2023屆高三數(shù)學(xué)專項(xiàng)精析精煉2013年考點(diǎn)40橢圓

PAGEPAGE1考點(diǎn)40橢圓一、選擇題１.(2０13·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考文科·T5）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是上的點(diǎn)，,,則的離心率為（）A.Ｂ.C.D.【解題指南】利用已知條件解直角三角形,將用半焦距ｃ表示出來,然后借助橢圓的定義，可得ａ,c的關(guān)系,從而得離心率.【解析】選D.因?yàn)?所以。又,所以，即橢圓的離心率為，選D．2.（20１3·大綱版全國(guó)卷高考理科·T8)橢圓Ｃ:的左、右頂點(diǎn)分別為,，點(diǎn)P在C上且直線斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是（)A.?B.Ｃ.D.【解題指南】將代入到中,得到與之間的關(guān)系,利用為定值求解的取值范圍．【解析】選Ｂ.設(shè),則,，，故.因?yàn)?所以3.(20１３·大綱版全國(guó)卷高考文科·T８）已知F1（-1,０),F2(1,0）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交于A,Ｂ兩點(diǎn),且ABA.B.C.Ｄ．【解題指南】由過橢圓的焦點(diǎn)且垂直軸的通徑為求解.【解析】選C.設(shè)橢圓得方程為,由題意知,又,解得或（舍去）,而，故橢圓得方程為．4.(20１３·四川高考文科·Ｔ9)從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn),是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn),且（是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是（)A.B.C．D.【解題指南】本題主要考查的是橢圓的幾何性質(zhì)，解題時(shí)要注意兩個(gè)條件的應(yīng)用,一是與軸垂直,二是【解析】選C,根據(jù)題意可知點(diǎn)P，代入橢圓的方程可得，根據(jù)，可知,即,解得,即,解得，故選Ｃ.5．（２０1３·廣東高考文科·Ｔ9)已知中心在原點(diǎn)的橢圓Ｃ的右焦點(diǎn)為，離心率等于，則C的方程是（） ?A．B.Ｃ.D.【解題指南】本題考查圓錐曲線中橢圓的方程與性質(zhì)，用好的關(guān)系即可．【解析】選D.設(shè)C的方程為,則，Ｃ的方程是.６.（2013·遼寧高考文科·Ｔ11）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AＦ,BF.若|ＡＢ|=10,|BF｜＝8,ｃos∠AＢF=，則C的離心率為()A.Ｂ.C.D．【解題指南】由余弦定理解三角形，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)(對(duì)稱性)求出點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離,進(jìn)而求得【解析】選B．在三角形中，由余弦定理得，又解得在三角形中,，故三角形為直角三角形.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,連接,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形為矩形,則其對(duì)角線且,即焦距又據(jù)橢圓的定義,得，所以．故離心率二、填空題7.(2013·江蘇高考數(shù)學(xué)科·Ｔ12)在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為,設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,到的距離為，若,則橢圓的離心率為【解題指南】利用構(gòu)建參數(shù)a，ｂ,ｃ的關(guān)系式．【解析】由原點(diǎn)到直線的距離為得，因到的距離為故,又所以又解得【答案】．8．(2013·上海高考文科·T1２）與（20１3·上海高考理科·T９）相同設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在上,且．若AB＝4，ＢＣ=,則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為.【解析】如圖所示，以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系.【答案】.9．（2013·福建高考文科·Ｔ15)與（20１3·福建高考理科·T14)相同橢圓Γ：的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=QＵOTＥ\*MERGＥFORMAＴ與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF１F２=２∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于.【解題指南】①，而2c是焦距，2ａ是定義中的｜ＰF1|＋｜PF2|=2a,因此,如果題目出現(xiàn)焦點(diǎn)三角形(由曲線上一點(diǎn)連接兩個(gè)焦點(diǎn)而成)，求解離心率,一般會(huì)選用這種定義法:.②求解離心率，還有一種方法，叫平方法.注意到,在具體問題中,結(jié)合基本量關(guān)系式a２=b２＋c2進(jìn)行求解,顯然這樣的方法適合于題目給出標(biāo)準(zhǔn)方程的題．【解析】∠ＭＦ1F2是直線的傾斜角,所以∠MＦ1F2=6０°,∠ＭＦ2Ｆ１=3０°,所以△MF２F1是直角三角形,在Rt△MＦ２F1中,|Ｆ２Ｆ１|=2c,|ＭF1|=c,|MＦ2【答案】.1０.