常微分方程的初等解法-畢業(yè)論文

常微分方程的初等解法PAGEPAGE221．常微分方程的基本概況1.1.定義：自變量﹑未知函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）組成的關(guān)系式，得到的便是微分方程，通過求解微分方程求出未知函數(shù)，自變量只有一個的微分方程稱為常微分方程。1.2.研究對象：常微分方程是研究自然科學(xué)和社會科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運動﹑演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理﹑化學(xué)﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑醫(yī)學(xué)﹑經(jīng)濟和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當?shù)某Ｎ⒎址匠?。如牛頓運動規(guī)律、萬有引力﹑能量守恒﹑人口發(fā)展規(guī)律﹑生態(tài)總?cè)焊偁帺p疾病傳染﹑遺傳基因變異﹑股票的漲伏趨勢﹑利率的浮動﹑市場均衡價格的變化等。對這些規(guī)律的描述﹑認識和分析就歸結(jié)為對相應(yīng)的常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來越多的應(yīng)用于社會科學(xué)各個領(lǐng)域。1.3.特點：常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關(guān)幾點簡述一下，以了解常微分方程的特點。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達式，了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進行關(guān)于解的其他研究。1.4.應(yīng)用：現(xiàn)在，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。應(yīng)該說，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發(fā)展，使這門學(xué)科的理論更加完善。2.一階的常微分方程的初等解法一階常微分的初等解法包括變量分離方程與變量變換﹑可以化為變量分離方程的類型﹑線性微分方程與常數(shù)變易法﹑恰當微分方程與積分因子，下面我們就具體分析一階常微分方程的初等解法。2.1、變量分離方程法形如，（2.1）的方程，稱為變量分離方程，這里的，分別是x，y的連續(xù)函數(shù)。如果，我們可將（2.1）改寫成，這樣變量就“分離”開來了。兩邊積分得到，（2.2）。例1：方程就可以用變量分離法求解方程解：變量分離，得到，兩邊積分，即得，因而，通解為，（c為任意常數(shù)）2.2、可化為變量分離方程的類型(1)形如，（2.3）的方程，稱為齊次微分方程，這里是u的連續(xù)函數(shù)。作變量變換，（2.4）即，于是，（2.5）.將（2.4），（2.5）代入（2.3），則原方程變?yōu)?，整理后，得?(2.6).方程（2.6）是一個變量分離方程，這就所為的可以化為變量分離的方程。例2方程就是一個可以化為變量分離的方程。解這是齊次微分方程，以及代入，則原方程變?yōu)?。即。將上式分離變量，既有，兩邊積分，得到，（為任意常數(shù)）整理，得到，令，得到將代入上式，得到方程的通解為(2)形如,(2.7)的方程也可以經(jīng)變量變換化為變量分離方程，，，，，，均為常數(shù)。我們分三種情況來討論：①(常數(shù))情形。這時方程化為，有通解，其中c為任意常數(shù)。②情形。令，這時有是變量分離方程。③情形。如果方程(2.7)中，不全為零，方程右端分子﹑分母都是x，y的一次多項式，因此（2.8）.代表Oxy平面上兩條相交的直線，設(shè)交點為。若令（2.9）。則（2.8）化為從而（2.7）變?yōu)?，?.10）。因此，求解上述變量分離方程，最后代回原變量即可得原方程（2.7）的解。如果方程（2.7）中，可不必求解（2.8），直接取變換即可。上述解題的方法和步驟也適用于比方程（2.7）更一般的方程類型。例3方程就可以用上述方法來求解。解解方程組得x=1，y=2.令代入原方程，則有,再令,即,則上式化為，兩邊積分，得，因此，記，并代回原變量，得，把代入上式得整理，得(c為任意常數(shù))2.3、線性微分方程與常數(shù)變易法一階線性微分方程，（2.9）。其中P（x），Q（x）在考慮的區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù)。若Q（x）=0，（2.9）變?yōu)?，?.10），(2.10)稱為一階其次線性微分方程。若，（2.9）稱為一階非其次線性微分方程。（2.10）是變量分離方程它的解為，（2.11）這里的c為任意常數(shù)?