窄帶高斯隨機過程的產(chǎn)生

本科實驗報告實驗名稱：窄帶高斯隨機過程的產(chǎn)生一、實驗?zāi)康氖煜ふ瓗щS機過程的定義，了解窄帶隨機過程產(chǎn)生的原理與方法，最后估計實驗產(chǎn)生的窄帶隨機過程的功率譜；掌握具有指定功率譜的隨機過程產(chǎn)生方法，并以此產(chǎn)生窄帶隨機過程。二、實驗內(nèi)容本實驗?zāi)M產(chǎn)生一段時長為5ms的窄帶高頻隨機過程X(t)的樣本函數(shù)。根據(jù)窄帶隨機過程的理論，X(t)可表示為其中，Ac(t)和As(t)均為低頻的高斯隨機過程，因此，要模擬產(chǎn)生X(t)，首先要產(chǎn)生兩個相互獨立的高斯隨機過程Ac(t)和As(t)，然后用兩個正交載波cos2πf0t和sin2πf0t進行調(diào)制，如圖所示。假定Ac(t)和As(t)的功率譜密度均為，其中為功率譜密度的3dB帶寬。在3.7節(jié)中介紹了有色高斯隨機過程的產(chǎn)生，請按照頻域法或時域濾波器法分別產(chǎn)生時長5ms的低通過程Ac(t)和As(t)，然后按圖所示合成X(t)，其中f0=1000/π，要求分別畫出模擬產(chǎn)生的Ac(t)、As(t)、X(t)的波形。三、實驗原理、有色高斯隨機過程的模擬——頻域法首先將X(t)進行周期延拓，得到一個周期信號，再對周期信號進行傅里葉級數(shù)展開，即由于傅里葉級數(shù)是Xk的線性組合，所以，如果Xk是零均值的高斯隨機變量，那么也是零均值高斯過程，如果{Xk}是兩兩正交的序列，則周期信號的功率譜為線譜，即通過選擇gk就可以得到期望的功率譜。假定Gx(f)是帶限的，即(|f|>B)那么，{gk2}只有有限項，即{}，其中M=[B/f0]，[·]表示取整，與此對應(yīng)的傅里葉級數(shù)系數(shù){Xk}也是2M+1項。因此，只需產(chǎn)生2M+1個相互正交的零均值高斯隨機變量{}，其方差，并在1式中將時間限定為(0,Td)就可以得到模擬過程X(t)。應(yīng)與成比例，即，系數(shù)β的選擇滿足下式：即總結(jié)如下：1.根據(jù)所需過程的時長Td確定頻率f0，并確定傅里葉級數(shù)系數(shù)的長度M=[B/f0]；2.根據(jù)確定β；3.產(chǎn)生2M+1個獨立的高斯隨機變量，即構(gòu)建時域樣本函數(shù)其中為任意小的時間間隔。（二）、有色高斯隨機過程的模擬——時域濾波法功率譜為1的白噪聲通過線性系統(tǒng)，輸出的是服從高斯分布的，且輸出的功率譜為，因此要產(chǎn)生功率譜為的有色高斯噪聲，只需設(shè)計一個濾波器即可，該濾波器的傳遞函數(shù)應(yīng)滿足圖2：時域濾波法產(chǎn)生有色高斯噪聲的示意圖（三）、窄帶隨機過程的產(chǎn)生X(t)=Ac(t)cos2pf0t-As(t)sin2pf0t用相同估計方法產(chǎn)生兩次窄帶高斯序列，分別為Ac(t)和As(t),再帶入上式與載波相乘并作變換，就得到了窄帶隨機過程。四、實驗過程及結(jié)果、有色高斯隨機過程的模擬——頻域法因為Td=5ms,則f0=200Hz；由功率譜密度可知是功率譜密度的3dB帶寬，嚴(yán)格來說，該過程帶寬是無限的，但頻率足夠高時，功率譜密度已經(jīng)很小，取。故有M=30。計算系數(shù)β：3.產(chǎn)生2M+1個獨立的高斯隨機變量，即構(gòu)建時域樣本函數(shù)其中為任意小的時間間隔，這里取。（二）、窄帶隨機過程的產(chǎn)生用同樣的方法產(chǎn)生兩個獨立的高斯隨機信號As(t)和Ac(t)，再用載波進行調(diào)制，即可得到最終信號。