（巧丫2+彳2為）+（%2一巧）_2kxl白2+依1+12）+（%2-41）_（笫1+。2）+依2-勺）_1_1

2

02丫1一巧為）+（*1+犯）-貼2-勺）+（勺+乂2）-h（x2-x1）+b（x1+x2）一萬一可

1

則方=3>1,因此，存在點(diǎn)P（0,3）,使得點(diǎn)。的縱坐標(biāo)恒為

6.己知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為（0,1）,離心率e=竽，過橢圓的右焦點(diǎn)尸的

直線/與坐標(biāo)軸不垂直，且交橢圓于A,B兩點(diǎn)

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（II）當(dāng)直線I的斜率為3時(shí)，求弦長(zhǎng)HBI的值.

（III）設(shè)M（機(jī)，0）是線段。尸（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（而+詁）J_Ab,求

m的取值范圍.

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解：（I）由題意可得8=1,6=（=竽，。2=〃2一。2,

解得:a2=5,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y+/=1;

（II）由（I）可得：右焦點(diǎn)F（2,0）,

由題意設(shè)直線/的方程：＞—（x-2）,即x=2y+2,設(shè)A（xi，yi）,B（0”）,

x=2y+2

1

聯(lián)立直線與橢圓的方程：x22整理可得：9）?+8y-1=0,》+”=一*y1y=

匕+v=i3'

6441O病

--+--

所以弦長(zhǎng)H3|=+22j（yi+丫2）2-4yly2=V5*8199

10V5

即弦長(zhǎng)H8|的值^

（III）由（I）的右焦點(diǎn)尸（2,0）,由題意可得0＜相＜2,

設(shè)直線/的方程為x=（y+2,設(shè)A（xi，＞3）,B（必y2）?

'%=￡y+2

聯(lián)立直線/與橢圓的方程：久2，整理可得：（5+於）＞2+綺-1=0,

H+y=1

—4t—120

yi+^2=--2?yiy2=-~~29Xl+X2=1（?+”）+4=--2,X\-X2=t（yi-）2）

JIL?JILIL

—＞—＞

MA+MB=（xi-/w,y\）+（X2-tn,”）=（xi+x2-2m,yi+”），

AB=（X2-X1,”-yi）,因?yàn)椋ㄚA+詁）

所以（xi+尤2-2相）?（X2-xi）+（》+”）?（"-yi）=0,

.20—4「

整理可得：（-7-2m＞t一一與=0,y0,

5+t25+t2

所以可得》=3一5＞0,解得：mV,,

所以可得：ov〃?v，

6

所以m的取值范圍（0,-）.

7.已知項(xiàng)數(shù)為加（m€N*,/心2）的數(shù)列｛〃〃｝滿足如下條件：①的GN*（n=l,2,…，m）；

②0Va2V…若數(shù)列仍〃）滿足匕九=步”展其中〃=1,2,…,

加，則稱｛瓦｝為｛斯｝的“心靈契合數(shù)列”.

（1）數(shù)列1,5,9,11,15是否存在“心靈契合數(shù)列”，若存在，寫出其“心靈契合數(shù)

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列”；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(2)若｛與｝為｛斯｝的“心靈契合數(shù)列”，判斷數(shù)列｛加｝的單調(diào)性，并予以證明；

(3)已知數(shù)列｛%｝存在“心靈契合數(shù)列”仍“),且“1=1,而=1025,求力的最大值.

解：(1)數(shù)列1,5,9,11,15不存在“心靈契合數(shù)列”，：1+5+9+11+15=41."=華==10,

D—1

,41-50,41-9。,41-1115a—

歷=17T=9,b3=-^-=S,b4==TgN.

二數(shù)列1,5,9,11,15不存在“心靈契合數(shù)列”.

a?i+1

(2)數(shù)列｛為｝為單調(diào)遞減數(shù)列.-：bn+l-b?=~^，〃€N*.又ai<“2

v…，斯-研1V0.???加1V。，；?數(shù)列｛瓦｝為單調(diào)遞減數(shù)列.

