2023屆高三數(shù)學(xué)專項(xiàng)精析精煉2013年考點(diǎn)16兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、簡單的三角恒等變換

PAGEPAGE1考點(diǎn)1６兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、簡單的三角恒等變換一、選擇題1．(２013·新課標(biāo)全國Ⅱ高考文科·T6)已知，則()A.Ｂ.C．D.【解題指南】利用“降冪公式”將化簡，建立與的關(guān)系,可得結(jié)果．【解析】選A.因?yàn)?所以，選Ａ.2.(201３·江西高考文科·Ｔ3)若,則ｃoｓa=()A.B．C．QUOTE＼*MＥRGEFORMAＴD.【解題指南】利用二倍角的余弦公式即可.【解析】選Ｃ.==．3(2013·大綱版全國卷高考理科·Ｔ12）已知函數(shù)下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.Ｂ.Ｃ.D.【解析】選C．，令，，則,.令,解得或．比較兩個(gè)極值點(diǎn)和兩個(gè)端點(diǎn),,,,的最大值為,故C錯(cuò)誤４.（201３·重慶高考理科·T９）(）Ａ.B.C.D.【解題指南】先切化弦，然后通分化簡求解即可．【解析】選Ｃ.5.(2０13·遼寧高考文科·T６)與(20１3·遼寧高考理科·T6)相同在中,內(nèi)角的對邊分別為若且則()【解題指南】利用正弦定理，將邊化為角,借助式子的特點(diǎn)，利用和角公式與相關(guān)的誘導(dǎo)公式解決問題【解析】選A.據(jù)正弦定理，設(shè)，則將它們代入整理得即又所以因?yàn)樗员貫殇J角，所以二、填空題６.（２013·四川高考文科·Ｔ14）和（20１３·四川高考理科·T13)相同設(shè)，，則的值是_＿＿＿_(dá)＿_(dá)_____?！窘忸}指南】本題考查的是簡單的三角恒等變換，在解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用,特別是二倍角公式與同角關(guān)系公式.【解析】根據(jù)題意,可得,可得，，所以【答案】7.（2013·上海高考理科·T11）若,則【解析】，，故.【答案】８．（2013·上海高考文科·T9)若ｃｏｓｘcosy＋siｎxsｉｎy=，則cos(2x-2ｙ)=．【解析】【答案】９．(２013·新課標(biāo)全國Ⅱ高考理科·T15)設(shè)θ為第二象限角,若tan，則sｉnθ+ｃｏｓθ=.【解題指南】利用兩角和的正切公式將tanQUOTEθ+π4展開化簡,通過切化弦,得到目標(biāo)式siｎθ+cｏsθ，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì),求得sinθ+cｏsθ的值.【解析】因?yàn)棣葹榈诙笙藿?ｔaｎQUＯTEθ+π4＝ＱUOTE12>０，所以角θ的終邊落在直線y=-ｘ的左側(cè),siｎθ＋cosθ<0由ｔaｎQＵＯTＥθ+π4=QUOTE12,得即,所以設(shè)ｓinθ+coｓθ＝x,則ｃｏsθ-sinθ=２x,將這兩個(gè)式子平方相加得:ｘ２＝QUOTＥ25,即sinθ+ｃｏsθ=.【答案】三、解答題１０．(2013·遼寧高考文科·T17)與（２０1３·遼寧高考理科·T17）相同設(shè)向量若求的值；設(shè)函數(shù)，求的最大值?！窘忸}指南】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將模和數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求解【解析】由得,又因?yàn)樗裕炙院瘮?shù)因?yàn)樗?故,即的最大值為１１.(２０1３·四川高考理科·Ｔ17)在中，角的對邊分別為,且.（1)求的值;（2)若，,求向量在方向上的投影．【解題指南】本題解題的突破口在于已知條件的化簡,以及隱含條件在三角形中內(nèi)角和為，第（2)問要注意正弦定理與余弦定理的應(yīng)用.【解析】(１)由2cos2ＱUOTＥA-B2eq＼f（A?B，2)ｃosB-sin(A－Ｂ）ｓinB＋cｏs(A+C)=?eq\f（３,5),得[ｃos(A-Ｂ）+1]coｓB－sin(A-Ｂ)ｓｉnＢ-cosB＝?eｑ\ｆ（3,5).即ｃoｓ(A-B)cosＢ－sｉn(A-B)sｉnＢ=?eq\f(3,5)．則cos(A-B+B)＝?eｑ＼f(３,5),即cosA＝?eｑ＼ｆ（3,５）．(2）由ｃｏsＡ=?eq\f(3，5),0<A<π,得sinA=?.由正弦定理,有eｑ＼f(ａ,siｎA(yù))＝eq＼f（ｂ,ｓinＢ)，所以,sinB=．由題知a>ｂ,則A>B，故B=ＱUOＴEπ4.根據(jù)余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×QUOTE-35,解得c=1或c=-7(舍去).故向量ＱUOTEBA→在QUＯTEBC→方向上的投影為｜QＵＯTEBA→|cｏsB＝QUOTE22.12.（２0１3·四川高考文科·Ｔ１7) 在中，角的對邊分別為,且。(Ⅰ)求的值;（Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影?！窘忸}指南】本題解題的突破口在于已知條件的化簡，以及隱含條件在三角形中內(nèi)角和為,第（Ⅱ)問要注意正弦定理與余弦定理的應(yīng)用．