2023屆浙江省杭州市高三下學(xué)期4月教學(xué)測試（二模）數(shù)學(xué)試題

2022學(xué)年第二學(xué)期杭州市高三年級教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡．選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出兩個集合，再根據(jù)集合的交集、補集運算即可.【詳解】由題意可得：，所以，故.故選：C2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)運算求得，進而求得.【詳解】依題意，，，所以.故選：A3.在數(shù)列中，“數(shù)列是等比數(shù)列”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及充分不必要條件的定義即可判斷，【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，得，若數(shù)列中，則數(shù)列不一定是等比數(shù)列，如數(shù)列，所以反之不成立，則“數(shù)列是等比數(shù)列”是“”的充分不必要條件．故選：A.4.已知平面向量，，且，則（）A.1 B.14 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積的運算律即可求解.【詳解】因為，，，所以，所以.故選：B5.某興趣小組研究光照時長x（h）和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點圖．若去掉后，下列說法正確的是（）A.相關(guān)系數(shù)r變小 B.決定系數(shù)變小C.殘差平方和變大 D.解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強【答案】D【解析】【分析】從圖中分析得到去掉后，回歸效果更好，再由相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，殘差平方和和相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷即可．【詳解】從圖中可以看出較其他點，偏離直線遠，故去掉后，回歸效果更好，對于A，相關(guān)系數(shù)越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉后，相關(guān)系數(shù)r變大，故A錯誤；對于B，決定系數(shù)越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉后，決定系數(shù)變大，故B錯誤；對于C，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，若去掉后，殘差平方和變小，故C錯誤；對于D，若去掉后，解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強，且是正相關(guān)，故D正確．故選：D．6.已知，，且，則ab的最小值為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】【分析】運用對數(shù)運算及換底公式可得，運用基本不等式可求得的最小值.【詳解】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，即：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為16.故選：C.7.如圖，點、、、、為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)可確定正確選項.【詳解】對于A選項，如下圖所示，在正方體中，且，因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面，平面，所以，平面，同理可證平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，故平面，A滿足；對于B選項，如下圖所示，連接，在正方體中，且，因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，故，因為、分別為、的中點，則，所以，，因為平面，平面，所以，平面，B滿足；對于C選項，如下圖所示，在正方體中，取的中點，連接、、，因為且，、分別為、的中點，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，因為、分別為、的中點，所以，，則，所以，、、、四點共面，因為且，則四邊形為平行四邊形，所以，，因為、分別為、的中點，則，所以，，因為平面，平面，所以，平面，C滿足；對于D選項，如下圖所示，在正方體中，取的中點，連接、、、、、，因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為、分別為、的中點，所以，，故，所以，、、、四點共面，同理可證，故，同理可得，，反設(shè)平面，因為，且平面，則平面，但與平面有公共點，這與平面矛盾，故平面，D不滿足.故選：D.8.已知滿足，且在上單調(diào)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過對稱軸與對稱點得出的式子，再通過單調(diào)得出的范圍，即可得出答案.詳解】滿足，，，即，，在上單調(diào)，，即，當(dāng)時最大，最大值為，故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若直線與圓C：相交于A，B兩點，則的長度可能等于（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】CD【解析】【分析】首先找到直線所過定點，根據(jù)直線所截圓的弦長公式求出弦長的取值范圍，進而求出的長度可能的取值.【詳解】已知直線恒過點，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.當(dāng)直線經(jīng)過圓心時，所得弦長最大，；當(dāng)直線與所在直線垂直時，所得弦長最小，，因此可得：，故的長度可能等于4或5.故選：CD10.已知函數(shù)（）是奇函數(shù)，且，是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B.的周期是4 C.是偶函數(shù) D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性與可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算可得從而可判斷B項，根據(jù)周期性與奇偶性可判斷A項，根據(jù)奇偶性與導(dǎo)數(shù)運算可得，從而可判斷C項，在中，令代入計算可判斷D項.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，，所以，所以，即：，故的周期為4，所以，故的周期為4，故B項正確；，故A項錯誤；因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以，即：，所以為偶函數(shù)，故C項正確；因為，所以，令，可得，解得：，故D項錯誤.故選：BC.11.一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，從中無放回的隨機取兩次，每次取1個球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個紅球，則（）A.事件，為互斥事件 B.事件B，C為獨立事件C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、獨立事件的定義判斷AB，由組合知識求得判斷C，根據(jù)條件概率的定義求得判斷D．【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個事件不可能同時發(fā)生，它們是互斥的，A正確；由于是紅球有3個，白球有2個，事件發(fā)生時，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨立，B錯；，C正確；事件發(fā)生后，口袋中有3個紅球1個白球，只有從中取出一個紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．故選：ACD．12.如圖圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（）A.球與圓柱的體積之比為B.四面體CDEF的體積的取值范圍為C.平面DEF截得球的截面面積最小值為D.