高數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

高數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第1頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義設(shè)有一函數(shù)序列為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第2頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以利用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的知識(shí)來(lái)處理函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第3頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的收斂點(diǎn).的發(fā)散點(diǎn).第4頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四它的收斂域,記為D.它的發(fā)散域.第5頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù).第6頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)之和為其部分和：不論級(jí)數(shù)在點(diǎn)處是否收斂,均可寫(xiě)出其部分和！如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂,則有第7頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別可以適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法,判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.特別注意比較判別法的應(yīng)用.思考：一致收斂？第8頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四并求其收斂域.即原級(jí)數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)域上是絕對(duì)收斂的.所求收斂域?yàn)榻饫?第9頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四的斂散性,并求其收斂域.這是等比級(jí)數(shù).故該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?要打開(kāi)思路!解例2第10頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四形如：的級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù),其中,稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù).1.冪級(jí)數(shù)的定義二.冪級(jí)數(shù)及其斂散性第11頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四冪級(jí)數(shù)的一般形式：第12頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)冪級(jí)數(shù)收斂時(shí),由可知,不論“和函數(shù)”多么復(fù)雜,我們可以用多項(xiàng)式來(lái)近似它.當(dāng)n的值充分大時(shí),這種代替可達(dá)到相當(dāng)?shù)木?第13頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由此可聯(lián)想到什么？2.冪級(jí)數(shù)的斂散性分析：則由收斂的必要條件,有而有極限的量必有界,故第14頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四它是收斂的,結(jié)論:第15頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（）收斂圖示:第16頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（）發(fā)散若在外部一點(diǎn)收斂,會(huì)怎么樣？推出第17頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四則由上面的分析可知,所有滿足這與假設(shè)矛盾.該矛盾說(shuō)明:當(dāng)原級(jí)數(shù)發(fā)散.第18頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由以上的分析發(fā)現(xiàn)：既有收斂點(diǎn),又有發(fā)散點(diǎn),則從坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始沿?cái)?shù)軸往右(左)走,最初只可能遇到它的收斂點(diǎn),然后就會(huì)只遇到它的發(fā)散點(diǎn),這兩部分的分界是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的,冪級(jí)數(shù)在分界點(diǎn)處可能收斂,也可能發(fā)散.第19頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（）收發(fā)冪級(jí)數(shù)在一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的對(duì)稱(chēng)區(qū)間內(nèi)收斂,在此區(qū)間外發(fā)散,在區(qū)間端點(diǎn)處冪級(jí)數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.當(dāng)冪級(jí)數(shù)僅在第20頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四現(xiàn)在請(qǐng)你回想并歸納一下剛才進(jìn)行的分析工作,給出你的結(jié)論.第21頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四阿貝爾定理第22頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四冪級(jí)數(shù)斂散性定理都存在一個(gè)非負(fù)第23頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時(shí)就解決了用根式解5次方程的不可能性問(wèn)題,他還研究了更廣的一并稱(chēng)之為阿貝爾群.在級(jí)數(shù)研究中,他得到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級(jí)數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開(kāi)拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類(lèi)代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說(shuō):阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類(lèi)交換群,第24頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四冪級(jí)數(shù)的收斂半徑我們稱(chēng)上述定理中的非負(fù)數(shù)R為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.如何求收斂半徑？第25頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四求收斂半徑的定理能證明嗎?有點(diǎn)像達(dá)朗貝爾判別法？第26頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由達(dá)朗貝爾判別法：討論要證第27頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第28頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第29頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四故此時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散,僅當(dāng)?shù)?0頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3解綜上所述,得:第31頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四誰(shuí)的收斂半徑？例4解第32頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法,可知此時(shí)級(jí)數(shù)收斂.第33頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例5解第34頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由級(jí)數(shù)收斂的必要條件,可知綜上所述,第35頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這是一個(gè)缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù),不能直接運(yùn)用求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的計(jì)算公式.今后遇到這類(lèi)級(jí)數(shù)應(yīng)該按照函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般情形處理,通常采用達(dá)朗貝爾判別法.例6解第36頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根值求法：P288，定理5第37頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的解析運(yùn)算三.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算第38頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)冪級(jí)數(shù)：則有以下運(yùn)算規(guī)則第39頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.加、減法第40頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.乘法(對(duì)角線法)第41頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第42頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四就是說(shuō)：在兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的公共收斂區(qū)間上可以像多項(xiàng)式那樣進(jìn)行加、減、乘的運(yùn)算.除法運(yùn)算：P289第43頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由收斂的必要條件知原級(jí)數(shù)發(fā)散.例7解第44頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.冪級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)若則當(dāng)時(shí),有：若原級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)還收斂,則求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)在端點(diǎn)可能變得發(fā)散.例如：第45頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.冪級(jí)數(shù)的積分若則當(dāng)時(shí),有若級(jí)數(shù)在逐項(xiàng)積分后所得級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)還收斂,則等式在端點(diǎn)仍成立.冪級(jí)數(shù)在作微分積分運(yùn)算后其收斂半徑不變,但收斂區(qū)間可能改變.第46頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四書(shū)例：求和函數(shù)P291，例7P291，例8第47頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四作業(yè)：P293，1（3）（5），2（1），4（3）思考：P293，5第48頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四內(nèi)容小結(jié)1.求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.2)對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,2.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與也可通過(guò)換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運(yùn)算.第49頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)1.已知處條件收斂,問(wèn)該級(jí)數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級(jí)數(shù)在收斂,時(shí)發(fā)散.故收斂半徑為第50頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.在冪級(jí)數(shù)中,n為奇數(shù)