2023屆湖南省四大名校名師團(tuán)隊(duì)高三普通高校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬沖刺卷（一）試題

2023屆湖南省四大名校名師團(tuán)隊(duì)高三普通高校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬沖刺卷（一）試題一、單選題1．已知集合，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式，化簡(jiǎn)集合，再由并集的結(jié)果，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛?，又，所以只需，解得，故選：B.2．設(shè)是虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及純虛數(shù)的定義可求．【詳解】由，得，又因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，故選：D．3．已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線垂直的斜率關(guān)系即可求出的值．【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線與直線垂直，所以，則．故選：A．4．《周髀算經(jīng)》中“側(cè)影探日行”一文有記載：“即取竹空，徑一寸，長(zhǎng)八尺，捕影而視之，空正掩目，而日應(yīng)空之孔.”意謂：“取竹空這一望筒，當(dāng)望筒直徑d是一寸，筒長(zhǎng)l是八尺時(shí)（注：一尺等于十寸），從筒中搜捕太陽(yáng)的邊緣觀察，則筒的內(nèi)孔正好覆蓋太陽(yáng)，而太陽(yáng)的外緣恰好填滿竹管的內(nèi)孔.”如圖所示，O為竹空底面圓心，則太陽(yáng)角∠AOB的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正切的二倍角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：，，所以.故選：A.5．將函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，若對(duì)于滿足的，，都有，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由伸縮變換結(jié)合余弦函數(shù)的圖像的特點(diǎn)得出和必然一個(gè)為極大值點(diǎn)，一個(gè)為極小值點(diǎn)，進(jìn)而由周期得出的值.【詳解】解：由題可得，若滿足，則和必然一個(gè)為極大值點(diǎn)，一個(gè)為極小值點(diǎn)，又，則，即，所以，所以．故選：A．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，圓與線段相交于點(diǎn)，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)在拋物線上及拋物線的定義，利用圓的弦長(zhǎng)及勾股定理即可求解【詳解】由題意可知，如圖所示，在拋物線上，則易知，，由，因?yàn)楸恢本€截得的弦長(zhǎng)為，則，由，于是在中，由解得：，所以．故選：C.7．已知三棱錐，為中點(diǎn)，，側(cè)面底面，則過(guò)點(diǎn)的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，，設(shè)三棱錐外接球的球心為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的平面為，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)所得截面的面積最小，當(dāng)點(diǎn)在以為圓心的大圓上時(shí)，此時(shí)截面的面積最大，再結(jié)合球的截面的性質(zhì)即可得解.【詳解】連接，，由，可知：和是等邊三角形，設(shè)三棱錐外接球的球心為，所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，是等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，所以底面，而底面，因此，所以是矩形,和是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以兩個(gè)三角形的高，在矩形中，，連接，所以，設(shè)過(guò)點(diǎn)的平面為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)所得截面的面積最小，該截面為圓形，，因此圓的半徑為：，所以此時(shí)面積為，當(dāng)點(diǎn)在以為圓心的大圓上時(shí)，此時(shí)截面的面積最大，面積為：，所以截面的面積范圍為.故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：幾何體的外接球問(wèn)題和截面問(wèn)題，考查空間想象能力，難度較大．8．設(shè)，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)a、b、c的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可比較出a、b、c的大小，從而可得到正確答案．【詳解】因?yàn)?，，故?gòu)造函數(shù)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，所以，．因?yàn)?，又，所以，即，故，故選：A．二、多選題9．已知某批零件的質(zhì)量指標(biāo)單位：毫米服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該批零件中隨機(jī)取件，用表示這件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值不位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，則（

）A．P(25.35< B．E(XC．D(X D．【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性、概率公式，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式，可得答案.【詳解】由正態(tài)分布的性質(zhì)得P(25.35<<25.45)=1-2P(24.45)=1-20.1=0.8，故A正確；則1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值不位于區(qū)間(25.35，25.45)的概率為P=0.2，所以，故E(X)=30.2=0.6，故B錯(cuò)誤；D(X)=30.8=0.48，故C正確；，故D正確．故選：ACD.10．已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，，分別是，的中點(diǎn)，為棱上異于，的一動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（