(3)VlWiVjWm,bi-bj=?歷6N*,b\>bi>.......>bm.：.b,-bj&C,：.bi-

bj=籌二?CN*,：.b\-bm=Q"?=若|eN*,'：bn-\-b?=券竽生"Aan-an-\^m

-1.

又am-a\=(am-am-1)+(〃〃？-1-am-2)+.....+(。2-)+〃12(加-1)+(TW-1)+........

+(zn-1)=(m-1)2.

0M「1024*

:.(m-1)2<1O24,即加〈33.又----GN.???mW33.

m-1

33

例如：“"=32〃-31,(1W"W33),此時(shí)，“=三(%啜)—即=一〃+530eN*,且數(shù)列｛為｝

為單調(diào)遞減數(shù)列，故滿足題意.

二"?的最大值為33.

8.設(shè)數(shù)列A：a\,a2,,,??即(〃23)的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且aiWazW…Wan.若對(duì)任意依｛3,

4,…，〃｝,存在正整數(shù)3_/使得以=4+可，則稱數(shù)列A具有性質(zhì)7.

(I)判斷數(shù)列4：1,2,4,7與數(shù)列4：1，2,3,6是否具有性質(zhì)T；(只需寫出結(jié)

論)

(II)若數(shù)列A具有性質(zhì)T,且m=l,6=2,即=200,求”的最小值；

(III)若集合S=｛\,2,3,…，2019,2020｝=5iUS2U53U54US5USe，且SCy=0

(任意i,慶｛1,2,--6),iWj).求證：存在Si,使得從S中可以選取若干元素(可

重復(fù)選取)組成一個(gè)具有性質(zhì)T的數(shù)列.

解：(I)：3W1+1,二1,3,4,7不具有性質(zhì)P；

V2=l+1,3=1+2,5=2+3,Al,2,3,5具有性質(zhì)產(chǎn),

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即數(shù)列4不具有性質(zhì)T,數(shù)列A2具有性質(zhì)T.

(II)由題意可知，a2—2,4342a2=4,。442。348,as<2?7<128,.,.n>9.

若〃=9,Va9=200且。942勰，.'.128>a8>100,

同理，64》。7》50’32》卷》25,16》〃5》12.5,8》〃4》6.25,4》“3》3.125,

?.?數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，43=4,.?.數(shù)列前三項(xiàng)為1,2,4.

；數(shù)列A具有性質(zhì)T,04只可能為4,5,6,8之一，而又：8》。4:6.25,，“4=8,

同理，有45=16,“6=32,47=64,48=128,

此時(shí)數(shù)列為1,2,4,8,16,32,64,128,200.

但數(shù)列中存在l4iQ<9,使得200=由+4，

,該數(shù)列不具有性質(zhì)T,???"210.

當(dāng)”=10時(shí)，取A：1,2,4,8,16,32,36,64,100,200(構(gòu)造數(shù)列不唯一)，

A：1,2,4,8,16,32,36,64,100,200,

經(jīng)驗(yàn)證，此數(shù)列具有性質(zhì)7,；?〃的最小值為10.

(III)假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)任意&(i=l,2,…，6)都有：

若正整數(shù)a,b&Si，a<b,貝!Ib-aCSi，

否則，當(dāng)a<b-a時(shí)，a,b-a,b是一個(gè)具有性質(zhì)T的數(shù)列；

當(dāng)a>b-a時(shí)，b-a,a,b是一個(gè)具有性質(zhì)T的數(shù)列；

當(dāng)時(shí)，a,a,〃是一個(gè)具有性質(zhì)T的函數(shù).

(/)由題意可知，這6個(gè)集合中至少有一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)不少于337個(gè)，

不妨設(shè)此集合為51,從Si中取出337個(gè)數(shù)，記為a\,ai,4/337且ai<a2<",<

0137,

令集合M={。337-礎(chǔ)=1，2,336}US.

