周期或規(guī)律題型探索（解析版）-2021年河南中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練

專題20周期或規(guī)律題型探索一、選擇題1．（2020重慶A卷）把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)黑色三角形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)黑色三角形，第③個(gè)圖案中有6個(gè)黑色三角形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑤個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為（） A．10 B．15 C．18 D．21【答案】B【解析】本題考查了圖形規(guī)律的探索，觀察圖形可知，第①個(gè)圖案黑色三角形個(gè)數(shù)為1，第②個(gè)圖案黑色三角形個(gè)數(shù)為3=1+2，第③個(gè)圖案黑色三角形個(gè)數(shù)為6=1+2+3,…，按此規(guī)律可知第⑤個(gè)圖案黑色三角形個(gè)數(shù)為1+2+3+4+5=15．2．（2020鄂州）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在軸上，且，直線與雙曲線交于點(diǎn)，則（n為正整數(shù)）的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，屬于規(guī)律問題，求出是解題的關(guān)鍵．先求出的坐標(biāo)，由題意容易得到為等腰直角三角形，即可得到，然后過作交y軸于H，，通過反比例函數(shù)解析式可求出x，從而能夠得到，再同樣求出，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律．解：聯(lián)立，解得，∴，，由題意可知，∵，∴為等腰直角三角形，∴，過作交y軸于H，則容易得到，設(shè)，則，∴，解得，（舍），∴，，∴，用同樣方法可得到，因此可得到，即故選：D．3.（2020重慶B卷）下列圖形都是由同樣大小的實(shí)心圓點(diǎn)按一定的規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形一共有5個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，第②個(gè)圖形有8個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，第③個(gè)圖形有11個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，…，按此規(guī)律排列下去，第⑥個(gè)圖形中的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．18 B．19C．20 D．21【答案】C【解析】本題考查了圖形規(guī)律的探索，觀察圖形可知，第①個(gè)圖形實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5=（2×1+1）+2，第②個(gè)圖形實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8=（2×2+1）+3，第③個(gè)圖形實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為11=（2×3+1）+4,…，按此規(guī)律可知第⑥個(gè)圖形實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（2×6+1）+7=20，因此本題選C．4.（2020德州）下面是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個(gè)這樣的圖案黑色棋子的個(gè)數(shù)是A. 148 B. 152 C. 174 D.202【答案】C【解析】圖①中的黑子棋子數(shù)是0+2（1+2+3）；圖②中的黑子棋子數(shù)是2+2（1+2+3+4）；圖③中的黑子棋子數(shù)是4+2（1+2+3+4+5）；圖=4\*GB3④中的黑子棋子數(shù)是6+2（1+2+3+4+5+6）；…第10個(gè)這樣的圖案黑子棋子數(shù)是2×9+2（1+2+3+4+5+6+…+11+12）=.5.（2020天水）觀察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是（）A．2S2－S B．2S2＋S C．2S2－2S D．2S2－2S－2【答案】A【解析】根據(jù)等式的規(guī)律，可知2100＋2101＋2102＋…＋2199＋2200＝2100(1＋2＋22＋…＋299＋2100)＝2100(1＋2101－2)＝2×(2100)2－2100，又2100＝S，即可用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和為2S2－S．因此本題選A．6．（2020聊城）人行道用同樣大小的灰、白兩種不同顏色的小正方形地磚鋪設(shè)而成，如圖中的每一個(gè)小正方形表示一塊地磚，如果按圖①②③…的次序鋪設(shè)地磚，把第n個(gè)圖形用圖eq\o\ac(○,n)表示，那么圖eq\o\ac(○,50)中的白色小正方形地磚的塊數(shù)是（）……①②③A．150B．200C．355D．505【答案】C【解析】該類規(guī)律猜想題可從圖形規(guī)律、數(shù)字規(guī)律或函數(shù)等角度分析求解．方法1：根據(jù)圖形規(guī)律可知，白色小正方形地磚的塊數(shù)分別為：①5×3－3×1；②5×5－3×2；③5×7－3×3；…則圖eq\o\ac(○,n)有白色小正方形地磚的塊數(shù)是5(2n＋1)－3n＝7n＋5，圖eq\o\ac(○,50)中的白色小正方形地磚的塊數(shù)是7×50＋5＝355．方法2：從數(shù)字規(guī)律考慮，圖①、②、③中白色小正方形地磚的塊數(shù)分別為12，19，26，…發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)的差均為7，即有①12＝7×1＋5；②19＝7×2＋5；③26＝7×3＋5；…則圖eq\o\ac(○,n)中白色小正方形地磚的塊數(shù)是7n＋5，eq\o\ac(○,50)中的白色小正方形地磚的塊數(shù)是7×50＋5＝355．