中考初中三年數(shù)學最全公式定理總結

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中考初中三年數(shù)學最全公式定理總結

1.有理數(shù)的分類

(1)按數(shù)的“整分性”分類(2)按數(shù)的E負性”分類

［［正整數(shù)右礎利整數(shù)

一正有理婁

整數(shù)零.正分數(shù)

有理數(shù)<［負整數(shù)有理數(shù)<零

(負整數(shù)

分數(shù)負有理方

負分數(shù)1負分數(shù)

2,絕對值

a(a>0)

絕對值的代數(shù)定義\a\=<0(a=0)

-a(a<0)

3.圖形的認識

直線、射線、線段之間的區(qū)別

直線射線線段

//?/1

圖形

ABABAB

表示

直線AB或直線1射線AB或射線1線段AB或線段1

方法

端點

0個1個2個

個數(shù)

延伸

向兩邊無限延伸向一邊無限延伸不能延伸

方向

有關兩點之間，線段最

兩點確定一條直線無

性質短

4.整式乘法

（1）同底數(shù)幕的乘法：am-an=am+nn都是正整數(shù)）

（2）轅的乘方：（。加）〃=an,n（m,n都是正整數(shù)）

（3）積的乘方：（h）（n是正整數(shù)）

（4）底數(shù)的推廣：

卜"（〃為偶數(shù)）

①(一。)"=1-a"（〃為奇數(shù)）

m—6）”（〃為偶數(shù)）

②S—。)"=

—（a-6）"（〃為奇數(shù)）

'平方差公式:(a+b)(a—b)=a2—b2

（5）乘法公式:

、完全平方公式:(a±b)=a2±2ab+b2

（6）平方差公式常見的變化形式:

①位置變化：(-b+a)(b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2

②符號變化：(-<?+b)(-a-b)=(-a)~-b~=a~-b2

③系數(shù)變化：(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2

④指數(shù)變化:(m2+n2)(m2—n2)=(TW2)2—(M2)2=m4—n4

⑤增項變化：(〃+6+c)(t+b-c)=(a+b)~-c~=...

⑥增因式變化：

(-a-b)(-a+b)(a-b)(a+b)=[(-a)2-b2]{a~-b2)=...

⑦連用公式變化：

(a+b)(a-b)(a2+b2)(a4+b4)=(a2-b2\a2+b2\a4+b4)=(a4-b4)(a4+/)=/一/

(7)完全平方公式常見的變化形式：

①/+方2=([+6)2_2ab

@a2+b2=(a-b)2+2ab

③(〃+b)2=((7-b)?+4ab

@(a-b)2=(a+b)2-4ab

⑤(Q+6尸+(?-/>)2=2(?2+b2)

⑥(a+療-(a-b)2=4ab

⑦(〃+b+c)2=a2+b2+c2+2ab4-2bc+2ac

5.數(shù)據(jù)分析

平均數(shù)與方差公式

名稱公式

1.、

平均數(shù)X=—(X[+X)+.??+X)

nn

匹叱+xw+...+xw

加權平均數(shù)22nn

嗎+W2+…+嗎

1———

方差-―[(X]—+(x?—x)-+…+(x^x)1]

n

6.分式的運算

(1)分式的基本性質：①巴(bwO,cwO)

b'Cb

"cac八、

②-------=—(bW0,cW0)

b+cb

^-aa-a_a_a

③——二一(MO)

-bbb-bb

(2)分式的乘法：——(^^0,c/^0)

bdbd

⑶分式的除法：—4--=—.—=—(Z)^o,c^O)

bdbcbe

(4)分式的加減法:

①同分母;±g=-3wo)

bbb

adbead±be

②異分母卷±三=—土—=-------(b于W0)

bdbdbdbd

⑸分式的乘方：(：)"二"SwO,〃是正整數(shù))

⑹同底數(shù)幕的除法：。嗅=。?"("0,加,〃都是正整數(shù))

⑺零指數(shù)基：a=l(a^O)

(8)負整指數(shù)第：4一〃二二-(4W0,〃為正整數(shù))

an

(9)解分式方程的一般步驟：

①去分母：在方程左右兩邊都乘以最簡公分母，化為整式方程.