，F(xiàn)在討論非奇次線性微分方程（2.9）通解的求法。不難看出，（2.10）是（2.9）的特殊情形，可以設(shè)想（2.11）中將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c(x).令，（2.12）微分之，得到，（2.13）.將（2.12）,(2.13)代入（2.9），得到。即，積分后得到，這里的是任意常數(shù)。將上式代入（2.12），得到方程（2.9）的通解，（2.14）。這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們通稱為常數(shù)變易法。常數(shù)變易法實際上也是一種變量變換的方法，通過變換（2.12）可將方程（2.9）化為變量分離方程。若方程不能化為（2.9）形式，可將x看作y的函數(shù)，再看是否為（2.9）形式。例4方程（n為常數(shù)）就可以用常數(shù)變易法求解。解將方程改寫為，①首先，求齊次線性微分方程的通解從，得到齊次線性微分方程的通解其次，應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程的通解。為此，在上式中把c看成為x的待定函數(shù)c（x）,即，②微分之，得到，③把②，③代入①，得到，積分之，求得因此，以所求的c（x）代入②，即得原方程的通解，（為任意常數(shù)）2.4、恰當微分方程與積分因子2.4.1恰當微分方程如果方程，的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分，即+=則稱原式為恰當微分方程。容易驗證恰當微分方程的通解就是,這里的c為任意常數(shù)。如果方程是恰當微分方程時，函數(shù)應(yīng)該具有以下性質(zhì)。和分別對y，x求偏導(dǎo)，得到，，由得連續(xù)性，可得，故,這就是恰當微分方程的必要條件。如果是恰當微分方程我們可以利用“分項組合”的辦法來求解。利用公式（2.15）例5方程就可以用“分項組合”方法來求解。解把方程重新“分項組合”得到即或者寫成于是，方程的通解為，（c為任意）2.4.2、積分因子如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得x+=0為一恰當微分方程，即存在函數(shù)，使，則稱為方程的積分因子，而積分因子不是唯一的。這時是方程的通解，因而也就是的通解。由（2.15）看到，同一方程可以有不同的積分因子，，，。可以證明，只要方程有解存在，則必有積分因子存在，并且不是唯一的。因此，在具體解題過程中，由于求出的積分因子不同從而通解可能具有不同的形式。根據(jù)上述可知，函數(shù)為方程的積分因子的充要條件是，即。對于方程，如果存在只與x有關(guān)的積分因子，則，這時方程變成，即，由此可知，方程有只與x有關(guān)的積分因子的充要條件是，這里僅為x的函數(shù)。假如條件成立，則根據(jù)方程，可知求得方程的一個積分因子是。同樣，有只與y有關(guān)的積分因子的充要條件是，這里的僅為y的函數(shù)。從而求得方程的一個積分因子。例6求解方程解：，，，，方程不是恰當?shù)囊驗橹慌cy有關(guān)故方程有只與y有關(guān)的積分因子以乘方程兩邊，得到或者寫成因而，通解為(c為任意常數(shù))例7求方程的通解。解：經(jīng)判斷，所以該方程不是恰當方程。分組得顯然前兩項具有積分因子，相應(yīng)的全微分為，要使得成立。只需取，即可，這樣就找到了一個積分因子。原方程兩邊同乘，可得，所以通解為。例8解方程。解：方程各項重新組合為，，，此時，可令，上方程化為，解之得，3.常微分方程的多種解法在常微分方程中，每一道題都有多種解法，不同的解法答案是相同的，在社會中的應(yīng)用大致也是相同的，下面就讓我們看看一道常微分方程到底有多少種解法。例1求的通解。解:解法1不定積分法。令,，則，所以該方程為恰當方程。，關(guān)于積分，得，，，，所以通解為。解法2公式法利用恰當方程求解方法3中公式得方程通積分為解法3分組法去括號重新分組可得積分，得原方程的通解為。例2求方程的通解。解:由于，所以原方程不是恰當方程。解法1可將原方程改寫為，左端有積分因子或，但考慮到右端只與變量有關(guān)，故取為方程的積分因子，因此有，兩邊積分可得通解，易見也是原方程的解。解法2也可將原方程改寫為，這是齊次方程。令，即可進行求解。解法3將看作未知函數(shù)，原方程可化為線性方程，從而可就進行求解。解法4由于，只與有關(guān)，所以存在關(guān)于的積分因子，以乘以方程兩端，得到，為恰當方程，即，因而通解為，另外，易見也是原方程的解。4.二階線性方程的冪級數(shù)解法二階變系數(shù)齊線性方程的求解問題歸結(jié)為尋求它的一個非零解。由于方程的系數(shù)是自變量的函數(shù)，我們不能象常系數(shù)線性方程的解法那樣利用代數(shù)方法去求解。但是，從微積分學(xué)中知道，在滿足某些條件下，可以用冪級數(shù)來表示一個函數(shù)。因此，我們自然會想到，能否用冪級數(shù)來表示微分方程的解呢？所以我們接下來就來討論這一問題。例1

