數(shù)學(xué)建模-最優(yōu)價(jià)格和廣告投資資金計(jì)算

PAGEPAGE1最優(yōu)價(jià)格和廣告投資資金計(jì)算摘要商品經(jīng)濟(jì)中產(chǎn)品的定價(jià)直接關(guān)系到收益，并且生產(chǎn)商對(duì)推廣的投資如廣告等對(duì)收益也起到巨大作用。本文針對(duì)產(chǎn)品生產(chǎn)中定價(jià)問題，以及產(chǎn)品推廣過程中所耗成本問題，利用題目所給數(shù)據(jù)，運(yùn)用拉格朗日乘子法解決了收益最大的實(shí)際問題，提出了在所給條件下，使收益最大化的定價(jià)和廣告投資方案。對(duì)于問題一，此計(jì)算機(jī)制造廠商在有降低價(jià)格可使銷量提高和增加廣告預(yù)算可使銷量提高兩個(gè)條件下，我們利用題中所給信息，列出利潤(rùn)關(guān)于定價(jià)和廣告費(fèi)用的方程，建立一個(gè)有約束最優(yōu)化模型，并根據(jù)題中所給限制，使用拉格朗日乘子法，利用Excel以及Mathematica軟件求得約束條件下使總利潤(rùn)達(dá)到最高的價(jià)格和廣告預(yù)算。對(duì)于問題二，要討論決策變量（價(jià)格和廣告費(fèi)）關(guān)于價(jià)格彈性系數(shù)（數(shù)據(jù)50%）的靈敏性。先分析對(duì)于決策變量（價(jià)格和廣告費(fèi)其中之一）有單獨(dú)變化時(shí)，價(jià)格彈性系數(shù)對(duì)單一決策變量的影響，分別做出圖表。由此求得決策變量（價(jià)格和廣告費(fèi)）對(duì)價(jià)格彈性系數(shù)的靈敏性。對(duì)于問題三，根據(jù)題中所給信息，要討論決策變量（價(jià)格和廣告費(fèi)）關(guān)于銷售彈性系數(shù)（廣告商估計(jì)的每增加10000美元/月的廣告費(fèi)，可多售200臺(tái)這一數(shù)據(jù)）的靈敏性。先分析對(duì)于決策變量（價(jià)格和廣告費(fèi)其中之一）有單獨(dú)變化時(shí)，銷售彈性系數(shù)對(duì)單一決策變量的影響，分別做出圖表。由此求得決策變量（價(jià)格和廣告費(fèi)）對(duì)銷售彈性系數(shù)的靈敏性。對(duì)于問題四，在問題一中求得的乘子值具有一個(gè)現(xiàn)實(shí)意義，即單位定價(jià)和單位廣告費(fèi)用對(duì)銷售量增量的數(shù)值關(guān)系。這個(gè)數(shù)值描述的是變量對(duì)因變量影響的效率。根據(jù)此意義，可以做出適當(dāng)?shù)慕ㄗh，來對(duì)決策提供幫助。在獲取更多試驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況下，能得到關(guān)于價(jià)格和廣告費(fèi)用對(duì)銷售量影響的更精確的結(jié)果，同時(shí)可以此為基礎(chǔ)，建立另一種模型，得到價(jià)格和廣告費(fèi)用對(duì)銷售量增量影響的效率。尤其對(duì)于廣告費(fèi)用對(duì)銷售量的影響，其基于商品的推廣效應(yīng)，不是具象化的量或關(guān)系，所以此研究也極有意義。限于問題限制，本文不一一贅述。關(guān)鍵詞：拉格朗日乘子法，利潤(rùn)，廣告預(yù)算，決策變量，銷售彈性系數(shù)

一、問題提出一家個(gè)人計(jì)算機(jī)制造廠商現(xiàn)在每個(gè)月售出10000臺(tái)基本機(jī)型的計(jì)算機(jī)。生產(chǎn)成本為700美元/臺(tái)。批發(fā)價(jià)為950美元/臺(tái)。在上一個(gè)季度中，制造廠商在幾個(gè)座位試驗(yàn)的市場(chǎng)將價(jià)格降低了100美元，其結(jié)果是銷售量提高了50%。（1）利用有約束最優(yōu)化模型和拉格朗日乘子法求使利潤(rùn)達(dá)到最高的價(jià)格和廣告預(yù)算。（2）討論決策變量（價(jià)格和廣告費(fèi)）關(guān)于價(jià)格彈性系數(shù)（數(shù)據(jù)50%）的靈敏性。（3）討論據(jù)決策變量關(guān)于廣告商估計(jì)的每增加10000美元/月的廣告費(fèi)，可多售200臺(tái)這一數(shù)據(jù)的靈敏性。（4）在（1）中求出的乘子值是多少？它的實(shí)際意義是什么？你如何利用這一信息來說服最高管理層提高廣告費(fèi)用的最高限額？二、基本假設(shè)1、在批發(fā)價(jià)950美元/臺(tái)基礎(chǔ)上，價(jià)格每降低100美元，銷售量提高50%，即設(shè)在10000臺(tái)的基礎(chǔ)上增加m臺(tái)（m=50%×10000）。