由假設(shè)，對(duì)任意i=l,2,336,a337-ai^Si,.,.MCS2US3US4US5U56，

(")在S2,53,8，55,56中至少有一個(gè)集合包含M中的至少68個(gè)元素，

不妨設(shè)這個(gè)集合為Si,從S2CN1中取出68個(gè)數(shù)，記為b\,bi，??-,Z%8,且b\<bi

<"<</>68>

令集合敞={加8-師=1，2,67}C5.

由假設(shè)加s-bi生S2,

對(duì)任意k=l,2,…，68,存在.”€{1,2,336}使得bk=a337-aSk，

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「?對(duì)任意i=1/2,…，67，b6s—bt=(a337—aS6Q)—(a137—as.)=as.—aS6Q,

由假設(shè)as.-aS68￡Si,??.Z?68-。任Si,???加8-"ESiUS2,

???N2cs3US4US5US6.

(z7z)在S3,S4,S5,S6中至少有一個(gè)集合包含N2中的至少17個(gè)元素，

不妨設(shè)這個(gè)集合為S3，從S3GN2中取出17個(gè)數(shù)，

記為Cl，C2，…，C17,且ClVc2V…VC17，

令集合N3={ci7-Ci|i=l,2,16}CS,

由假設(shè)c」7-5郃3,對(duì)任意k=l,2,?,,,17,存在以W{1,2,…，67}使得以=b6Q-J，

，對(duì)任意i=1,2,—,16/—7—q=(d8—妃7)一(壇8—如)=如一二0，

同樣，由假設(shè)可得如一瓦17CSiU52，.?.C17-Ci￡S|US2US3，

.\7V3c54US5US6.

(V)同樣，在S5，S6中至少有一個(gè)集合包含N4中的至少3個(gè)元素，

不妨設(shè)這個(gè)集合為$5,從S5GN4中取出3個(gè)數(shù)，記為ei，《2，63，且ei<e2<e3>

同理可得M={e3-ei，63-。2}"6.

(Vi)由假設(shè)可得e2~ei=(e3-ei)-(03-62)生Ss，

同上可知，62-e摩S1US2US3US4US5,

而又?.Z2-eiWS,.?.e2-eiWS6，矛盾.

???假設(shè)不成立，，原命題得證.

9.已知函數(shù)/(x)g(x)=2lwc+2a(〃￡R).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：存在尤(0,1),使得方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

解：(1)由/(X)=瑁9,得r(x)=「+2a%La#-。).

“十0(x+a)

令y=7+2ar-Q,貝岫△=4/+4公0,得-』W0,

:(x)20在(-8,-a)U(-〃，+8)上恒成立，

當(dāng)a<-1或a>0時(shí)，由j?+2ax-Q>0,得X>—a+―必+a或％V—a—yja24-a,

由/+2以-(7<0,得—a—Va2-Fa<xV—a+Va24-a,

?二當(dāng)-1WQWO時(shí)，fCx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-a)9(-〃，+8)；

當(dāng)aV-1或。>0時(shí):/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-a-Va24-a),(-a4-Va24-a,

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+00),

單調(diào)遞減區(qū)間為(—a-'a?+a,-a),(―Q,-CL4-Vcz2+Q).

(2)令九(％)=/(%)—g(x)=—2仇久一2aCx>1),

則當(dāng)匪(0,1)時(shí)，*(x)=(x+2a*-(1二爐?土尸)1.