求方程的滿足初始條件的解。解:

設(shè)

(1)是方程的解，這里是待定常數(shù)，由此我們有將的表達式代入方程，并比較的同次冪的系數(shù)，得到：，，，由，得，，，利用數(shù)學(xué)歸納法可以推得，一般地，代入(1)得這就是所求的解。事實上，方程是一階線性的，容易求得它的通解為，而由條件可以確定常數(shù)，即得方程的解為

。例2

求解方程，。解:

同例1一樣，以

(1)形式上代入方程并比較的同次冪的系數(shù)，這時將有，，，因為不可能找到有限的，故方程沒有形如(1)的解，事實上，直接解方程，可得通解為

。但若令，那么就將上述的初值問題化為，這時仿照例1的做法，就可求得，于是，這就是所求原方程的特解，相當于通解中取。5、高階常微分方程的初等解法高階常微分方程的初等解法主要包括齊次線性微分方程、非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法、常系數(shù)線性微分方程的解法。這三種解法是主要的也是簡單的初等解法。5.1﹑齊次線性微分方程方程，（5.1）其中及f（t）都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。如果則方程（5.1）變?yōu)?，?.2）。我們稱它為n階齊次線性微分方程，簡稱齊次線性微分方程。例1求方程的通解解：設(shè)

代入原方程可得：分離變量則有

即：得：y=C1ln|x|+C2為原方程之通解(C1,C2為任意實數(shù))例2求方程

滿足初始條件的特解解：設(shè)

