連續(xù)型隨機變量及其概率密度

連續(xù)型隨機變量及其概率密度第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四為了了解中職學校女學生的身體發(fā)育情況，在某校16歲的女生中，選出60名學生進行身高測量，結(jié)果如下（單位：cm）

167154159166169159156166162158159156166160164160157151157161158158153158164158163158153157162162159154165166157151146151158160165158163163162161154165162162159157159149164168159153第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四下面根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖．

第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四從頻率直方圖看出，該校16歲女生的身高的分布狀況具有“中間高、兩頭低”的特點，即身高在157.5cm至160.5cm的人數(shù)最多，往左右兩邊區(qū)間內(nèi)的人數(shù)越少，而且左右兩邊近似對稱．樣本容量越大，所分組數(shù)會相應越多，頻率分布直方圖中的小矩形就變窄．設想如果樣本容量無限增大，且分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖所有的小矩形的上端會無限地接近于一條光滑曲線，我們把這條曲線叫做概率密度曲線（如圖）．第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四概率密度曲線精確地反映了隨機變量在各個范圍內(nèi)取值的規(guī)律．以這條曲線為圖像的函數(shù)y＝f（x）叫做的概率密度函數(shù)．如圖，在區(qū)間（a，b）內(nèi)取值的概率恰好為圖中陰影部分的面積．在區(qū)間（-∞，a）取值的概率恰好是位于曲線與x軸之間，直線x＝a左側(cè)部分圖形的面積．第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四一、定義

如果對于隨機變量X的分布函數(shù)，存在非負可積函數(shù)f(x)

，使對任意實數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度函數(shù)或密度。二、性質(zhì)

(1)f(x)≥01x§2.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四二、性質(zhì)(4)在f(x)的連續(xù)點處有：

(6)連續(xù)型隨機變量取任何實數(shù)值a的概率等于0.由性質(zhì)(6)可得：

(5)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)不僅右連續(xù)，而且是連續(xù)函數(shù)。第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四連續(xù)型密度函數(shù)

X~p(x)

2.4.P(X=a)=0離散型分布列:pn

=P(X=xn)

2.F(x)=

3.F(a+0)=F(a);P(a<Xb)=F(b)F(a).4.點點計較5.F(x)為階梯函數(shù)。

5.F(x)為連續(xù)函數(shù)。

F(a0)=F(a).

F(a0)

F(a).第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

例1

設隨機變量的概率密度函數(shù)為

(x)=Ae-|x|（-<x<+

）試求:(1)常數(shù)A

；(2)P{0<X<2}；(3)分布函數(shù)F(x).解

(1)由得：故：A=0.5；

(2)第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

(3)

當x<0時，當x≥0時,即X的分布函數(shù)為第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四練習1設

X~求(1)常數(shù)k.(2)F(x).

(1)k=3.

(2)解：第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四練習2設

X~求

F(x).解：第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四設X與Y同分布，X的密度為已知事件A={X>a}和B={Y>a}獨立，解:因為P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)從中解得且P(AB)=3/4,求常數(shù)a.且由A、B獨立，得=2P(A)[P(A)]2=3/4從中解得:P(A)=1/2,由此得0<a<2,因此1/2=P(A)=P(X>a)練習3第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四1、均勻分布如果隨機變量X的概率密度為則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布。記為X～U[a,b]可知X落在[a,b]內(nèi)任一小區(qū)間[c,d]內(nèi)的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與該小區(qū)間的位置無關．2.3.2常見的連續(xù)型隨機變量的分布第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四分布函數(shù)為：xf(x)abxF(x)ba第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

X~U(2,5).現(xiàn)在對X進行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率.解：記A={X>3},

則P(A)=P(X>3)=2/3設Y表示三次獨立觀測中A出現(xiàn)的次數(shù),則Y~B(3,2/3)，所求概率為

P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例3第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四2.指數(shù)分布設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布。記作X~E(θ).其分布函數(shù)為第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四若隨機變量X的密度函數(shù)為其中λ＞0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。記作X~E(λ).分布函數(shù)為1xF(x)0xf(x)0指數(shù)分布的另一種表示形式第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四指數(shù)分布常用來作各種“壽命”分布的近似，如電子元件的壽命；動物的壽命；電話問題中的通話時間都常假定服從指數(shù)分布．特別：指數(shù)分布具有無憶性，即：P(X>s+t|X>s)=P(X>t)第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

例4

假設某種熱水器首次發(fā)生故障的時間X（單位：h）服從指數(shù)分布，其概率密度為（1）該熱水器在100h內(nèi)需要維修的概率是多少？（2）該熱水器能正常使用600h以上的概率是多少？解（1）

（2）

第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布.

正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯(Gauss)加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛

德莫佛（DeMoivre)最早發(fā)現(xiàn)了二項分布的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.3.正態(tài)分布第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四1.定義若X的概率密度為分布函數(shù)為：F(x)x其中μ,σ(σ>0)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布。記作X～N（μ,σ2）第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四2.正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的圖形的性質(zhì)(1)

f(x)關于是對稱的.f(x)x0μ在點p(x)取得最大值.(2)若固定,改變,(3)若固定,改變,σ小σ大f(x)左右移動,

形狀保持不變.越大曲線越平坦;越小曲線越陡峭.第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四(x)x0xx標準正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)記為

(x),分布函數(shù)記為

(x).第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四證明：第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四3.查標準正態(tài)分布函數(shù)表計算概率

·4)P{|X|≥1.54}=1-P{|X|≤1.54}=1-0.8764=0.1236例5

設X～N(0,1),計算P{X≤2.35}；

P{-1.64≤X＜0.82}；P{|X|≤1.54}；P{|X|≥1.54}1）P{X≤2.35}=Φ(2.35)=0.99062）P{-1.64≤X＜0.82}=Φ(0.82)-Φ(-1.64)

=Φ(0.82)-[1-Φ(1.64)]=0.74343)P{|X|≤1.54}=Φ(1.54)-Φ(-1.54)=2Φ(1.54)-1=0.8764第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四例6

設隨機變量

求解例7（3原則）設X~N(,2)，求

P{|X-|﹤},P{|X-|﹤2},P{|X-|﹤3}，解

P{|X―μ|＜σ}=P{μ―σ＜X＜μ+σ}第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

在一次試驗中，正態(tài)分布的隨機變量X落在以為中心，3為半徑的區(qū)間(-3,+3)內(nèi)的概率相當大(0.9974)，即X幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)，或者說在一般情形下，X在一次試驗中落在(-3,+3)以外的概率可以忽略不計。在工程應用中，通常認為P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值。如在質(zhì)量控制中，常用標準指標值±3作兩條線，當生產(chǎn)過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

設X~N(,2),P(X5)=0.045,

P(X3)=0.618,求及.例8

=1.76=4解:

第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四

例9

某廠生產(chǎn)罐裝咖啡，每罐標準重量為0.5kg，長期生產(chǎn)實踐表明自動包裝機包裝的每罐咖啡的重量X服從參數(shù)

=0.05kg的正態(tài)分布.為了使重量少于0.5kg的罐頭數(shù)不超過10%，應把自動包裝線所控制的均值參數(shù)調(diào)節(jié)到什么位置上？解由題設知假如把自動包裝線控制的值調(diào)節(jié)到0.5kg位置，則有第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四即重量少于0.5kg的罐頭占全部罐頭數(shù)的50%，這顯然不符合要求.所以應該把自動包裝線控制的值調(diào)到比0.5kg大一些的位置，使得查附表1可得

即應將調(diào)到不小于0.564