）A．異面直線、所成角的大小為B．直線與平面所成角的正弦值為C．周長(zhǎng)的最小值為D．存在點(diǎn)使得平面【答案】BC【分析】根據(jù)空間中異面直線所成角，直線與平面所成角的定義，空間中折疊問(wèn)題以及垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)運(yùn)算求解即可．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，則，所以異面直線，所成角為，故A錯(cuò)誤；設(shè)正方形的中心為，連接，，則平面，，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，則，且平面，所以為直線與平面所成角，所以，中，，，，所以由余弦定理可得，所以，所以，故B正確；將正和沿翻折到一個(gè)平面內(nèi)，如圖，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以周長(zhǎng)的最小值為，故C正確；若平面，則，此時(shí)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，而此時(shí)，與顯然不垂直，故D錯(cuò)誤；故選：BC．11．已知正數(shù)，滿足，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出，由基本不等式判斷A；由指數(shù)和對(duì)數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，構(gòu)造函數(shù)，，令，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，對(duì)于A，，所以，故A錯(cuò)誤對(duì)于B，由，可得，所以，故B正確對(duì)于C，由，可得，則，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，由，可得，，所以，所以，故D正確．故選：BD．12．已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)，的一條漸近線的方程為，且到的距離為，點(diǎn)為在第一象限上的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為的平分線則下列正確的是（

）A．雙曲線的方程為 B．C． D．點(diǎn)到軸的距離為【答案】ACD【分析】由到的距離為以及漸近線方程為可求得，即可得出方程，判斷A；由可求出判斷B；結(jié)合雙曲線定義可求得，求出，即可求出，判斷C；利用等面積法可求得點(diǎn)到軸的距離，判斷D.【詳解】到的距離為，，解得，又漸近線方程為，則，結(jié)合可解得，，則雙曲線的方程為，故A正確；為的平分線，，故B錯(cuò)誤；由雙曲線定義可得，則可得，，則在中，，則，則，即，故C正確；在中，，設(shè)點(diǎn)到軸的距離為d，則，即，解得，故D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：是根據(jù)已知求出雙曲線方程，結(jié)合雙曲線的定義求得焦點(diǎn)三角形的各邊長(zhǎng).三、填空題13．已知向量，則在方向上的投影是_____．【答案】3【分析】求出，以及，再利用向量投影的公式即可得到答案．【詳解】由題可得：，；∴在方向上的投影是：．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的定義以及計(jì)算，熟練掌握向量投影的公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14．已知甲罐中有個(gè)紅球、個(gè)黑球，乙罐中有個(gè)紅球、個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則__________．【答案】##【分析】由題意可求，，再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式求解即可．【詳解】因?yàn)榧坠拗杏袀€(gè)紅球、個(gè)黑球，所以，因?yàn)?，所以．故答案為：?5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，，直線與圓相切，與圓相交于，兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為切點(diǎn)作圓的切線，設(shè)直線，的交點(diǎn)為，則的最大值為__________．【答案】##【分析】設(shè)，，由相切關(guān)系，建立點(diǎn)A，B坐標(biāo)所滿足的方程，即弦所在直線的方程，由直線與圓相切，得，求出m的最大值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，，，因?yàn)榉謩e以點(diǎn)A，B為切點(diǎn)作圓的切線，．設(shè)直線，的交點(diǎn)為，所以，則，即，所以，因?yàn)?，所以，即是方程的解，所以點(diǎn)在直線上，同理可得在直線上，所以弦所在直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得，得，即的最大值為．四、雙空題16．已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，若數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞增，則首項(xiàng)的取值范圍是__________當(dāng)時(shí)，記，若，則整數(shù)__________．【答案】