2、廣告投資在每月投入50000美元基礎(chǔ)上，每增加10000美元，銷售量在10000臺(tái)基礎(chǔ)上增加n臺(tái)（n=200）。三、符號(hào)說明符號(hào)意義單位備注p每臺(tái)計(jì)算機(jī)定價(jià)美元q每月廣告預(yù)算美元x總銷量臺(tái)/月P銷售額美元/月C總成本美元/月W利潤(rùn)美元/月m在批發(fā)價(jià)的基礎(chǔ)上，售價(jià)每降低100美元，銷售量在每月10000臺(tái)基礎(chǔ)上增加m臺(tái)臺(tái)/月n廣告預(yù)算在每月投入50000美元基礎(chǔ)上，每增加10000美元，銷量在10000臺(tái)基礎(chǔ)上增加n臺(tái)臺(tái)/月四、問題分析4.1問題分析在實(shí)際商品經(jīng)濟(jì)中，商品定價(jià)和廣告預(yù)算共同影響商品成本以及銷售量，進(jìn)而影響利潤(rùn)。本題中，每臺(tái)計(jì)算機(jī)定價(jià)的多少直接關(guān)系單個(gè)商品利潤(rùn)的多少，但是定價(jià)降低，單個(gè)商品利潤(rùn)減少，而月銷售量會(huì)隨之增加，從而總體利潤(rùn)受到影響。所以存在一個(gè)最優(yōu)價(jià)格使總體利潤(rùn)最大。對(duì)于廣告費(fèi)用，其投入增大，使成本增加，但是會(huì)使銷售量增加，從而影響總體利潤(rùn)。因此廣告費(fèi)用同樣存在一個(gè)最優(yōu)值，使總體利潤(rùn)最大。我們列出每臺(tái)計(jì)算機(jī)定價(jià)p、每月廣告預(yù)算q兩變量在假設(shè)條件和約束條件下同月利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系方程，再利用多變量?jī)?yōu)化模型中的拉格朗日乘數(shù)法求解方法，從而求解出條件下的最優(yōu)解。五、模型的建立與求解5.1問題一模型建立與求解5.1.1問題一模型的建立在批發(fā)價(jià)的基礎(chǔ)上，每降低100美元，銷售量在每月10000臺(tái)的基礎(chǔ)上增加50%（在這里我們選用倍數(shù)模型，即銷售量的增加量是固定值，為10000臺(tái)的50%，即5000臺(tái)），將增加的臺(tái)數(shù)記為m。在每月投入廣告費(fèi)用50000美元的基礎(chǔ)上，每增加10000美元，則銷售量在每月10000臺(tái)的基礎(chǔ)上增加n臺(tái)。約束條件：按照假設(shè)，其中，所以約束條件為又因?yàn)樾路桨副仨氃诒仍蟹桨斧@利更多的情況下才能執(zhí)行，所以有另一約束條件（舍）或。綜上，最終的約束條件為5.1.2問題一模型的求解這是多變量有約束最優(yōu)化模型，使用拉格朗日乘子法求解。首先確定目標(biāo)函數(shù)的可行域（如圖1-1）。的梯度為在可行域內(nèi)，所以最大值在邊界達(dá)到。在時(shí)，；在時(shí)，；在時(shí)，；在時(shí)，。時(shí)，，此時(shí)；時(shí)，，此時(shí)；時(shí)，，，，時(shí)，，，得，下面計(jì)算W在曲線上的最大值。記。令，所以由得。所得值不在可行域范圍內(nèi)，所以舍去。所以W的最大值為2661250美元，此時(shí)，。5.2問題二模型建立與求解5.2.1問題二模型的建立由于模型假設(shè)中的條件（價(jià)格降低了100美元，其結(jié)果是銷售量提高了50%）是估計(jì)和預(yù)測(cè)的，所以下面研究決策變量中價(jià)格關(guān)于價(jià)格彈性系數(shù)（數(shù)據(jù)50%）的靈敏性。首先分析定價(jià)對(duì)價(jià)格彈性系數(shù)的靈敏性，因?yàn)榧磧r(jià)格彈性系數(shù)，可化簡(jiǎn)為對(duì)的靈敏性分析。假設(shè)廣告預(yù)算在每月投入50000美元基礎(chǔ)上，每增加10000美元，銷量在10000臺(tái)基礎(chǔ)上增加臺(tái)，不變。，將代入得所以。因?yàn)閝對(duì)于p對(duì)m的靈敏度不產(chǎn)生影響，所以取，所以上式可以寫為。5.2.2問題二模型的求解對(duì)于對(duì)的靈敏度不產(chǎn)生影響，取，所以上式可以寫為。做出的圖像和取值列表如下圖2-1和表2-1[1]圖2-1圖2-1m10002000300040005000p1325.01075.0991.7950.0925.0m600070008000900010000p908.3896.4887.5880.6875.0表2-1表2-1用相對(duì)改變量衡量結(jié)果對(duì)參數(shù)的敏感程度。對(duì)的敏感程度記為，定義為。利用前面的結(jié)果，可得。當(dāng)時(shí)，可算出，即每增加1%，減少0.108%。