(２0１３·遼寧高考理科·T15)已知橢圓的左焦點(diǎn)為,與過原點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn),連接若，則的離心率【解題指南】由余弦定理解三角形，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)(對(duì)稱性）求出點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而求得.【解析】在三角形中,由余弦定理得,又,解得在三角形中，,故三角形為直角三角形。設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,連接，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,四邊形為矩形，則其對(duì)角線且，即焦距又據(jù)橢圓的定義，得,所以．故離心率【答案】.三、解答題１１.（2013·陜西高考文科·T20)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到直線l:x＝４的距離是它到點(diǎn)N(1,０)的距離的2倍. (１)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Ｃ的方程; (2)過點(diǎn)P(0,３)的直線ｍ與軌跡Ｃ交于Ａ,B兩點(diǎn)．若Ａ是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率.【解題指南】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo),根據(jù)已知條件列方程即可;設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立,得出k與的關(guān)系式,利用中點(diǎn)坐標(biāo)即可得斜率.【解析】(1)點(diǎn)Ｍ(x,y)到直線x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的２倍，則．所以,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，方程為.(2）P（0,3),設(shè),橢圓經(jīng)檢驗(yàn)直線ｍ不經(jīng)過這２點(diǎn)，即直線m斜率k存在。．聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得：所以,直線ｍ的斜率.12．(2013·四川高考理科·Ｔ20)已知橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的離心率;(2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程.【解題指南】(1）關(guān)注橢圓的定義，利用定義求出，再求出離心率;(2）首先確定橢圓的方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知,找到點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系.【解析】（1）由橢圓定義知，2a=|PF１|+|PF２｜＝eq＼r（(eq\f(４，3)+１)２＋(eq\f(１,3))２)＋eq\r（（eq\f(4,3)?１)2+(eq\f（1,3)）2)=２eq\r（２),所以ａ=eq＼r(2）,又由已知，c=1,所以橢圓的離心率e=eq＼ｆ(c,a)＝eq\f(1,＼r（２))＝ｅｑ\f(\ｒ(2），2)．(２）由(1）知,橢圓Ｃ的方程為eｑ＼f（ｘ2,2）+y2=1，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y).(?。┊?dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線ｌ與橢圓C交于(０,1),(０,－1)兩點(diǎn)，，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，2?eｑ\f（3\r(5），5)).(ⅱ)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝ｋx+２,因?yàn)镸,N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為則|AM|２=(1＋k2）x12,｜AN|2=(１+k2）ｘ22，又|AＱ|２=(１+k2）x2,由eq\f(2,|AQ|2)=eq\ｆ(１，｜AM|2)＋eq\ｆ(１,|AN|2),得eq＼f(2，(1+k２)ｘ2)=ｅq\f(１，(1＋ｋ2)x12)+eq\f(1,(1＋k２）x2２）,即ｅq\f(2,ｘ2)＝ｅq\ｆ(1,x12)+eq\f(1,x22)=eq\ｆ(（ｘ1+x2)2?2x1x２,ｘ1２x1２),①將y=ｋx＋2代入eq\f(ｘ２，2)+y２=1中,得(2k２＋１)x2＋8kｘ＋6=0.②由=(8k)2?4（2k2+1)６>0,得k２>ｅｑ\f(３,2）.由②可知,ｘ1+x2＝eq\ｆ(?８k,２ｋ２+1）,ｘ１x2=eq\ｆ(6,2k２＋1),代入①并化簡(jiǎn)得x2＝.③因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y＝ｋx＋2上,所以k＝ｅｑ\f(y?2，x),代入③并化簡(jiǎn)，得1０(y?2)2?３x２=1８.由③及k２>ｅｑ\f(３，2),可知0<x2<eq＼f(3,２),即ｘ(?ｅq\f（\r(6)，2),0)∪（０，eq\f(＼ｒ(６),2）).又（０,２?eｑ\f（3\ｒ(5),5))滿足１0(y?2)2?3x２=18,故ｘ(?ｅq\f(\ｒ(６)，2),eq\f(\r(６),2)).由題意，Q(x,y)在橢圓C內(nèi),所以?１y1,又由1０(ｙ?2)