(x+a)x

令li(x)=0,則x=1+V1+a,

???當(dāng)1VXV1+時(shí)，K(x)<0；當(dāng)l+VfT^<r時(shí)，”(x)>0,

：.h(x)在(L1+dfTZ)上單調(diào)遞減，在(1+VTT^,+8)上單調(diào)遞增，

.____i

=/i(l4-V1+a)?又0(1)=1-2a,當(dāng)OVaV^時(shí)，h(x)VO,

當(dāng)aN；時(shí)，取x=e2,則x-2加?2=e2-4-2=e2-6>0,即力(e?)>0,

又h(x)在(1+WTH,+8)上單調(diào)遞增，/i(x)mn=h(l+y/TTa)<0,

...由零點(diǎn)存在性定理知，力co在(i+vm,+8)上存在唯一的零點(diǎn)，

.?.當(dāng)a時(shí)，方程/?(x)=0在(1,+00)上有唯一解，

即存在(0,1),方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

10.已知函數(shù)f(x)=/-2hx-Inx.

(I)討論:(x)的單調(diào)性；

(II)設(shè)620,若/(元)在xo處有極值，求證：f(xo)<(1+/力2).

(I)解：由題得/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

r12x2-2bx-l

Jf(x)=2x-2h——x=----x----,

由/(x)>0,得Z+J爐;

由，(x)V0,得OVxv":+2,

b+7b2+2b+A//?2+2

所以函數(shù)/G)在(0,---)上單調(diào)遞減，在(---,+8)上單調(diào)遞增.

(II)證明：由(1)得，函數(shù)/(X)在犬=空畛匕處取得極小值，

所以當(dāng)xo=地寶時(shí),極小值為f(xo),

因?yàn)閒(xo)=2痣-2%)-1=0,

x0

所以2bxo=2XQ—1r

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因?yàn)閎20,xo>O,

所以2詔—INO,可得x()2?，

—

所以/(xo)=%o—2Z?xo+/nxo=%o(2詔-1)-lnxo=-XQ—/HXO+1,

V2

令函數(shù)g(x)=-x29-lnx+\,xG[—,+8),

則g'(x)=-2x-i<0,

y[2

所以函數(shù)g(X)在[手，+8)上單調(diào)遞減，

y/21\/211

所以g(x)Wg(—)=-5—In—+1=5+弓/"2,

°°22222

因此,(JCO)<(1+/?2).

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)直線48交拋物線「：y2=4x于A,8兩點(diǎn).

(1)若乙4。8=90°,證明直線AB過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；

(2)點(diǎn)"為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作與y軸垂直的直線交拋物線「：，=4x于C點(diǎn)；點(diǎn)

N為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)N作與y軸垂直的直線交拋物線「：V=4x于點(diǎn)p.設(shè)^ABC的

面積51，△APC的面積為

(i)若A8過定點(diǎn)(2,1),求使Si取最小值時(shí)，直線AB的方程；

(a)求包的值.

S2

解：(1)證明：由題意可設(shè)直線AB的方程為x=f)，+,〃，

代入拋物線的方程丁=以，可得y2-4ty-4m=0,

△=16/2+16m>0,即d+m>0,

設(shè)A(xi,y\),B(%2,”)，則yi+”=4f,yi”=-4/m

由NAO3=90°,所以辦?辦=0,即xix2+yiy2=0，

又見=不|2，12=爐2、所以適"2"2+?1”=。，

故yi>2=-16,所以-4m=-16,即m=4,

因此直線AB的方程為x=(y+4,

該直線恒過定點(diǎn)(4,0)；

(2)(z)因?yàn)锳B過定點(diǎn)(2,1),所以由(1)可得2=什機(jī)，即機(jī)=2-，，

△=16於+16〃?=16(z2-t+2)>0恒成立，yi+”=4。y\y2=~4/n=4r-8,

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由題意可得M（生，?），。?），

22162

所以四|=華-^4^=^^-^^=^4

ZloZloio

所以51=1|CM|e|yi-”1=務(wù)凹-）'2p,

因?yàn)镸-"1=J（yi+二）2—4yly2=6t2-4（4C-8）=4Vt2-t4-2>2>/7,此時(shí)t=1

時(shí)，等號(hào)成立.

