坐標表示的焦半徑公式

一．坐標表示的焦半徑公式1、橢圓（一類）可以假想點P在y軸右邊，-=且x〉0幫助，顯然總有」 丄-丄符合橢圓定義。公式常見應用：（1） 橢圓上點到焦點最遠距離a+c，最近距離a-c（2） 橢圓上三點A」，,C」若—-成等差數(shù)列，則到同一個焦點的焦半徑-「丄??一也成等差數(shù)列。（3）定義直線乂二：壬為橢圓】 的左右準線。由焦半徑公式，橢圓上任意一點P（x，y）到對應焦點和對應準線的距離之比若點P在左支上，」一心--1 -同理，」一「…I「.總有住一丄丨-厶.公示的應用：（1）若雙曲線上同一支上的三點A、-VC—「，有成等差數(shù)列，則它們到同一個焦點的焦半徑…丄丄也成等差數(shù)列。（2）定義直線萸二：:為雙曲線 ]-的左右準線。由焦半徑公式，雙曲線上任意一點P（x,y）到對應焦點和對應準線的距離之比

公式的應用：拋物線上三點-：,C'--■■■■若、工-二一，貝嚇￡+1 -二．圓錐曲線統(tǒng)一定義及方向角表示的焦半徑公式1、統(tǒng)一定義：平面上到定點F與定直線l距離之比等于常數(shù)e的點軌跡。若0〈e〈1,軌跡為橢圓。若e=1,則軌跡為拋物線。若e〉1,則軌跡為雙曲線。方向角焦半徑公式方向角定義如圖：將Fx當始邊，F(xiàn)M當終邊所成角定義為點M的方向角。方向角"范圍|將焦準距離統(tǒng)一表示為P。對于橢圓，雙曲線I' '(要求記憶)■:'-|MN|二邙3)公式的應用焦點弦長公式TOC\o"1-5"\h\z(2)公式：二 -e:離心率，對于橢圓，雙曲線，1 .|MN|二邙3)公式的應用焦點弦長公式說明：焦點弦長公式中，方向角“以平方形式出現(xiàn)，不影響計算，可將方向角改為焦點弦和對稱軸 -夾角：I匕? '.FF-T所決定的焦點弦與漸近線平行，在實際上不存對于雙曲線當一■在。若門較小，使. &2eP若門較小，使. &< 時，此時公式應表為2 --....，此時焦點弦的兩個端點分在兩支上。2P 2P(4)對于拋物線廠一二：?，Te=1 - - ,?“為焦點弦與對稱軸夾角。(5)通徑：垂直對稱軸的焦點弦稱通徑，在‘ -，1"1,令f一乂―得通徑的統(tǒng)表示2eP.對于橢圓，雙曲線：匕1'…；對于拋物線：2eP=2P.(6)以上結論容易推廣到二類圓錐曲線，比如-(6)以上結論容易推廣到二類圓錐曲線，比如-0焦點弦與對稱軸夾角"三.相交弦長公式將直線y=Kx+d代入橢圓丁「 -3 --3b(b:|?=.K+2；d<dx+G”-r.『=：1/-a=^rljjaK2+I,-嚴)'；Z存在相交弦':.■:1.!■■■■ 1- ;1-/'I ■■-:1 |：> ■--'..'l 1':-:-在山「—八hl、..1.1' ■!I）「中，由求根公式對于焦點三角形問題，應注意兩條：+fos=4;i'!-2r]對于焦點三角形問題，應注意兩條：+fos=4;i'!-2r]r-2：'-'.s'y項，消去4：:，=b2rr 「「說明：上面這個例子完全適用雙曲線中的焦點三角形。在具體問題，只要已知直線斜率和求得的代入后方程可直接寫出相交弦長表達式，完全可以略去中間過程。面的觀點對于雙曲線，拋物線和直線產(chǎn)生的相交弦長也完全用類似的方法推導。只是對于雙曲線，直線不能與漸近線平行；對于拋物線，直線不能與對稱軸平行。四.焦點三角形問題對于橢圓和雙曲線存在焦點三角形一是用定義：橢圓：」 丄-“；雙曲線：?！竻[-工。