則所以原方程可寫成：分離變量則有：兩邊積分即：由初始條件：y|x=0=3得C1＝3有y＝3（x2+1）積分得y=x3+3x+c2再由初始條件y|x=0=1得C2＝1故所求特解為y=x3+3x+15.2、非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法考慮n階非齊次線性微分方程，（5.1）易見方程（5.2）是它的特殊情形，我們指出兩者之間解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)有著十分密切的聯(lián)系。首先容易直接驗證如下兩個簡單性質(zhì)：性質(zhì)1：如果是方程（5.1）的解，而x(t)是方程（5.2）的解，則也是方程（4.1）的解。即非+齊=非。性質(zhì)2：方程（5.1）的任意兩個解之差必為方程（5.2）的解。例3方程的通解（cost，sint是方程對應(yīng)齊次線性微分方程的基本解組）解應(yīng)用常數(shù)變易法，令將它代入方程，則可得決定和的兩個方程及解得，由此，原方程的解5.3、常系數(shù)線性微分方程的解法5.3.1﹑設(shè)，，…，是特征方程的n個彼此不相等的根，則相應(yīng)的方程有如下解：，，…，。我們指出這n個解在區(qū)間上線性無關(guān)，從而組成方程的基本解組。例4方程就是單根的情況解特征方程的根為，。有兩個實根和兩個復(fù)根，均是單根，故方程的通解為（，，，為任意常數(shù)）。5.3.2﹑當特征根為重根實方程有如下解法。例5方程的通解。解特征方程有根，因此，方程的通解為，其中，，為任意常數(shù)。以上這些就是我所了解的常微分方程的初等解法。6常微分在社會中的應(yīng)用及模型常微分方程在社會中的應(yīng)用很廣，例如RLC電路和數(shù)學(xué)擺等等都利用了常微分方程的解法。6.1﹑RLC電路包含電阻R﹑電感L﹑電容C及電源電路稱為RLC電路，RLC電路是電子電路多的基礎(chǔ)。根據(jù)電學(xué)知識，電流I經(jīng)過R,L,C的電壓降分別為RI,和，其中Q為電量，它與電流的關(guān)系為,根據(jù)基爾霍夫（kirchhoff）第二定律：在閉合回路中，所有支路上的電壓代數(shù)和等于零。設(shè)R,L及電源電壓E為常數(shù)，當開關(guān)S和上后，存在關(guān)系式，即,(1.1)這便是RL電路的常微分方程。其中電流I是自變量t的函數(shù)，在方程（1）中是未知函數(shù)。當開關(guān)S剛合上即時有,即,(1.2)稱此條件為方程（1.1）的初值條件。如果當時有，而電源突然短路，即E=0且保持不變，此時方程（1.1）變?yōu)?(1.3)初值條件為（1.4）。假設(shè)R,L,C為常數(shù)，電源電壓是時間t的已知函數(shù)。當開關(guān)S合上時有關(guān)系式,微分上式，代入，便得到以時間t為自變量﹑電流I為未知函數(shù)的常微分方程，（1.5）當電源電壓是常數(shù)時，上述微分方程變?yōu)?(1.6)如還有R=0，微分方程進一步化簡為.6.2﹑數(shù)學(xué)擺數(shù)學(xué)擺是系于一根長度為l的線上而質(zhì)量為m的質(zhì)點M，在重力作用下，他在垂直的地面的平面上沿圓周運動，我們來確定擺的運動方程。設(shè)取反時針運動的方向作為計算擺與鉛垂線所成的角Φ的正方向。質(zhì)（1.7）。這樣，就得到微小振動時擺的方程，（1.8）如果我們假設(shè)擺在一個粘性的介質(zhì)中擺動，那么，沿著擺的運動方向就存在一個與速度v成比例的阻力。如果阻力系數(shù)是μ，則擺的運動方程變?yōu)椋?.9）。如果沿著擺的運動方向恒有一個外力F（t）作用于它，這是擺的運動稱為強迫微小振動，其方程為，（1.10）。當要確定擺的某一個特定的運動時，我們應(yīng)該給出擺的初始狀態(tài)：當t=0時，，，（1.11）。這里的代表擺的初始位置，代表擺的初始角速度的大小。參考文獻1.朱思銘，李尚廉，數(shù)學(xué)模型，廣州：中山大學(xué)出版社，1995.2.姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，第三版。北京：高等教育出版社，2003.3.陳蘭蓀，數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型與研究方法，北京：科學(xué)出版社，1991.4.胡建偉，湯懷民，微分方程數(shù)值法，北京：科學(xué)出版社，1999.5.丁同仁，李承治，常微分方程，北京：高等教育出版社，1985.6.丁同仁，常微分方程定性方法的應(yīng)用，北京：北京大學(xué)出版社，1987.7.李文林.數(shù)學(xué)史教程.北京:高等教育出版社，20028.王樹禾.數(shù)學(xué)思想史.北京:國防工業(yè)出版社,2003致謝三年的讀書生活在這個季節(jié)即將劃上一個句號，而于我的人生卻只是一個逗號，我將面對又一次征程的開始。三年的求學(xué)生涯在師長、親友的大力支持下，走得辛苦卻也收獲滿囊，在論文即將付梓之際，思緒萬千，心情久久不能平靜。偉人、名人為我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和贊美獻給一位平凡的人，我的導(dǎo)師。我不是您最出色的學(xué)生，而您卻是我最尊敬的老師。您治學(xué)嚴謹，學(xué)識淵博，思想深邃，視野雄闊，為我營造了一種良好的精神氛圍。授人以魚不如授人以漁，置身其間，耳濡目染，潛移默化，使我不僅接受了全新的思想觀念，樹立了宏偉的學(xué)術(shù)目標，領(lǐng)會了基本的思考方式，從論文一次感謝所有在畢業(yè)設(shè)計中曾經(jīng)幫助過我的良師益友和同學(xué)，以及在設(shè)計中被我引用或參考的論著的作者。題目的選定到論文寫作的指導(dǎo),經(jīng)由您悉心的點撥,再經(jīng)思考后的領(lǐng)悟,常常讓我有“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村”。感謝我的爸爸媽媽，焉得諼草，言樹之背，養(yǎng)育之恩，無以回報，你們永遠健康快樂是我最大的心愿。在論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從開始進入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長、同學(xué)、朋友給了我無言的幫助，在這里請接受我誠摯謝意！同時也感謝學(xué)院為我提供良好的做畢業(yè)設(shè)計的環(huán)境。最后再一次感謝所有在畢業(yè)設(shè)計中曾經(jīng)幫助過我的良師益友和同學(xué)，以及在設(shè)計中被我引用或參考的論著的作者?