所以51=否）“-”|3N號(hào)?（2近）3=42,

」7A/71Q

當(dāng)Si取得最小值一二一時(shí)，/=亍m=

4乙乙

直線AB的方程為x=^y+1,即2x-y-3=0；

（ii）由題意可得Si=21cM?|yi-"1，S2=$PN]?/1-”1，

由（2）（i）可得|CM=M；g2（此處M可以理解為A,B兩點(diǎn)處的縱向高度差）,

同理可得0V|=郵資"=如,]一”|2,

由⑺可得Si=&yi-”產(chǎn)，（此處歷-可以理解為A,8兩點(diǎn)的縱向高度差），

11O

由題思同理可得S2=兗（/1-”|）二

XV2

⑵已知橢圓G-+-=1（,>/,>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，且過點(diǎn)（-1,力

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(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P(x,y)為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓C的左、

右頂點(diǎn)，點(diǎn)P'滿足PP'=(4-x,0).

—>

①證明：粵^為定值；

|PF|

②設(shè)。是直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn),直線AQ、BQ分別另交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求|例Q+|NF|

的最小值.

19

解：(1)由題意可得〃=2c,—+—T=1，a1=tr+c2,

a24b2

解得：cP=4,廿=3,

22

所以橢圓的方程為：二x+-y=1；

43

(2)由(1)可得A(-2,0),B(2,0),F(1,0),

t%2y2

①因?yàn)镻(x,y)為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P'滿足PP'=(4-X,0),所以一+J=l；

43

T

所以|PP'|=|4-x|

\PF\=V(x-l)2+y2=J(x-1)2+3(1-^)=42-2x+4=1J(x-4尸=^\x-

4|，

所以：四=厘=2,

\PF\2,|4-X|

—>

所以可證曾為定值2.

\PF\

②由題意設(shè)。(4,f),所以以0=擊=2,所以直線A。的方程為：y=A(x+2),

'=召0+2）整理可得：（27+P），+4?+4尸-108,

聯(lián)立直線AQ與橢圓的方程:

3x2+4y2-12=0

由i、lo*4t2-108grpi_2t2+54

所以-2?XM=----廣所以XM=---------v

27+/27+/

同理kBQ=4q=4，所以直線BQ的方程：y=（x-2）,

整理可得：（3+P）x2-4^+4?-12=0,

,3x2+4y2-12=0

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「仁i、［r4亡2—12rc、i2t2—6

所以2XAF=----廠，所以XN=----廠，

3+產(chǎn)3+產(chǎn)

因?yàn)閤=4為右準(zhǔn)線，所以由到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率e=/,可得:

ill-七已+27t^—3

|四+|沏=a-XM)+2(4』)=產(chǎn)』』)=4-上1=4-(而丁+—

t2+^-+30

當(dāng)且僅當(dāng)P=81,即/=±3時(shí)取等號(hào).

所以|Mfl+|NF|的最小值為3.

13.正整數(shù)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為％,前〃項(xiàng)積7”，若?€N*(i=l,2,…〃)，則稱數(shù)

列｛斯｝為“Z數(shù)列”.

(I)判斷下列數(shù)列是否是Z數(shù)列，并說明理由；

①2,2,4,8；②8,24,40,56.

(H)若數(shù)列｛或｝是Z數(shù)列，且宵=2.求S3和T3；

(III)是否存在等差數(shù)列是Z數(shù)列？請(qǐng)闡述理由.