【分析】根據(jù)正項(xiàng)數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞增，可得出，化簡(jiǎn)求出，由此可得首項(xiàng)的取值范圍；再由裂項(xiàng)相消法求出的表達(dá)式，然后求其范圍，即可得出答案.【詳解】由題意，正數(shù)數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，且，解得，，又由，可得：．，．，且數(shù)列是遞增數(shù)列，，即，整數(shù)．故答案為：；.五、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，．(1)求(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系及等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）利用（1）的結(jié)論及數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，整理得：，即．當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即．（2）由知，所以，所以，所以，由得，，所以.18．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，且．(1)求的值(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）代入，然后逐步化簡(jiǎn)，即可求解；（2）由，得，，然后借助二倍角公式，即可求得周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】（1）在中，由三角形面積公式得:，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，又，故．（2）因?yàn)椋?，由正弦定理得，，即的周長(zhǎng)，因?yàn)?，則，故，所以，即的周長(zhǎng)的取值范圍是.19．如圖所示，圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，△的面積最大，此時(shí)為線段的中點(diǎn)，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直的直線為軸，，分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）垂直于圓錐的底面，在圓錐的底面，，當(dāng)時(shí)，且BC=3CA，則，，又平面，平面，又平面，平面平面；（2）由題可知，且軸截面為等腰直角三角形，，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，△的面積最大，此時(shí)為弧的中點(diǎn)，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直的直線為軸，，分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，，，則，由圖可知該二面角為鈍角，二面角的余弦值為．20．黨的二十大勝利召開，某單位組織舉辦“百年黨史”知識(shí)對(duì)抗賽，組委會(huì)將參賽人員隨機(jī)分為若干組，每組均為兩名選手，每組對(duì)抗賽開始時(shí)，組委會(huì)隨機(jī)從百年黨史題庫(kù)抽取道搶答試題，每位選手搶到每道試題的機(jī)會(huì)相等比賽細(xì)則為：選手搶到試題且回答正確得分，對(duì)方選手得分選手搶到試題但回答錯(cuò)誤或沒有回答得分，對(duì)方選手得分道題目搶答完畢后得分多者獲勝已知甲、乙兩名選手被分在同一組進(jìn)行對(duì)抗賽，每道試題甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，兩名選手每道試題回答是否正確相互獨(dú)立．(1)求乙同學(xué)得分的概率(2)記為甲同學(xué)的累計(jì)得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件、互斥事件的判斷與概率計(jì)算公式綜合運(yùn)算求解即可；（2）由題意，可能值為0，50，100，150，200，根據(jù)相互獨(dú)立事件、互斥事件的判斷與概率計(jì)算公式分別求出對(duì)應(yīng)取值的概率，即可得到離散型隨機(jī)變量的分布列，再由期望定義及公式求其期望值．【詳解】（1）由題意，乙同學(xué)得分的基本事件有乙搶到兩題且一道正確一道錯(cuò)誤、甲乙各搶到一題都回答正確、甲搶到兩題且回答錯(cuò)誤，所以乙同學(xué)得分的概率為（2）由題意，甲同學(xué)的累計(jì)得分可能值為0，50，100，150，200，，，，，，分布列如下：所以期望．21．已知橢圓，的上、下頂點(diǎn)是，，左，右頂點(diǎn)是，，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，點(diǎn)在橢圓上，在四邊形中，若，，且四邊形面積的最大值為．(1)求的值．(2)已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明：當(dāng)變化時(shí)，存在不同于的定點(diǎn)，使得．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，通過(guò)運(yùn)算得，，從而求出，利用最大值為即可求出的值；（2）先對(duì)直線取的特殊情況，通過(guò)特殊情況猜測(cè)點(diǎn)S在同一直線上，且的方程為，再證明，然后利用對(duì)稱性得出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）由已知，，設(shè)，，則因?yàn)椋?，所以，，兩式相減得，代回原式得，因?yàn)椋?，又，，因?yàn)镾的最大值為，所以，得或(舍去)，所以的值為2．（2）由已知有，取，可得，，則直線的方程為，直線的方程為聯(lián)立方程組，可得交點(diǎn)為，若，，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)，若點(diǎn)S在同一直線上，則直線的方程為，以下證明：對(duì)任意的，直線與直線的交點(diǎn)S均在直線：上．由整理得設(shè)，，則，，設(shè)與交于點(diǎn)，由可得，設(shè)與交于點(diǎn)，由，可得，因?yàn)椋?，即與重合，所以當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)S均在直線上，因?yàn)?，，所以要使，只需為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性可得點(diǎn)，故存在定點(diǎn)滿足條件．22．已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．(1)已知函數(shù)，，求實(shí)數(shù)取值的集合(2)已知函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、．①求實(shí)數(shù)的取值范圍②證明：．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）利用不等式恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)對(duì)的討論，求出在給定區(qū)間的最值即可求出的值；（2）①由函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，得，有兩個(gè)不同零點(diǎn)，通過(guò)參數(shù)分離有，構(gòu)造函數(shù)，確定的單調(diào)性和極值，進(jìn)而可求的取值范圍；②由已知得，取對(duì)數(shù)得，通過(guò)換元，，構(gòu)造函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性，確定的不等關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為，的關(guān)系即可證明．【