二是用正余弦定理：22舉例：已知橢圓? I?3「-■-，點P位其上一點，點P對1張角（即-1），試求汛：「表示式。解：由余弦定理:■1:-:=r-"+r-2]'-r-：C'.=-：0= ?■+i“?嚴-2r- -2r-r-cr)s：■解：由余弦定理:請你推導右面雙曲線的圖，若Z1'1?-"，求矗五. 其他有關知識點：TOC\o"1-5"\h\z1.橢圓中的基本FiiWFI■汁乍 「」、門I'，■'：' ■..令z'I" 11-'..f|八.-1一可以通過三角函數(shù)對橢圓中的a,b,c,e進行相互轉換。b ■ ■■■比如：由■- ■-IT--I''匯J.橢圓的方程便可以假設為： -2.雙曲線中的基本矩形：*^2稱為是相互共軛兩條雙曲線，作，四條直線構成一個矩形，稱作是這兩條雙曲線的基本矩形（如圖）：基本矩形的對角線定是這兩條雙曲線的漸近線。r2=2基本矩形中I"W乩是 -的一個基本LJ：OA=a,AD=b,OD=c.令ZDOA^1,則“就是其一條漸TOC\o"1-5"\h\zC" 因 1.近線的傾斜角。設斜率K,則I」「 '■■ 1 _ | 「飛i可以利用三角函數(shù)在雙曲線的a,b,c,e,K之間進行過渡。2 a對于^ ?，貝ykim」.是它的基本:■■■-■■1-1-」.：!：'-1-：^■■■' 「.令ZBOD一：n- .「。F-H‘：互余，在共軛雙曲線之間e與：’有關系：-.-1 .雙曲線-「5亠：：漸近線m>0為一類雙曲線，m〈0為二類雙曲線，不論一類，二類，令m=0得到的兩條直線定廠 I為雙曲線的漸近線，具體運作時，移項，開方： 。這一結果可以使雙曲線方程和它的漸近線方程，兩者相互反饋。例：已知雙曲線以坐標軸為對稱軸，一條漸近線的方程為' :'，且過點（6， 4）。試求該雙曲線方程。由 、 ：’ 可 得汽4汽44y=-1y=CL于是-16y2=K。代入@-1）衣卜；有關拋物線的知識點：（1）四類拋物線："7二- 0：可以簡化為兩大類：：——L宀——X.焦點iJV -- 。

（2）焦點弦端點坐標公式如圖,4：m「為一—的焦點弦，則有：pi.怒二占I；=-1’F練習題：由焦點弦的一個端點B做準線丄 的垂線，垂足E。證明：A,O,E三點共線。上面的性質可以推廣到其他類型的拋物線。（3）拋物線上兩點連線斜率公式對于一類拋物線匚-心上兩點?。??-「、.：一匚LI2F71■+V22F71■+V21.橢圓同一法證明：由XL"Fl 十 二1￥1(1)知點1’匕）為橢圓與直線的公共點，若橢圓與直同一法證明：由XL"Fl 十 二1￥1(1)知點1’匕）為橢圓與直線的公共點，若橢圓與直(3)線還有一個公共點''，則(3)XL(1)+(2)—2(3)：—即1. 1 -1匚，直線與橢圓僅有一個公共點，故為切線。2）橢圓切線的一般表示2 p點1-1 'J-ill0I為橢圓? ?上點的一般表示，代入上面的切點公式得KcasBysin一 ■.此為橢圓切線的一般表示。練習題：求橢圓-一.上點與直線距離的最大值。seas巾設橢圓切線Iysln$: :，令其斜率CCSseas巾設橢圓切線Iysln$: :，令其斜率CCS,.irI—I巨1'T-與小…=汪、23）切點弦直線?點14.」為橢圓 ?一夕卜一點，由P可向橢圓引YiYdV=■o(1)7T=■o2)TOC\o"1-5"\h\z兩條切線PA,PB,切點A,B。直線AB稱為切點弦直線。容易證明點1'*宀）的切點弦直線方程為 ’-。設切點4U?：'，貝yX1X717 、 Wq切線PA:?I? ?