方法3：從函數(shù)角度入手考慮，根據(jù)題意，初步猜想白色小正方形地磚的塊數(shù)s與圖形序號(hào)n具有一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)s＝kn＋b，把（1，12）、（2，19）代入，得解得∴s＝7n＋5．驗(yàn)證：當(dāng)n＝3時(shí)，s＝7×3＋5＝26，符合題意．當(dāng)n＝50時(shí)，s＝7×50＋5＝355．二、填空題1．（2020銅仁）觀察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，則220+221+222+223+224+…+238+239+240＝（結(jié)果用含m的代數(shù)式表示）．【答案】2m2﹣m【解析】由題意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再將220＝m代入，原式＝m（2m﹣1）=＝2m2﹣m．2．（2020黔西南州）如圖所示的圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為________．【答案】57【解析】本題考查了圖形規(guī)律探究．第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，即2＋1×1＝3；第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，即3＋2×2＝7；第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，即4＋3×3＝13；…，按此規(guī)律排列下去，所以第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為:8＋7×7＝57，因此本題答案為57．3．(2020綏化)下面各圖形由大小相同的黑點(diǎn)組成，圖(1)中有2個(gè)點(diǎn)，圖(2)中有7個(gè)點(diǎn)，圖(3)中有14個(gè)點(diǎn)，……，按此規(guī)律，第10個(gè)圖中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______．……【答案】119【解析】將每個(gè)圖形左、右各補(bǔ)上一個(gè)點(diǎn)，使它們分別成為“方陣”．第n個(gè)圖形左、右各補(bǔ)一個(gè)點(diǎn)后，斜著看共有(n＋1)行，每行有(n＋1)個(gè)點(diǎn)，因此第n個(gè)圖形原有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(n＋1)2－2．當(dāng)n＝10時(shí)，(10＋1)2－2＝112－2＝119(個(gè))．4.（2020江蘇徐州）如圖，∠MON=30?，在OM上截取OA1=.過點(diǎn)A1作A1B1⊥OM，交ON于點(diǎn)B1,以點(diǎn)B1為圓心，B1O為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A2；過點(diǎn)A2作A2B2⊥OM，交ON于點(diǎn)B2,以點(diǎn)B2為圓心，B2O為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A3；按此規(guī)律，所得線段A20B20的長等于.【答案】219【解析】先分別求出A1B1、A2B2、A3B3的值，然后找出它們的規(guī)律，從而得出線段A20B20的長.∵∠O=30?，OA1=，∴OB1=，A1B1==20，∵OB1=B1A2=2,∴∠B1A2A1=∠O=30?，∴∠OB1A1=∠A2B1A1=60?,∴∠B2B1A2=60，∵B2A2⊥OM，∴∠B1A2B2=60?,∴△B1A2B2為等邊三角形，同理可得：△B2A3B3為等邊三角形，∴B2A2=2=21，∴A3B3=A3B2=2A2B2=4=22,同理可求得A4B4=8=23，∴A20B20=219.5.（2020衡陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(，)，將線段OP1繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2；又將線段OP2繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP2的2倍，得到線段OP3；如此下去，得到線段OP4、OP5...OPn（n為正整數(shù)）

，則點(diǎn)P2020的坐標(biāo)是.【答案】（22018，﹣22018）【解析】本題考查了點(diǎn)的變化規(guī)律，根據(jù)題意得出點(diǎn)P2020的坐標(biāo)與點(diǎn)P3的坐標(biāo)在同一直線上是解題關(guān)鍵.∵點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（），將線段OP1繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到線段OP4＝23，OP5＝24…，∴OPn＝2n-1，由題意可得出線段每旋轉(zhuǎn)8次旋轉(zhuǎn)一周，∵2019÷8＝252…3，∴點(diǎn)P2020的坐標(biāo)與點(diǎn)P3的坐標(biāo)在同一直線上，正好在第4象限角平分線上，∴點(diǎn)P2020的坐標(biāo)是（22018，﹣22018）．因此本題答案為（22018，﹣22018）．6．(2020自貢)如圖，直線y=-3x+b與y軸交于點(diǎn)A，與雙曲線y=kx在第三象限交于B、C兩點(diǎn)，且AB?AC＝16．下列等邊三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的邊OE1，E1E2，E2E3，…在x軸上，頂點(diǎn)D1，D2，D3，…在該雙曲線第一象限的分支上，則k＝，前25個(gè)等邊三角形的周長之和為【答案】43，60．