5.3問題三模型建立與求解5.3.1問題三模型的建立下面分析決策變量關(guān)于廣告商估計(jì)的每增加10000美元/月的廣告費(fèi)，可多售200臺(tái)這一數(shù)據(jù)的靈敏性。假設(shè)在批發(fā)價(jià)的基礎(chǔ)上，售價(jià)每降低100美元，銷售量在每月10000臺(tái)基礎(chǔ)上增加臺(tái)的不變。，所以，取，則，所以。5.3.3問題三模型的求解做出的圖像及列表，如圖3-1和表3-1圖3-1圖3-1n160170180190200q-965625-927509-891358-857202-825000n210220230240250q-794671-766116-739225-713889-690000表3-1表3-1同問題一，用相對(duì)改變量衡量結(jié)果對(duì)參數(shù)的敏感程度。對(duì)的敏感程度記為，定義為，所以，當(dāng)時(shí)，。即每增大1%，減少0.7576%。綜上所述，和的微小變化對(duì)模型結(jié)果影響不大。5.4問題四模型建立與求解5.4.1問題四模型的求解由問題一的求解得，。實(shí)際意義為每提高一個(gè)單位商品定價(jià)，月銷售量的增加量降低15個(gè)單位；同時(shí)每提高一個(gè)單位廣告預(yù)算，月銷售量的增量降低15個(gè)單位。它代表了對(duì)這個(gè)公司來講價(jià)格變動(dòng)和廣告預(yù)算變動(dòng)的價(jià)值。如果公司提高計(jì)算機(jī)的單價(jià)，月銷售量會(huì)增加，但增加的幅度逐漸減??；另一方面，廣告費(fèi)用投入越多，月銷售量同樣會(huì)增高，但同樣增加的幅度在逐漸減小。所以降價(jià)和投入廣告費(fèi)用對(duì)提高銷售量有一個(gè)效率關(guān)系，在一定的范圍內(nèi)，降價(jià)或投入廣告費(fèi)用才值得。對(duì)此我們可以建立另外一種模型，關(guān)于降價(jià)和投入廣告費(fèi)用對(duì)銷售量增量的影響，同時(shí)求得兩者變化對(duì)增加銷售量的成本效率，即“用最少的錢，獲取最大的效益”。如果在此模型中，廣告費(fèi)用投入在100000元左右仍能保持對(duì)增加銷售量的高效率，則可以據(jù)此說明提高廣告費(fèi)用的重要性。關(guān)于此問題的模型則不一一贅述。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣7.1模型的評(píng)價(jià)在商品銷售過程中，銷售商需要根據(jù)消費(fèi)者對(duì)價(jià)格因素以及產(chǎn)品影響力因素的反應(yīng)做出相應(yīng)的銷售計(jì)劃。價(jià)格因素即產(chǎn)品定價(jià)，是直接關(guān)系到商品的利潤(rùn)和銷售量的；產(chǎn)品影響力，則是商品在廣告投入上的體現(xiàn)。此模型的優(yōu)點(diǎn)在于，它充分考慮了價(jià)格因素和產(chǎn)品影響力因素的共同作用，同時(shí)對(duì)這個(gè)作用的敏感性進(jìn)行了分析，以利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，簡(jiǎn)單明了的得出了在現(xiàn)有公司政策下獲得最大利潤(rùn)的方案。同時(shí)缺陷在于一些結(jié)果的精確性得不到驗(yàn)證。這個(gè)不精確性來自于假設(shè)的理想化，理想化的假設(shè)是模型簡(jiǎn)單，但也使結(jié)果的精確性降低。7.2模型的推廣本問題中，有兩個(gè)理想假設(shè)：1、在批發(fā)價(jià)950美元/臺(tái)基礎(chǔ)上，價(jià)格每降低100美元，月銷售量提高50%。2、廣告投資在每月投入50000美元基礎(chǔ)上，每增加10000美元，銷售量在10000臺(tái)基礎(chǔ)上增加200臺(tái)。針對(duì)上面第一種情況，對(duì)月銷售量的影響的理解有兩種，一種是我們解答過程中對(duì)此的理解，即價(jià)格每降低100美元，月銷量是在10000臺(tái)基礎(chǔ)上提高50%；另一種理解是價(jià)格每降低100美元，月銷量在上月月銷量基礎(chǔ)上提高50%，也就是說是一個(gè)累積的過程。由于數(shù)學(xué)知識(shí)水平有限，為了簡(jiǎn)便解答過程，我們選擇了第一種理解，使用第二種理解的話，理論上更加準(zhǔn)確。然而，題中假設(shè)和實(shí)際中仍舊有應(yīng)差距，是理想化的。七、參考文獻(xiàn)[1]姜啟源等,《數(shù)學(xué)模型》（第三版），高等教育出版社，2003年8月[2]利用Mathematica畫平面區(qū)域，HYPERLINK"/view/6fc9cbc758f5f61fb7366626.h