；贑8051F單片機直流電動機反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計與研究基于單片機的嵌入式Web服務(wù)器的研究MOTOROLA單片機MC68HC（8）05PV8/A內(nèi)嵌EEPROM的工藝和制程方法及對良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機的通用控制模塊的研究基于單片機實現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調(diào)節(jié)器單片機控制的二級倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強型51系列單片機的TCP/IP協(xié)議棧的實現(xiàn)基于單片機的蓄電池自動監(jiān)測系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機系統(tǒng)的圖像采集與處理技術(shù)的研究基于單片機的作物營養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機的交流伺服電機運動控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機的泵管內(nèi)壁硬度測試儀的研制基于單片機的自動找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機的液壓動力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機實現(xiàn)一種基于單片機的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機的噴油泵試驗臺控制器的研制基于單片機的軟起動器的研究和設(shè)計基于單片機控制的高速快走絲電火花線切割機床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機的機電產(chǎn)品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機的智能手機充電器基于單片機的實時內(nèi)核設(shè)計及其應(yīng)用研究基于單片機的遠程抄表系統(tǒng)的設(shè)計與研究基于單片機的煙氣二氧化硫濃度檢測儀的研制基于微型光譜儀的單片機系統(tǒng)單片機系統(tǒng)軟件構(gòu)件開發(fā)的技術(shù)研究基于單片機的液體點滴速度自動檢測儀的研制基于單片機系統(tǒng)的多功能溫度測量儀的研制基于PIC單片機的電能采集終端的設(shè)計和應(yīng)用基于單片機的光纖光柵解調(diào)儀的研制氣壓式線性摩擦焊機單片機控制系統(tǒng)的研制基于單片機的數(shù)字磁通門傳感器基于單片機的旋轉(zhuǎn)變壓器-數(shù)字轉(zhuǎn)換器的研究基于單片機的光纖Bragg光柵解調(diào)系統(tǒng)的研究單片機控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機的多生理信號檢測儀基于單片機的電機運動控制系統(tǒng)設(shè)計Pico專用單片機核的可測性設(shè)計研究基于MCS-51單片機的熱量計基于雙單片機的智能遙測微型氣象站MCS-51單片機構(gòu)建機器人的實踐研究基于單片機的輪軌力檢測基于單片機的GPS定位儀的研究與實現(xiàn)基于單片機的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機的時控和計數(shù)系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機和CPLD的粗光柵位移測量系統(tǒng)研究單片機控制的后備式方波UPS提升高職學(xué)生單片機應(yīng)用能力的探究基于單片機控制的自動低頻減載裝置研究基于單片機控制的水下焊接電源的研究基于單片機的多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機的氚表面污染測量儀的研制基于單片機的紅外測油儀的研究96系列單片機仿真器研究與設(shè)計基于單片機的單晶金剛石刀具刃磨設(shè)備的數(shù)控改造基于單片機的溫度智能控制系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)基于MSP430單片機的電梯門機控制器的研制基于單片機的氣體測漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機的CAN/USB協(xié)議轉(zhuǎn)換器基于單片機和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測技術(shù)研究基于單片機的膛壁溫度報警系統(tǒng)設(shè)計基于AVR單片機的低壓無功補償控制器的設(shè)計基于單片機船舶電力推進電機監(jiān)測系統(tǒng)基于單片機網(wǎng)絡(luò)的振動信號的采集系統(tǒng)基于單片機的大容量數(shù)據(jù)存儲技術(shù)的應(yīng)用研究基于單片機的疊圖機研究與教學(xué)方法實踐基于單片機嵌入式Web服務(wù)器技術(shù)的研究及實現(xiàn)基于AT89S52單片機的通用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于單片機的多道脈沖幅度分析儀研究機器人旋轉(zhuǎn)電弧傳感角焊縫跟蹤單片機控制系統(tǒng)基于單片機的控制系統(tǒng)在PLC虛擬教學(xué)實驗中的應(yīng)用研究基于單片機系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)通信研究與應(yīng)用基于PIC16F877單片機的莫爾斯碼自動譯碼系統(tǒng)設(shè)計與研究基于單片機的模糊控制器在工業(yè)電阻爐上的應(yīng)用研究基于雙單片機沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究與開發(fā)基于Cygnal單片機的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機的一體化智能差示掃描量熱儀系統(tǒng)研究基于TCP/IP協(xié)議的單片機與Internet互聯(lián)的研究與實現(xiàn)變頻調(diào)速液壓電梯單片機控制器的研究基于單片機γ-免疫計數(shù)器自動換樣功能的研究與實現(xiàn)基于單片機的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計與實現(xiàn)單片機嵌入式以太網(wǎng)防盜報警系統(tǒng)基于51單片機的嵌入式Internet系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)單片機監(jiān)測系統(tǒng)在擠壓機上的應(yīng)用MSP430單片機在智能水表系統(tǒng)上的研究與應(yīng)用基于單片機的嵌入式系統(tǒng)中TCP/IP協(xié)議棧的實現(xiàn)與應(yīng)用單片機在高樓恒壓供水系統(tǒng)中的應(yīng)用基于ATmega16單片機的流量控制器的開發(fā)基于MSP430單片機的遠程抄表系統(tǒng)及智能網(wǎng)絡(luò)水表的設(shè)計基于MSP430單片機具有數(shù)據(jù)存儲與回放功能的嵌入式電子血壓計的設(shè)計HYPERLINK"/detail.htm?