五、實驗結(jié)論及分析有色高斯隨機過程的模擬——頻域法圖3：模擬產(chǎn)生的具有給定功率譜的高斯隨機過程有色高斯隨機過程的模擬——時域濾波法圖4：時域濾波法產(chǎn)生有色高斯噪聲窄帶隨機過程的產(chǎn)生按圖3、4所示方法產(chǎn)生Ac(t)和As(t)，并進行載波調(diào)制，產(chǎn)生窄帶高斯隨機過程：圖5：窄帶高斯隨機過程六、心得體會本實驗鍛煉了我的MATLAB編程能力，學(xué)到了隨機信號模擬的基本函數(shù)；本實驗讓我對有色高斯噪聲有了更深入的認(rèn)識，學(xué)會了模擬產(chǎn)生具有特定頻率譜的高斯隨機過程；了解了頻域法和時域濾波法的原理和思想；鍛煉了實踐能力和自學(xué)能力。七、代碼附錄%窄帶隨機過程的產(chǎn)生clc;clear;%設(shè)置參數(shù)fc=1000/pi;%信號的載波頻率dt=0.00001;%采樣間隔Td=0.005;%信號時長df=1000;%3dB帶寬B=6*df;fo=1/Td;%中心頻率點M=floor(B*Td);%傅里葉級數(shù)系數(shù)長度m=[-M:M];I=sqrt(-1);%虛數(shù)ix=0:0.01:10;psd=1./(1+x.^4);%功率譜密度的函數(shù)表達式symsfrealpower=vpa(int(1/(1+(f/1000)^4),-6000,6000),5);%功率絕對大小s=1./(1+((m*fo)/df).^4);%以fo為單位，s即為各個離散點處功率譜密度函數(shù)的值beta=power/sum(s);%系數(shù)βs=beta*s;%s=∑Gx(kfo)，而所需的，故beta*s即為所要的功率譜密度%原功率譜密度函數(shù)圖-8000Hz-8000Hzf=[-8:0.01:8]*df;psd0=1./(1+(f/df).^4);%作圖顯示subplot211;stem(m*fo,s/fo,'b');%點線圖，橫軸為頻率，以fo為單位值，縱軸為功率譜相對值holdon;plot(f,psd0,'r');%連續(xù)的功率譜密度axis([-8*df8*df01.2]);xlabel('頻率(Hz)');ylabel('功率譜');%生成時域信號對應(yīng)的傅立葉變換z0=randn(1);z0=z0*sqrt(s(M+1));zplus=sqrt(s(M+2:2*M+1)/2).*(randn(1,M)+I*randn(1,M));zminus=conj(fliplr(zplus));z=[zminusz0zplus];%做反傅立葉變換，求出時域信號，即窄帶隨機過程頻域法高斯有色信號X(t)Ac(t)t=0:dt:Td;%時長5msX=zeros(1,length(t));form=-M:MX=X+z(m+M+1)*exp(I*2*pi*m*fo*t);end;holdon;subplot212;plot(t*1000,real(X),'b');xlabel('時間(ms)');ylabel('X(t)');T=0.005;%時域長度5msfs=100000;%采樣頻率10kHzn=round(T*fs)+1;%采樣點數(shù)t=linspace(0,T,n);W=randn(1,n);%高斯白噪聲w0=sqrt(2)*pi*df;h=-2*w0*exp(-w0*t).*cos(w0*t);Y=conv(W,h);As=T*Y(1:n);%生成時域信號對應(yīng)的傅立葉變換z0=randn(1);z0=z0*sqrt(s(M+1));zplus=sqrt(s(M+2:2*M+1)/2).*(randn(1,M)+I*randn(1,M));zminus=conj(fliplr(zplus));z=[zminusz0zplus];%做反傅立葉變換，求出時域信號，即窄帶隨機過程頻域法高斯有色信號X(t)Ac(t)t=0:dt:Td;%時長5msAs=zeros(1,length(t));form=-M:MAs=As+z(m+M+1)*exp(I*2*pi*m*fo*t);end;figuresubplot211plot(t,As)xlabel('時間(s)');ylabel('Z(t)');%合成信號X(t)t=0:dt:Td;X=