②解方程：解整式方程.

③驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，若結果為零，則這個根是方程

的增根，必須舍去.

7.全等三角形

證明三角形全等的常見思路：

［找夾角fWS

⑴已知兩邊：.找直角一兒

找第三邊->SSS

?一邊為角的對邊一找另一角-44S

⑵已知一邊一角：［找夾角的另一邊—S4s

一邊為角的鄰邊?找夾邊的另一角—4SN

找邊的對角-44S

(3)已知兩角：［找夾邊—4"

找其中一角的對邊f(xié)44S

8.等式與不等式的區(qū)別

等式的性質不等式的性質

對稱性：若。=性,則反對稱性：若a>b,則6<。

傳遞性：若a=b,b=c,則。=。傳遞性：若a>6,b〉c,則a>c

性質1：若〃=力，則?！纀=b±c性質1：若a>b,則t±c>b±c

性質2：若a=b,則QC=6C；性質2：若a>b,c>0,則Qc>6c,g>2

cc

若a—b,cwO,則一一一

cC性質3：若。>6,c<0,則℃<加;刊<0

cC

9.一元一次方程與一元一次不等式的區(qū)別

一元一次方程一元一次不等式

①去分母①去分母

②去括號②去括號

③移項③移項

解法步驟④合并同類項④合并同類項

⑤系數(shù)化為1⑤系數(shù)化為1

在上面的步驟①和⑤中，如果乘的因數(shù)或除數(shù)是負

數(shù)，則不等號的方向要改變

解一元一次方程只有一個解一元一次不等式一般有無數(shù)多個解

10.一元一次不等式組解集的基本類型

不等式組

在同一數(shù)軸上的表示解集口訣

（設a<Z>）

x<a同小

/〃//x<a

x<b—>取小

07b

x>a

*同大

]1////)x>b

x>b取大

0ab

x>a

V

1_____///a<x<b大小、小大中間找

x<b—>

07b

大大、小小無處找

x<a

V空集（無解）

x>h1_____~>

07I

11.二次根式

(1)二次根式的性質

a{a>0)

①(石產=a(a20)②7^=同=<0(0=0)

-a{a<0)

行與（JZ］的區(qū)別與聯(lián)系

公式意義字母a的取值范圍運算結果聯(lián)系

a可為任意實數(shù)同當時，

/----/r-"\7

yfa?4a<7>0ayfa^a)

(2)二次根式的乘法：4a-Jb=4ab(a>0,7?>0)

⑶二次根式的除法：今書aNO,b>O)i

(4)商的算術平方根:/%沁…)

12.解直角三角形

(1)常用的性質

①直角三角形中有一個是直角.

②直角三角形中兩個銳角互余.

③直角三角形中，30r角所對的邊等于斜邊的一半.

④直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

222

⑤直角三角形勾股定理：a+b=c(。、8為直角邊，c為斜邊)

⑥角平分線性質：角平分線上的點到角兩邊的的距離相等

⑦角平分線的性質的逆定理：角內部到這個角的兩邊距離相等的點在角平

分線上

(2)判定直角三角形的方法：

①證明三角形中有一個角為直角.

②證明三角形中兩個銳角互余.

③證明三角形三邊滿足勾股定理(。2+入2二0?).

13.四邊形

〃邊形內角和公式：(〃-2)480°

(1)多邊形常用公式:

求正〃邊形各內角度數(shù):包旦幽

n

(2)正方形、矩形、菱形和平行四邊形的關系:

(3)四邊形的性質和判定

圖形定義頡判定

邊：對邊平行且相等兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

兩組對邊分別平行的四

角1對角相等,鄰角互補兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

邊形叫做平行四邊形

對角線：對角戰(zhàn)互相平分一組對邊平行且相等的四邊形平行四邊形.