【解析】(Ⅰ)由,得,則eq＼o(cos，\s\do２（))(Ａ?B+B)＝?eq\f(3,5),即eｑ＼o(cｏｓ，\s\do2(）)A=?eq＼f(３,5).又因?yàn)?，所以eｑ＼o(sin，\s\do2())A=eｑ\f(4,５)(Ⅱ)由正弦定理,有eｑ\f(a,sinA)=ｅｑ＼f（b,siｎB),所以eｑ\o(ｓiｎ，\s\do２())B=ｅq\f(ｂsinA,a)=ｅq\f（＼r(2),2),由題知a＞ｂ,則Ａ＞B,故Ｂ=eq\f（,4),則eｑ＼o(ｃos,\ｓ\ｄｏ2（))B＝eｑ\ｆ(\r(2）,２）．根據(jù)余弦定理,有（４eq\r（2）)2=52+ｃ2?25ｃ(?eq\f(3，5))，即ｃ2+6c?７=0解得c＝1或c＝?7(負(fù)值舍去)故向量eq\o(ＢA，\s＼up６(→))在ｅq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影為｜eq\ｏ(BA,＼s＼up6(→))|ｅq\o(ｃoｓ,\ｓ\do2（))Ｂ=ceq\o（cos,\s\ｄｏ2())B=eｑ\ｆ（\r(２），2).13.（20１3·廣東高考理科·T1６）已知函數(shù)，.求的值；若,求.【解題指南】本題考查利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求值和三角恒等變換，特別要注意兩角和公式及二倍角公式的應(yīng)用.【解析】（１）;（2）,若,則,,,所以.14.（2013·廣東高考文科·T16）已知函數(shù).(1)求的值;(２）若，求.【解題指南】本題考查利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求值和三角恒等變換，特別要注意兩角和公式及二倍角公式的應(yīng)用.【解析】(1）;（２）因?yàn)?，所?．15.（２０１3·湖北高考文科·T1８)與(2０13·湖北高考理科·Ｔ17）相同在△中,角對應(yīng)的邊分別是.已知.(Ⅰ）求角A的大小;（Ⅱ）若△的面積,，求的值.【解題指南】三角恒等變換求ｃosA,用面積公式和正,余弦定理求解?！窘馕觥浚á瘢┯?，得，即,解得或(舍去）.因?yàn)?所以.（Ⅱ)由得.又,知．由余弦定理得故.又由正弦定理得.１６．(２０13·湖南高考理科·T1７)已知函數(shù).（1)若是第一象限角,且.求的值；(2）求使成立的x的取值集合.【解題指南】第（１)問是利用兩角差的正余弦公式和降冪公式以及三角函數(shù)給值求值.第(2)問要結(jié)合已知關(guān)系,化簡后解三角不等式.【解析】.(１）由,得，由是第一象限角，所以,從而．(2)等價(jià)于,即于是，從而,k∈Z,即,故使成立的ｘ的取值集合為.17．（20１３·湖南高考文科·T16)?已知函數(shù)ＱＵOＴE\＊MERGEＦＯRＭＡT(=１＼*RＯＭAＮI)求ＱUOTE＼*ＭERGＥFORMＡT的值;(=２\*ＲOＭＡNII)求使ＱUＯＴE\＊MERGEFORＭAＴ成立的ｘ的取值集合【解題指南】本題需要熟練掌握三角誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值，三角恒等變換公式及三角函數(shù)性質(zhì)【解析】(＝1\＊RＯMANI）（=2\＊ROMANII）因?yàn)?所以，即于是解得故所求的取值集合是18.（２０13·安徽高考理科·T16）已知函數(shù)的最小正周期為。（1)求的值;（２）討論在區(qū)間上的單調(diào)性?！窘忸}指南】(1）將函數(shù)化成y＝Asiｎ(ωx+φ)＋b的形式，利用最小正周期求出的值。（2)根據(jù)三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)解答。【解析】（1)＝=,因?yàn)閒(x)的最小正周期為,且，所以有,故。由(1)知，若，則,當(dāng),即時(shí),f(ｘ)單調(diào)遞增;當(dāng)，即時(shí),f(x)單調(diào)遞減。綜上所述,f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減。19.（2013·安徽高考文科·Ｔ16）設(shè)函數(shù)f(x)=ｓｉnx+sin（ｘ+）。(Ⅰ）求ｆ（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合;（Ⅱ)不畫圖,說明函數(shù)y=ｆ(x）的圖像可由y=siｎx的圖像經(jīng)過怎樣的變化的得到?！窘忸}指南】將函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)的形式,根據(jù)三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)與三角函數(shù)圖像的變換解答?！窘馕觥浚á?因?yàn)?,所以當(dāng)即時(shí),ｆ(x)取得最小值，此時(shí)ｘ的取值集合為。（Ⅱ)先將y＝sinx的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)，得的圖像；再將的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位,得的圖像。20．（2013·山東高考文科·T1８）設(shè)函數(shù),且的圖象的一個(gè)對稱中心到最近的對稱軸的距離為