【解析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解直角三角形，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，探究規(guī)律行規(guī)知識(shí)．解：設(shè)直線y=-3x+b與x軸交于點(diǎn)D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F∵y=-3x+b，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x=33b，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（33當(dāng)x＝0時(shí)，y＝b，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），∴OA＝﹣b，OD=-33∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，∵直線y=-3x+b與雙曲線y=kx在第三象限交于B、C兩點(diǎn)，∴-整理得，-3x2+bx﹣k＝0，由韋達(dá)定理得：x1x2=33k，即EB?FC∵EBAB=cos60°=12，∴AB＝2EB，同理可得：∴AB?AC＝（2EB）（2FC）＝4EB?FC=433k＝16，解得：k＝由題意可以假設(shè)D1（m，m3），∴m2?3=43，∴m＝2∴OE1＝4，即第一個(gè)三角形的周長為12設(shè)D2（4+n，3n），∵（4+n）?3n＝43，解得n＝22-2∴E1E2＝42-4，即第二個(gè)三角形的周長為122-12，設(shè)D3（42+a，由題意（42+a）?3a＝43，解得a＝23-22，即第三個(gè)三角形的周長為123-…，∴第四個(gè)三角形的周長為124-123，∴前25個(gè)等邊三角形的周長之和12+122-12+123-122+124-123+?+1225因此本題答案為：43，60．7．（2020泰安）右表被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”．其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和．表中兩平行線之間的一列數(shù)：1，3，6，10，15，......，我們把第一個(gè)數(shù)記為a1，第二個(gè)數(shù)記為a2，第三個(gè)數(shù)記為a3，......，第n個(gè)數(shù)記為an，則a4＋a200﹦___________．【答案】20110【解析】本題考查了對(duì)有理數(shù)探索規(guī)律和有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)表中數(shù)據(jù)排列，會(huì)發(fā)現(xiàn)a2=3=2+1、a3=6=3+2+1、則a4=1+2+3+4=10，a200=1+2+3+4+…+199+200=EQ\f(200×（200+1）,2)=20100，所以，a4＋a200﹦20110，因此本題答案為20110．8．（2020齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動(dòng)并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動(dòng)后點(diǎn)A1（0，2）變換到點(diǎn)A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滾動(dòng)后點(diǎn)A2變換到點(diǎn)A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滾動(dòng)后點(diǎn)A3變換到點(diǎn)A4（10，4EQ\R(,2)），得到等腰直角三角形④；第四次滾動(dòng)后點(diǎn)A4變換到點(diǎn)A5（10+12EQ\R(,2)，0），得到等腰直角三角形⑤；依此規(guī)律…，則第2020個(gè)等腰直角三角形的面積是．【答案】22020【解析】根據(jù)A1（0，2）確定第1個(gè)等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面積，根據(jù)A2（6，0）確定第1個(gè)等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面積，…，同理，確定規(guī)律可得結(jié)論．∵點(diǎn)A1（0，2），∴第1個(gè)等腰直角三角形的面積＝2，∵A2（6，0），∴第2個(gè)等腰直角三角形的邊長為2EQ\R(,2)，∴第2個(gè)等腰直角三角形的面積＝22，∵A4（10，4EQ\R(,2)），∴第3個(gè)等腰直角三角形的邊長為10﹣6＝4，∴第3個(gè)等腰直角三角形的面積＝8＝23，…則第2020個(gè)等腰直角三角形的面積是22020；故答案為：22020（形式可以不同，正確即得分）．9.（2020達(dá)州）已知k為正整數(shù)，無論k取何值，直線l1：y=kx+k+1與直線l2：y=（k+1）x+k+2都交于一個(gè)固定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是；記直線l1和l2與x軸圍成的三角形面積為Sk，則S1=，S1+S2+S3+…+S100的值為.【答案】（﹣1,1），14，【解析】聯(lián)立函數(shù)解析式得kx+k+1=（k+1）x+k+2，解得x=﹣1，將x=﹣1代入直線l1的解析式得y=1，所以交點(diǎn)為（﹣1，1）．當(dāng)k=1時(shí)，直線l1：y=x＋2和直線l2：y=2x+3與x軸的交點(diǎn)分別為（﹣2，0）和（﹣32，0），所以圍成的三角形面積S1=12×12×1=14，依次可得：S2=112，S3=124，S4=140，……，發(fā)現(xiàn)Sn=12nn+1，所以S1+S2+S3+…+S100=14+112+124+140+……+1200×101=12（1﹣12+12﹣13+13﹣110．（2020泰州）以水平數(shù)軸的原點(diǎn)O為圓心過正半軸Ox上的每一刻度點(diǎn)畫同心圓，將Ox逆時(shí)針依次旋轉(zhuǎn)30°、60°、90°、、330°得到11條射線，構(gòu)成如圖所示的“圓”坐標(biāo)系，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別表示為(5，0°)、(4，300°)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)表示為_______．