高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)

高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)第1頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個(gè)抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，它是某一類(lèi)事物從量的方面的一個(gè)抽象，即把實(shí)際問(wèn)題看作向量空間，進(jìn)而通過(guò)研究向量空間來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．一、線性空間的定義第2頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若對(duì)于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為與的積，記作定義１設(shè)是一個(gè)非空集合，為實(shí)數(shù)域．如果對(duì)于任意兩個(gè)元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為與的和，記作第3頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么就稱(chēng)為數(shù)域上的向量空間（或線性空間）．第4頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第5頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組．3．判別線性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．說(shuō)明1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，稱(chēng)為線性運(yùn)算．第6頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（１）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性．例１實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法第7頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿足線性運(yùn)算規(guī)律．第8頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第9頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例４正弦函數(shù)的集合對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．第10頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四是一個(gè)線性空間.例５在區(qū)間上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間．一般地第11頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例６正實(shí)數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間．（２）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律．證明所以對(duì)定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉．第12頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律：第13頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四所以對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間．第14頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四不構(gòu)成線性空間．對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例７個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體第15頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1．零元素是唯一的．證明假設(shè)是線性空間V中的兩個(gè)零元素，由于所以則對(duì)任何，有二、線性空間的性質(zhì)第16頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．負(fù)元素是唯一的．證明假設(shè)有兩個(gè)負(fù)元素與，那么則有向量的負(fù)元素記為第17頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明第18頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4．如果，則或.證明假設(shè)那么又同理可證：若則有第19頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、線性空間的子空間定義2設(shè)是一個(gè)線性空間，是的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱(chēng)為的子空間．定理線性空間的非空子集構(gòu)成子空間的充分必要條件是：對(duì)于中的線性運(yùn)算封閉．第20頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解(1)不構(gòu)成子空間.因?yàn)閷?duì)例8有第21頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四即對(duì)矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.對(duì)任意有于是第22頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四滿足且第23頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四線性空間的元素統(tǒng)稱(chēng)為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等.線性空間是一個(gè)集合對(duì)所定義的加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉所定義的加法及數(shù)乘符合線性運(yùn)算四、小結(jié)線性空間是二維、三維幾何空間及維向量