奧數(shù)18 面積計(jì)算

------------------------------------------------------------------------奧數(shù)18面積計(jì)算第十八周面積計(jì)算（一）專題簡(jiǎn)析：計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，有些問題乍一看，在已知條件與所求問題之間找不到任何聯(lián)系，會(huì)使你感到無從下手。這時(shí)，如果我們能認(rèn)真觀察圖形，分析、研究已知條件，并加以深化，再運(yùn)用我們已有的基本幾何知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，搭一座連通已知條件與所求問題的小“橋”，就會(huì)使你順利達(dá)到目的。有些平面圖形的面積計(jì)算必須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線，運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。例題1。18－1ABCFEDABCFED18－1ABCFEDABCFED18－118－1【思路導(dǎo)航】陰影部分為兩個(gè)三角形，但三角形AEF的面積無法直接計(jì)算。由于AE=ED,連接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移補(bǔ)的方法，將所求陰影部分轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積。因?yàn)锽D=EQ\F(2,3)BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因?yàn)锳E＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。因此，S△ABC＝5S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），則陰影部分的面積為1.6×2＝3.2（平方厘米）。練習(xí)1如圖18－2所示，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求陰影部分的面積。如圖18－3所示，AE=ED，DC＝EQ\F(1,3)BD，S△ABC＝21平方厘米。求陰影部分的面積。AABCFEDA如圖18－4所示，DE＝EQ\F(1,2)AE，BD＝2DC，S△AABCFEDAFFEFFEEEDBCCDBDBCCDB18－418－318－218－418－318－2例題2。兩條對(duì)角線把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形，如圖18－5所示，已知兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積各是多少？BBCDAO66121218－518－5【思路導(dǎo)航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；從S△ABD與S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO與△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面積為6÷2＝3。因?yàn)镾△ABD與S△ACD等底等高所以S△ABO＝6因?yàn)镾△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3。答：△AOD的面積是3。練習(xí)2兩條對(duì)角線把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形，（如圖18－6所示），已知兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積是多少？已知AO＝EQ\F(1,3)OC，求梯形ABCD的面積（如圖18－7所示）。BCBCDAOBBCDAO4B4BCDAO84848818－818－818－718－618－6例題3。D四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F兩點(diǎn)三等分，且四邊形AECF的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖18－9所示）。DFAFAEE18－9CB18－9CB【思路導(dǎo)航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它們的面積相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知，三角形ABD的面積是三角形AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形CEF面積的3倍，從而得出四邊形ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍。15×3＝45（平方厘米）答：四邊形ABCD的面積為45平方厘米。練習(xí)3四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F、G三點(diǎn)四等分，且四邊形AECG的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖18－10）。已知四邊形ABCD的對(duì)角線被E、F、G三點(diǎn)四等分，且陰影部分面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖18－11所示）。如圖18－12所示，求陰影部分的面積（ABCD為正方形）。6EADADD6EADADDEGAEGA4F4F·FG·FGCBCBECBCBCBECB18－1218－1118－1018－1218－1118－10例題4。BABADCOEE18－1318－13【思路導(dǎo)航】因?yàn)锽O＝2DO，取BO中點(diǎn)E，連接AE。根據(jù)三角形等底等高面積相等的性質(zhì)，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，類推可得每個(gè)三角形的面積。所以，S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米）S△DAB＝4×3＝12平方厘米S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）答：梯形ABCD的面積是18平方厘米。練習(xí)4如圖18－14所示，陰影部分面積是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面積。已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面積（如圖18－15所示）。D已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面積（如圖18－16所示）。DOADABADCOOADABADCOOO18－16CB18－1518－14CB18－16CB18－1518－14CB例題5。如圖18－17所示，長(zhǎng)方形ADEF的面積是16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，求三角形ABC的面積。AFFAAFFACCCCEEDEDBDEDB18－1718－17【思路導(dǎo)航】連接AE。仔細(xì)觀察添加輔助線AE后，使問題可有如下解法。由圖上看出：三角形ADE的面積等于長(zhǎng)方形面積的一半（16÷2）＝8。用8減去3得到三角形ABE的面積為5。同理，用8減去4得到三角形AEC的面積也為4。因此可知三角形AEC與三角形ACF等底等高，C為EF的中點(diǎn)，而三角形ABE與三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面積為5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面積為16－3－4－2.5＝6.5。練習(xí)5如圖18－18所示，長(zhǎng)方形ABCD的面積是20平方厘米，三角形ADF的面積為5平方厘米，三角形ABE的面積為7平方厘米，求三角形AEF的面積。如圖18－19所示，長(zhǎng)方形ABCD的面積為20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方厘米，求三角形AEF的面積。如圖18－20所示，長(zhǎng)方形ABCD的面積為24平方厘米，三角形ABE、AFD的面積均為4平方厘米，求三角形AEF的面積。ADDCBAFDAADDCBAFDAFFFFCCCCEBE18－19BEEBE18－19BE18－2018－1818－2018－18答案：練130÷5×2＝12平方厘米21÷7×3＝9平方厘米5×3÷EQ\F(2,3)＝22EQ\F(1,2)平方厘米練21、4÷2＝28÷2＝42、8×2＝1616+8×2+4＝363、15×3＝4515+5+15+45＝80練315×2＝30平方厘米15×4＝60平方厘米6×6÷2－6×4÷2＝6平方厘米6×2÷4＝3平方厘米（6+3）×6÷2＝27平方厘米練41、4×2＝8平方厘米8×2＝16平方厘米16+8+8+4＝36平方厘米2、14÷2＝7平方厘米7÷2＝3.5平方厘米14+7+7+3.5＝31.5平方厘米3、6×（3+1）＝246÷3＝224+6+2＝32練51、20÷2－7＝33×EQ\F(1,2)＝1.520－7－5－1.5＝6.52、20÷2＝10（10－4）×EQ