【答案】(3，240°)【解析】本題考查了有序數(shù)對(duì)，前一個(gè)數(shù)字表示該點(diǎn)到圓心的距離，后一個(gè)數(shù)字表示方向．．11．（2020山西）如圖是－組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相等的正三角形組合而成，第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形．．．按此規(guī)律擺下去，第n個(gè)圖案有_________個(gè)三角形（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】（3n＋1）【解析】本題考查規(guī)律探究．第1個(gè)圖案有個(gè)4三角形，4＝1+3；第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，7＝1+2×3；第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，10=1＋3×3…按此規(guī)律擺下去，第n個(gè)圖案有（3n＋1）個(gè)三角形．故答案為3n＋1．12．（2020湘西州）觀察下列結(jié)論：（1）如圖①，在正三角形ABC中，點(diǎn)M，N是AB，BC上的點(diǎn)，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N是AB，BC上的點(diǎn)，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如圖③，在正五邊形ABCDE中點(diǎn)M，N是AB，BC上的點(diǎn)，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE＝108°；…根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對(duì)相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過程，即點(diǎn)M，N是A1A2，A2A3上的點(diǎn)，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也會(huì)有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是．【答案】A1N＝AnM，∠NOAn【解析】本題考查了正多邊形和圓、規(guī)律型：圖形的變化類、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的性質(zhì)．∵（1）如圖①，在正三角形ABC中，點(diǎn)M，N是AB，BC上的點(diǎn)，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC60°；（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N是AB，BC上的點(diǎn)，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD90°；（3）如圖③，在正五邊形ABCDE中點(diǎn)M，N是AB，BC上的點(diǎn)，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE108°；…根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對(duì)相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過程，即點(diǎn)M，N是A1A2，A2A3上的點(diǎn)，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也有類似的結(jié)論是A1N＝AnM，∠NOAn．因此本題答案是A1N＝AnM，∠NOAn．13．（2020懷化）如圖，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一邊在x軸上的等邊三角形，點(diǎn)B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函數(shù)y=3x（x＞0）的圖象上，點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，都在x軸上，則An的坐標(biāo)為【答案】(2【解析】解：如圖，過點(diǎn)B1作B1C⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B2作B2D⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B3作B3E⊥x軸于點(diǎn)E，∵△OA1B1為等邊三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C=3OC設(shè)OC的長度為t，則B1的坐標(biāo)為（t，3t），把B1（t，3t）代入y=3x得t?3t=3，解得t＝1或t∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），設(shè)A1D的長度為m，同理得到B2D=3m，則B2的坐標(biāo)表示為（2+m，3m把B2（2+m，3m）代入y=3x得（2+m）×3m=3，解得m=2-∴A1D=2-1，A1A2=22-2，∴A2（22，0設(shè)A2E的長度為n，同理，B3E為3n，B3的坐標(biāo)表示為（22+n，3n把B3（22+n，3n）代入y=3x得（22+n）?∴A2E=3-2，A2A3=23-2∴A3（23，0綜上可得：An（2n，0故答案為：(214.（2020張家界）觀察下面的變化規(guī)律：，……根據(jù)上面的規(guī)律計(jì)算：__________．【答案】【解析】本題考查規(guī)律的抽象總結(jié)，解答該類型題目需要準(zhǔn)確識(shí)別題干所給的例子包含何種規(guī)律，嚴(yán)格按照該規(guī)律求解．