，由切線過1L'- ，貝「聞 & 、 匪知切線PB: ，由切線過1 ，貝「由（1）,（2），直線「十誥-1過並宀），弧」）。故為切點弦直線。雙曲線（1） 若點1'"」）為雙曲線-上一點，則雙曲線過點P的切線方程為 ’■o（2） 若點「：；一?■」為雙曲線拱形外一點，則由P可引雙曲線的兩條切線PA，PB，切點A,B，科 Toy 弋切點弦直線AB方程為 -。拋物線（1） 若點N—i為拋物線廠一二：?上一點，則拋物線"一詔.?在點U「i處的切線方程為y- .完全類似于橢圓時情形，用同一方法進行證明。若拋物線方程為廠-匕，其上一點N— 則點p處切線方程為— ■-1o若拋物線方程為三-A其上一點14」i,則點P處切線方程為:'■. '> ：1（2）若點14 為拋物線匚-二:?拱形外一點，則由P可引拋物線匸-二:泊勺兩條切線PA,PB,切點A,B,則切點弦AB所在直線方程為 ■■- -：o練習題：（08山東理）M為 上任意一點，MA,MB為蓋-2?'的兩條切線。求證：A,M,B三點橫坐標成等差。證明：設亠一：〔由求導公式得過點A的拋物線切線為aa-i'G]+、），同理點二（》.「）處切線為工、-記+■）若這兩條直線是由點:化」 所引的兩切線， A八--'<■ 川…"：-11 .這一結果表明直線n一i'1.- 二1'：過點4；?一Ji,點」I.：），故直線—一 $ 即 為 直 線 ABx3.圓x3.圓1） 若點「：；「’°為圓■■■- >--I-上一點，則方程--- '為圓在點P處的切線。2） 若點1'"」°為圓「I：I"r上一點，則方程* ，*'丄 11■- ■：'為圓在點P處的切線。3）若點二-或I-' |上一點，則方程■-■■- ■- 「或1■■ ■r ir-' ?為切點弦直線。練習題：1?由P（3,4）向圓三匚-一引兩條切線PA，PB,切點A,B,求厶PAB外接圓方程。解：由P（3,4）向圓 所引切點弦直線方程為；、?方程「十廠-I+、（：汽|-1'--1）二〔：為過A,B兩點的圓系方程，代入P（3,4），，外接圓方程為_r2_2.（09山東）圓工］--:在橢圓一一.內(nèi)部，求t使圓衛(wèi) -:上任意一點處的切線與橢圓交于點A,B兩點，都有0A丄0B。解：設為圓衛(wèi)?-J上一點，此點切線為八：- .代入橢圓得寫-「，得戸池解：設為圓衛(wèi)?-J上一點，此點切線為八：- .代入橢圓得寫-「，得戸池由0A丄0B知a\： ■- 卜：宀 ■：| '」i」L .2?-"I成八石再將切線八■-'有關切點弦直線的統(tǒng)一結論：在準線上任一點的切點弦直線必過對應的焦點。1）橢圓? ?，左準線二：二-￡上一點〔 J「I的切點弦直線.? ,■ 1-代入左焦點'■■-:，方程成立。對于雙曲線，拋物線同樣證明。

2）拋物線 準線上一點的切點弦直線，不僅過焦點，且兩條切線垂直?？梢灾苯幼C明：設過點M（-右兀）的直線：》”「；代入匚-門，得一代入后方程:二請自己寫結果）由這一方程的' :彳得一斜率為K的二次關系式，視為K的一元二次方程。由韋達定理-上：-」.間接證明:先證切點弦直線必過焦點，再由焦點弦端點坐標公式，證明所引的兩條切線必定垂直。關于圓錐曲線焦點弦一個有關角度的結論:如圖，AB為圓錐曲線任意一條焦點弦，點E為準線和對稱軸焦點（亦稱準點），則定有ZAEF=ZBEFO證明：設點C,D為點B,A在準線上的射影，由圓錐曲線統(tǒng)一定義：「由＜II■'■''I' -、「即