高數(shù) 二重積分概念

高數(shù)二重積分概念第1頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠(chǎng)要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.第2頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3.某廠(chǎng)要用鐵板做一個(gè)體積為2的有蓋長(zhǎng)方體水問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?無(wú)條件極值:對(duì)自變量只有定義域限制第3頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、條件極值條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化第4頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿(mǎn)足設(shè)記例如,故故有第5頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱(chēng)為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿(mǎn)足則極值點(diǎn)滿(mǎn)足:朗日函數(shù)求極值的方法稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)法.第6頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,求函數(shù)下的極值.在條件第7頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例5.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問(wèn)題為求x,y,令解方程組解:設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱,試問(wèn)第8頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為第9頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例6：已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC面積S△最大.解答提示:設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則第10頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與E重合時(shí),三角形面積最大.第11頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解：設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則P

的距離為問(wèn)題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面第12頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四令解此方程組得唯一駐點(diǎn)由實(shí)際意義最小值存在,故第13頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解:設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為x,y,z,則它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為設(shè)拉氏函數(shù)解方程組,得故圓內(nèi)接正三角形面積最大,最大面積為第14頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第九章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線(xiàn)積分曲面積分重積分第15頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解法:類(lèi)似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線(xiàn),母線(xiàn)平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”二重積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)第16頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1)“大化小”用任意曲線(xiàn)網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體第17頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4)“取極限”令第18頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.平面薄片的質(zhì)量有一個(gè)平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線(xiàn)網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.第19頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第k小塊的質(zhì)量第20頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1)解決問(wèn)題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:第21頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),第22頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如果在D上可積,與劃分D的分割方法無(wú)關(guān)也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線(xiàn)來(lái)劃記作曲頂柱體體積:平面薄板的質(zhì)量:對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：第23頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)．不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)．二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．第24頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則第25頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四特別,由于則5.（比較定理）若在D上6.（估值定理）設(shè)D的面積為,則有第26頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此第27頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1.比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線(xiàn)的上方,故在D上第28頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3.估計(jì)下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D第29頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)稱(chēng)性：1

設(shè)D位于x軸上方的部分為D1,2、當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時(shí),仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則則有類(lèi)似結(jié)果.在第一象限部分,則有第30頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、當(dāng)區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),函數(shù)關(guān)于變量x、y同時(shí)有奇偶性時(shí),仍有類(lèi)似結(jié)果.4、當(dāng)區(qū)域關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng),則第31頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的第32頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算第33頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)二重積分的計(jì)算法第九章第34頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí),由曲頂柱體體積的計(jì)算可知,若D為X–型區(qū)域則若D為Y–型區(qū)域則第35頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

X型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.第36頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1.計(jì)算其中D是直線(xiàn)y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則作草圖、選擇類(lèi)型、確定上下限------后積先定限、限內(nèi)化條線(xiàn)第37頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2.計(jì)算其中D是拋物線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域.解1:及直線(xiàn)1第38頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2.計(jì)算其中D是拋物線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域.解2:為計(jì)算簡(jiǎn)便,后對(duì)y積分,及直線(xiàn)則第39頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3.計(jì)算其中D是直線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)可知,先對(duì)x積分不行,第40頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四說(shuō)明:選擇積分序的原則：先積分的容易，并能為后積分創(chuàng)造條件；積分域的劃分，塊數(shù)越少越好第41頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則第42頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例5.計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,第43頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積及射線(xiàn)

=常數(shù),分劃區(qū)域D為在極坐標(biāo)系下,用同心圓

=常數(shù)第44頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)應(yīng)有在內(nèi)取點(diǎn)即第45頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四則1、極點(diǎn)在邊界外注意：積分域的邊界曲線(xiàn)用極坐標(biāo)表示如何確定上下限？第46頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、極點(diǎn)在邊界上(1)(2)第47頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、極點(diǎn)在邊界內(nèi)第48頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四何時(shí)選用極坐標(biāo)？積分域D形狀：圓域、環(huán)域、扇域、環(huán)扇域被積函數(shù)形式：第49頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例6.計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無(wú)法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.第50頁(yè)，共54