本題可通過題干信息總結(jié)分式規(guī)律，按照該規(guī)律展開原式，根據(jù)鄰項(xiàng)相消求解本題．由題干信息可抽象出一般規(guī)律：（均為奇數(shù)，且）．故．故答案：．15．（2020本溪）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點(diǎn)E，使AE＝DA，連接EB，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，連接EF1，BF1，得到△EF1B；點(diǎn)F2是CF1的中點(diǎn)，連接EF2，BF2，得到△EF2B；點(diǎn)F3是CF2的中點(diǎn)，連接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形ABCD的面積等于2，則△EFnB的面積為．（用含正整數(shù)n的式子表示）【答案】2【解析】先求得△EF1D的面積為1，再根據(jù)等高的三角形面積比等于底邊的比可得EF1F2的面積，EF2F3的面積，…，EFn﹣1Fn的面積，以及△BCFn的面積，再根據(jù)面積的和差關(guān)系即可求解．解：∵AE＝DA，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，矩形ABCD的面積等于2，∴△EF1D和△EAB的面積都等于1，∵點(diǎn)F2是CF1的中點(diǎn)，∴△EF1F2的面積等于12同理可得△EFn﹣1Fn的面積為12∵△BCFn的面積為12S△EFn﹣1Fn=∴△EFnB的面積為2+1﹣1-12-?-12n-1-16．(2020青海)觀察下列各式的規(guī)律：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1．請(qǐng)按以上規(guī)律寫出第4個(gè)算式______．用含有字母的式子表示第n個(gè)算式為______．【答案】4×6－52＝－1；n(n＋2)－(n＋1)2＝－1【解析】等式左邊第一個(gè)數(shù)與序號(hào)數(shù)相同，第二、三兩個(gè)數(shù)分別比第一個(gè)數(shù)大2、大1，等式右邊總是－1，因此第4個(gè)算式是4×6－52＝－1．第n個(gè)算式是n(n＋2)－(n＋1)2＝－1．17.(2020濰坊)如圖，四邊形是正方形，曲線是由一段段90度的弧組成的．其中：的圓心為點(diǎn)A，半徑為；的圓心為點(diǎn)B，半徑為；的圓心為點(diǎn)C，半徑為；圓心為點(diǎn)D，半徑為；…的圓心依次按點(diǎn)A，B，C，D循環(huán)．若正方形的邊長為1，則的長是_________．【答案】【解析】本題主要考查了弧長的計(jì)算，弧長的計(jì)算公式：，找到每段弧的半徑變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．由圖可知，曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑+1，，，……，，，故的半徑為，的弧長=．18.（2020牡丹江）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個(gè)圖形中一共有4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有14個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有22個(gè)圓……按此規(guī)律排列下去，第9個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是______個(gè).第第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形【答案】92【解析】根據(jù)已有圖形找規(guī)律，第1個(gè)圖形中一共有1×（1+1）+2=4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有2×（2+1）+2=8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有3×（3+1）+2=14個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有4×（4+1）+2=22個(gè)圓；故可得第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是n（n+1）+2；所以第⑨個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)9×（9+1）+2=92．19.（2020咸寧）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示這列數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù)，猜想a，b，c滿足的關(guān)系式是__________．【答案】bc=a【解析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，∵一列數(shù)：3，，，，，，，，…，可發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)數(shù)等于前面兩個(gè)數(shù)的商，∵a，b，c表示這列數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù)，∴bc=a，因此本題填bc=a．20．（2020營口）如圖，∠MON=60°，點(diǎn)A1在射線ON上，且OA1=1，過點(diǎn)A1作A1B1⊥ON交射線OM于點(diǎn)B1，在射線ON上截取A1A2，使得A1A2=A1B1；過點(diǎn)A2作A2B2⊥ON交射線OM于點(diǎn)B2，在射線ON上截取A2A3，使得A2A3=A2B2；…；按照此規(guī)律進(jìn)行下去，則A2020B2020長為．