對稱性：中心對稱圖形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

平行四邊形

區(qū)邊：對邊平行且相等

有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

有一個角是直角的平行角：四個角都是直角

有三個角是直角的四邊形是矩形.

四邊形叫做矩形.對角線：對角線互相平分且相等

對角線相等的平行四邊形是矩形.

對稱性：既是中心對稱圖形，

也是軸對稱圖形

矩形

邊：對邊平行，四條邊都相等

角：對角相等,鄰角互補有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

有一鋌第邊相等的平行

對角線：對角線互相垂直平分，四條邊相等的四邊形是菱形.

四邊形叫做菱形

15一條對角線平分一組對角.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

對稱性：既是中心對稱圖形，

菱形也是軸對稱圖形

區(qū)邊：對邊平行，四條邊都相等

有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊

有一姐領邊相等且有一角：四個角都是直角

形是正方形.

個角是直雋的平行四邊對角線：對角貨互相垂直平分且相等，

有一個角是直角的菱形是正方形.

形叫做正方形.每一條對角線平分一組對角.

有一組鄰邊相等的矩形是正方形.

對稱性：既是中心對稱圖形，

也是軸對稱圖形

防形

三邊：兩腰相等

兩腰相等的梯形叫做等

角：同一底上的兩底角相等兩腰相等的梯形是等腰梯形.

腰梯形

對角線：對角線相等在同一底上的兩個底角相等的梯形是等腰梯形.

對稱性：軸對稱圖形

等腰橋形

14.一次函數(shù)

(1)一次函數(shù)的性質

k、6的符號函數(shù)圖象圖象的位置性質

圖象過

b>0第一一二

7象限

y隨x增大而

k>0

增大

圖象過

b<0第一、三、四

象限

圖象過

b>0第一、二、四

象限

y隨x增大而

k<0

J卜減小

V圖象過

b<0第二、三、四

0J象限

\\

(2)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟

①設出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式

②把已知條件(自變量與函數(shù)的對應值)帶入解析式，得到關于待定系數(shù)

的方程或方程組；

③解方程或方程組，求出待定系數(shù)；

④將求得的待定系數(shù)得知帶入解析式.

15.反比例函數(shù)

k

公式>=_（左wO）

X

k的符號k>0k<0

）

圖像

①X的取值范圍是xw°,y①＞的取值范圍是xw°,y

的取值范圍是的取值范圍是、*（）.

②函數(shù)圖像的兩個分支分別

②函數(shù)兩個分支分別在第在第二、第四象限內，在每

性質一、第三象限內，在每個象限個象限內，y隨x的增大而

內，.『隨X的增大而減小增大

反比例函數(shù)的圖像既是軸對稱圖形，又是中心的對稱圖形.

它有兩條對稱軸，分別是直線）=%和）=-X,對稱中

心是坐標原點（0,0）

過雙曲線上任意一點引X軸

或y軸的垂線，垂線與坐標

原點所圍成的圖形面積為：

k的幾何

意義S

°AOEF-2Ex

v-k

nOEFC~"

16.一元二次方程

(1)解一元二次方程的方法

理論依據(jù)：若42=0,貝必=0或6=0

①因式分解法.解法：化為做+"次+")=0的形式

解得：QX+6=0或cx+d=0

②直接開平方法,若爐=-°)，則X=土a

若(x-a)2=b(b>0),貝k-a=±后,即x=a+4b

③配方法理論依據(jù)：完全平方公式/±2ab+〃=(a±b)2

.解法:化為(x+〃?y=n(n>0削形式

化為?+bx+c=0(<7W0)的形式

④公式法n------

求根公式："生業(yè)二色僅一4女之0)

I2a

(2)一元二次方程跟與系數(shù)的關系

b

韋達定理西+夕工

*

xx-x2=—

、a

重要變形：

①X；+X，=（X]+%2）2-；

②1|1二占+工2；

/x2x1x2

(3)三_^1__+X2_&+與)-2X]72.