解：(1)(D由題意可知51=2,52=4,$3=8,54=16,T\=2,乃=4,兀=16,方=128,

所以①是Z數(shù)列；

②由題意可知S1=8,S2=32,S3=72,S4=128,。=8,乃=192,乃=7680,方=430080,

所以②不是Z數(shù)列；

(II)數(shù)列｛aa｝是Z數(shù)列，且“2=2.設(shè)告=--七=k€N*,即2al=An+2Z,

所以(2-k)a\=2k,即0=5—rEN*,所以2=1,則〃i=2,

乙一K

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則二二----=ZGN*,WJ6T3=t=1,2,3,

S34+a34T

所以當(dāng)f=l時(shí)，顯然不成立，

當(dāng)，=2時(shí)，43=4,成立，

當(dāng)f=3時(shí)，43=12,成立，

所以當(dāng)。3=4,53=8,73=16；當(dāng)?shù)?12,53=16,乃=48；

(III)假設(shè)存在等差數(shù)列｛斯｝為是Z數(shù)列，

aababc

由等差數(shù)列的定義可得至少存在三項(xiàng)a,b,c成等差數(shù)列，即有一=1,--GN*,——=

aa+ba+b+c

ac

—GN*,

3

ac

由a+c=2。，可得/-EN*,可得mc中至少有一個(gè)為3的倍數(shù)，

abc3ba

可設(shè)。=3,則一;—=cGN*,只要一7=3-'EN*,可得。=6,c=9,即3,6,9

a+b+c3+b匕+3

成等差數(shù)列，且為Z數(shù)列；

abc6bas

若〃=6,則------=2cGN*,只要----=6—,可得b=6,c=6,即6,6,6成

a+b+c6+bb+6

等差數(shù)列，且為Z數(shù)列；

或b=12,c=18,即6,12,18成等差數(shù)列，且為Z數(shù)列；或6=30,c=54,即6,30,

54成等差數(shù)列，且為Z數(shù)列；

同樣〃=9,12,…，3〃(〃€N*),…可得b,c的值，使得它們成等差數(shù)列,且為Z數(shù)列.

綜上可得存在等差數(shù)列是Z數(shù)列.

14.函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意a,pGR,都有/(4)=M(0)+9(a),且/(2)=2,數(shù)

n

列｛詞滿足an=f(2)(nGN+).

(1)證明數(shù)列｛端｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛d｝前〃項(xiàng)和為S”且劣=嗎A,問是否存在正整數(shù)如使得⑴+l)(s”

-4)+I95”<0成立，若存在，求機(jī)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：⑴?.?數(shù)列｛斯｝滿足斯=f(2")(〃€N+),

'.a\—f(2)=2,

又：對(duì)任意a,pGR,都有f(鄧)=qf(B)+^f(a),

二即+1=/(2"+1)=2/-(2w)+27(2)=2a”+2"+i,

兩邊同時(shí)除以2"+］得：器—愛=1，

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???數(shù)列就為等差數(shù)列，首項(xiàng)為j=1,公差為1,

，段=〃，即an=n'T.

(2)由(1)可知b=嗎地=喘，

anZ

ill11

得：Sn=2x,+3x/+4x/+…+?ix2九-1+(幾+1)X開，

11111

-S=2x—+3x—+........+nx—+(n+l)x,

2n22232n2n+1

?-111111371+3

兩式相減得二S=—+—+???+--(n+1)x+-=--+1，

221222n2n+1222n+1

?c_2_九+3

,n

假設(shè)存在正整數(shù)加,使得(加+l)(Sm-4)+19及1Vo成立,BP2+m-16>0,

由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)單調(diào)性知：F(.m)=2"'+"-16,“CN+為增函數(shù).

又,：F(3)=23+3-16=-5<0,F(4)=24+4-16=4>0,

當(dāng)機(jī)24時(shí)恒有F(相)=2m+m-16>0成立.

故存在正整數(shù)相，使得(/n+1)(Sm-4)+19源<0成立，，"的最小值為4.

1

15.已知函數(shù)/G)W-x+Hnx.

(I)求/(x)在(1,/(I))處的切線方程(用含〃的式子表示)

(II)討論/(%)的單調(diào)性；

(III)若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)幻，血，證明：<-2.

Xi-%2a

解：(I),:于(x)=—x+alnx(x>0),

_-%2+QX-1

(x)(x>0),

/?當(dāng)x=1時(shí)，/(1)=0,f(1)=-2+m

設(shè)切線方程為y=(-2+〃)x+力，代入(1,0),得b=2-a,

：.f(x)在(1,/(D)處的切線方程為了=