【答案】【解析】在Rt△OA1B1中，∠OA1B1=90°，OA1=1，∠B1OA1=60°，∴A1B1=OA1·tan60°=1×=，則A1A2=A1B1=，所以O(shè)A2=1+，如上同理可得A2B2=OA2·tan60°=（1+）×=（1+），則A2A3=A2B2=（1+），所以O(shè)A3=OA2+A2A3=（1+）+（1+）=（1+）2，所以A3B3=OA3·tan60°=（1+）2，以此類推，可得A2020B2020=（1+）2019．21．（2020·濱州）觀察下列各式：，根據(jù)其中的規(guī)律可得________（用含n的式子表示）．【答案】【解析】本題考查了觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力，觀察分母的變化為3、5、7，…，2n+1，分子的變化為：n2+（-1）n+1，因此本題填．22．（2020內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，0），直線與x軸交于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊，過點(diǎn)作軸，交直線l于點(diǎn)，以為邊作等邊，過點(diǎn)作軸，交直線l于點(diǎn)，以為邊作等邊，以此類推……，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是______________【答案】【解析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律探究，涉及一次函數(shù)的圖象、等邊三角形的性質(zhì)、含30o角的直角三角形的性質(zhì)，數(shù)字型規(guī)律等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，觀察圖象，結(jié)合基本圖形的有關(guān)性質(zhì)，找到坐標(biāo)變化規(guī)律．如圖，過A1作A1C⊥AB與C，過A2作A2C1⊥A1B1于C1，過A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根據(jù)直線方程與x軸交于點(diǎn)B（-1，0），且與x軸夾角為30o，則有AB=1，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30o的直角三角形的性質(zhì)，分別求的A1、A2、A3、的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到An的縱坐標(biāo)，據(jù)此可得A2020的縱坐標(biāo)，即可解答．如圖，過A1作A1C⊥AB與C，過A2作A2C1⊥A1B1于C1，過A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根據(jù)直線方程與x軸交于點(diǎn)B（-1，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，），∴OB=1,OD=,∴∠DBO=30o,由題意可得：∠A1B1B=∠A2B2B1=30o,∠B1A1B=∠B2A2B1=60o∴∠A1BB1=∠A2B1B2=90o，∴AB=1，A1B1=2A1B=21，A2B2=2A2B1=22，A3B3=2A3B2=23，…AnBn=2n

∴A1C=AB=×1，A1縱坐標(biāo)為×1=；A2C1=A1B1=，A2的縱坐標(biāo)為×1+===；A3C2=A2B2=,A3的縱坐標(biāo)為×1++===；…由此規(guī)律可得：AnCn-1=,An的縱坐標(biāo)為=，∴A2020=，因此本題答案為：．23．（2020撫順本溪遼陽）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點(diǎn)E，使AE＝DA，連接EB，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，連接EF1，BF1，得到△EF1B；點(diǎn)F2是CF1的中點(diǎn)，連接EF2，BF2，得到△EF2B；點(diǎn)F3是CF2的中點(diǎn)，連接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形ABCD的面積等于2，則△EFnB的面積為．（用含正整數(shù)n的式子表示）【答案】3【解析】本題分別延長BF1、BF2、BF3…與ED相交構(gòu)成相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出三角形△EF1B、△EF2B、△EF3B，…與矩形的面積關(guān)系，找出其變化規(guī)律求解．設(shè)AD＝a，AB＝b，則ab＝2．如圖1，延長BF1，ED交于點(diǎn)M1，過F1作F1N1∥ED．∵四邊形ABCD是矩形，∴DE∥BC，AD＝BC，∴∠M1＝∠M1BC，又∵DF1＝CF1，∠DF1M1＝∠BF1C，∴△DF1M1≌△CF1B，∴BC＝DM1，BF1＝F1M1．∵AE＝DA，∴EM1＝3a．∵F1N1∥ED，∴△BF1N1∽△BM1E，∴＝＝，∴F1N1＝EM1＝a，∴S△BF1E＝F1N1·AB＝＝．如圖2，延長BF2，ED交于點(diǎn)M2，過F2作F2N2∥ED．∵∠M2＝∠M2BC，∠DF2M2＝∠BF2C，∴△DF2M2∽△CF2B，∴＝＝，∴DM2＝3BC＝3a，∴EM2＝5a．∵F2N2∥ED，∴△BF2N2∽△BM2E，∴＝＝，∴F2N2＝EM2＝a，∴S△BF2E＝F2N2·AB＝．如圖3，延長BF3，ED交于點(diǎn)M3，過F3作F3N3∥ED．∵∠M3＝∠M3BC，∠DF3M3＝∠BF3C，∴△DF3M3∽△CF3B，∴＝＝，∴DM3＝7BC＝7a，∴EM3＝9a．∵F3N3∥ED，∴△BF3N3∽△BM3E，∴＝＝，∴F3N3＝EM3＝a，∴S△BF3E＝F3N3·AB＝．…，S△BFnE＝FnNn·AB＝．故△EFnB的面積為．三、解答題1．（2020安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：eq\f(1,3)×(1+eq\f(2,1))＝2-eq\f(1,1)，第2個(gè)等式：eq\f(3,4)×(1+eq\f(2,2))＝2-eq\f(1,2)，第3個(gè)等式：eq\f(5,5)×(1+eq\f(2,3))＝2-eq\f(1,3)，第4個(gè)等式：eq\f(7,6)×(1+eq\f(2,4))＝2-eq\f(1,4)，第5個(gè)等式：eq\f(9