x}x,x}x2x}x2

22

④(x1-x2)=(再+x2)-4xtx2

2

⑤(項+k\x2+k)=xlx2+左(項+x2)+k；

22

@|X]-X2|=yj(xt-x2)=+x2)—4中2

17.圖形的相似

⑴線段的比

若g則a4=be

bd

則3=2或1=￡

右g一萬'

①比例線段的性質cdba

芋Q_C

右———，WlJ-=-

bdac

Qc則4土b二C±d

右一=1，

bdbd

②黃金分割比：蟲二L丈0.618

2

18.相似三角形

(1)相似三角形的幾種圖形

AED

①0

②

BC

(2)證明三角形相似的常見思路

①已知一角對應相等，可再找：

［另一角對應相等

［夾已知角的兩邊對應成比例

②已有兩邊對應成比例，可再找：

'這兩邊的夾角對應相等

〔第三邊的比值與前面兩對邊的比值相等

③若兩個三角形式等腰三角形，可再找：

'頂角對應相等

-一底角對應相等

一腰與底邊對應成比例

④若兩個三角形是直角三角形，可再找：

J一銳角對應相等

［夾直角的兩直角邊對應成比例

(3)相似二角形的性質

’對應線段：對應高的比、對應中線的比上

相似三角形的性質周長：周長的比等于相似比

面積：面積的比等于相似比的平方

’對應線段：對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比等于相似比

相似多變形的性質周長：周長的比等于相似比

面積：面積的比等于相似比的平方

19.銳角三角函數(shù)

(1)特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)a30°45°60°

]_V2V3

正弦sina

2~T2

V31

余弦cosa

222

V3

正切tan。1V3

~T

.h

(2)坡度：1=7(力為坡面的鉛垂高度，/為水平寬度)

(3)三角函數(shù)的關系

①同角三角函數(shù)之間的關系(a為銳角)

平方關系:sin?a+cos2a=1

、/-27sina

商數(shù)天東::tana=-----

COST

②互為余角的三角函數(shù)關系

sina=cos(900-a)

costz=siii(90°-?)

20.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)了uaF+bx+c(qwo)的圖像與性質

關系式一般式頂點式

解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(aw0)y=a(x-j+k{aw0)

圖像形狀拋物線

開口方向當a>0時，開口向上；當avO時，開口向下

'b4ac-bz

頂點坐標*，(h,k)

、2a4a?

b

對稱軸X=----x-h

at2a

;

圖像v0|

a>0a<0

增a>對稱軸左側，即x<_2或XV。，y隨x增大而減??；

減02a

性對稱軸右側，即x>_2或X>力，y隨X的增大而增大

2a

對稱軸左側，即x<_2或XV。，y隨X增大而增大；

a<2a

0對稱軸右側，即X>—2或x>6,y隨X的增大而減小

2a

當x=__L時，

a>2a

當％=力時，v最小值=左

04ac-b2

R最小值-4a

最

值當x=__L時，

2a

a<當*二〃時，丁最大值=￡

04ac-b2

?"最大值-布

(2)二次函數(shù)圖像特征與a、b、以4ac之間的關系

字母字母的符號圖像的特征

a>0開口向上

a

a<0開口向下

b=0對稱軸為y軸

ba、b同號對稱軸再y軸左側

a、b異號對稱軸再y軸右側

c=0圖象過原點

cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負半軸相交

tf-4ac-0與X軸有唯一交點(即頂點)

tf~4actf-4ac>0與X軸有兩個不同的交點

tf-4ac<0與X軸無交點

⑶二次函數(shù)的圖像平移規(guī)律

移動方向平移前解析式平移后解析式簡記

向左平移

y=67(x-/?)2+ky=a(x-h++k左加

m個單位

向右平移

右減

加個單位y=a(x-h^+ky=a(x-h-mf+k

向上平移

y=a(x-〃I+攵y=a(x-h^+k+m上加