若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，利用球、圓柱的體積公式計算判斷A；利用建立函數(shù)關(guān)系判斷B；求出球心O到平面DEF距離的最大值判斷C；令點P在圓柱下底面圓所在平面上的投影點為Q，設(shè)，利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系，求出值域作答.【詳解】對于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；對于B，設(shè)為點到平面的距離，，而平面經(jīng)過線段的中點，四面體CDEF的體積，B錯誤；對于C，過作于，如圖，而，則，又，于是，設(shè)截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，則，又，則平面DEF截球的截面圓面積，C錯誤；對于D，令經(jīng)過點P的圓柱的母線與下底面圓的公共點為Q，連接，當(dāng)與都不重合時，設(shè)，則，當(dāng)與之一重合時，上式也成立，因此，，則，令，則，而，即，因此，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：AD【點睛】思路點睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含項的系數(shù)為___________【答案】【解析】【分析】先由二項式系數(shù)最大確定,再由通項公式求含項的系數(shù)即可.【詳解】由只有第5項的二項式系數(shù)最大可得：.∴通項公式，令，解得.∴展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：.14.已知，，則______．【答案】0【解析】【分析】將平方，結(jié)合可得，利用二倍角余弦公式將化簡求值，可得答案.【詳解】將平方得，結(jié)合可得，即，則，故答案為：015.費馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點P為雙曲線（，為焦點）上一點，點P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則______．【答案】2【解析】【分析】延長交延長線于點，結(jié)合題意得點為的中點，，從而得到，再結(jié)合雙曲線的定義即可求解．【詳解】如圖，延長交延長線于點，因為點是的角平分線上的一點，且，所以點為的中點，所以，又點為的中點，且，所以．故答案為：2．16.已知函數(shù)在點處的切線方程為l：，若對任意，都有成立，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件表示出，再令，求導(dǎo)分類研究函數(shù)單調(diào)性，進而求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，所以，令，則，則，，令，則，令，得，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，則，單調(diào)遞增，，即，所以當(dāng)，時，成立，當(dāng)，時，，則，單調(diào)遞增，，即，所以當(dāng)，時，成立，綜上所述.故答案為：.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．四、解答題17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B大??；（2）若，且AC邊上的高為，求的周長．【答案】（1）（2）15【解析】【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式得到，再利用余弦的倍角公式得到，解得，從而得到；（2）由比例引入常數(shù)，利用三角形面積相等得到，從而利用余弦定理得到關(guān)于的方程，解之即可得到，由此得解.【小問1詳解】因為，所以由得，所以，解得或，因為，所以，則，故，則，故．【小問2詳解】因為，令，則，由三角形面積公式可得，則，故，由余弦定理可得，則，解得，從而，，，故的周長為．18.設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)設(shè)出公差和首項，代入題中式子求解即可；（2）列出通項公式，根據(jù)通項求出的前n項和，再根據(jù)通項求出的前2n項和，兩式相減解得的通項公式，最后分組求和求出數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】，設(shè)公差為d，首項為，因為公差不為0，所以解得，，數(shù)列的通項公式為，.【小問2詳解】①②得，解得19.在三棱錐中，底面為等腰直角三角形，.（1）求證：；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，可證，即，從而證得面，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，過S作面，垂足為D，連接，以D為原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算以及二面角的計算公式，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】證明：取的中點為E，連結(jié)，∵，∴，在和中，∴，∴，∵的中點為E，∴，∵，∴面，∵面，∴【小問2詳解】過S作面，垂足為D，連接，∴∵，平面∴，同理，∵底面等腰直角三角形，，∴四邊形為正方形且邊長為2.以D為原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面與平面夾角為故平面與平面夾角的余弦值為.20.已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為、，點、為橢圓上異于、的兩點，面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，且．①求證：直線經(jīng)過定點．②設(shè)和的面積分別為、，求的最大值．【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）①分析可知直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，可知，設(shè)點、.將直線的方程的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用求出的值，即可得出直線所過定點的坐標(biāo)；②寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值.【小問1詳解】解：當(dāng)點為橢圓短軸頂點時，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：①設(shè)點、.若直線的斜率為零，則點、關(guān)于軸對稱，則，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，由于直線不過橢圓的左、右焦點，則，聯(lián)立可得，，可得，由韋達定理可得，，則，所以，，解得，即直線的方程為，故直線過定點.②由韋達定理可得，，所以，，，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最大值為.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.21.馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．當(dāng)賭徒手中有n元（，）時，最終輸光概率為，請回答下列問題：（1）請直接寫出與的數(shù)值．（2）證明是一個等差數(shù)列，并寫出公差d．（3）當(dāng)時，分別計算，時，的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當(dāng)時，的統(tǒng)計含義．【答案】（1），（2）證明見解析；（3）時，，當(dāng)時，，統(tǒng)計含義見解析【解析】【分析】（1）明確和的含義，即可得答案；（2）由全概率公式可得，整理為，即可證明結(jié)論；（3）由（2）結(jié)論可得，即可求得，時，的數(shù)值，結(jié)合概率的變化趨勢，即可得統(tǒng)計含義.【小問1詳解】當(dāng)時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此.當(dāng)時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.【小問2詳解】記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元下一場贏的事件,,即，所以，所以是一個等差數(shù)列，設(shè)，則，累加得，故，得，【小問3詳解】，由得,即,當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會的概率輸光．【點睛】關(guān)鍵