高等代數(shù)第一多項(xiàng)式

高等代數(shù)第一多項(xiàng)式第1頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四一、數(shù)域二、數(shù)域性質(zhì)定理§1.1數(shù)域第2頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四一、數(shù)域設(shè)P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括數(shù)不為0）仍是P中的數(shù)，則稱P為一個(gè)數(shù)域．0與1，如果P中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除常見數(shù)域：復(fù)數(shù)域C；實(shí)數(shù)域R；有理數(shù)域Q；（注意：自然數(shù)集N及整數(shù)集Z都不是數(shù)域．）定義第3頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四說明：1）若數(shù)集P中任意兩個(gè)數(shù)作某一運(yùn)算的結(jié)果仍在P中，則說數(shù)集P對(duì)這個(gè)運(yùn)算是封閉的．2）數(shù)域的等價(jià)定義：如果一個(gè)包含0，1在內(nèi)的數(shù)集P對(duì)于加法，減法，乘法與除法（除數(shù)不為0）是封閉的，則稱集P為一個(gè)數(shù)域．第4頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四是一個(gè)數(shù)域．例1．證明：數(shù)集證：又對(duì)設(shè)則有設(shè)于是也不為0．第5頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四或矛盾）（否則，若則于是有為數(shù)域．是數(shù)域.類似可證Gauss數(shù)域第6頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四例2．設(shè)P是至少含兩個(gè)數(shù)的數(shù)集，證明：若P中任意兩個(gè)數(shù)的差與商（除數(shù)≠0）仍屬于P，則P為一一個(gè)數(shù)域．有證：由題設(shè)任取所以，P是一個(gè)數(shù)域．時(shí),時(shí),第7頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)域的性質(zhì)定理任意數(shù)域P都包括有理數(shù)域Q．即，有理數(shù)域?yàn)樽钚?shù)域．證明：設(shè)P為任意一個(gè)數(shù)域．由定義可知，于是有第8頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四進(jìn)而有而任意一個(gè)有理數(shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商，第9頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)P為非空數(shù)集，若則稱P為一個(gè)數(shù)環(huán)．附:例如，整數(shù)集Z就作成一個(gè)數(shù)環(huán)．?dāng)?shù)環(huán)第10頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)判斷數(shù)集是否為數(shù)域？為什么?第11頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四作業(yè)S是數(shù)域嗎？２．證明：集合是一個(gè)數(shù)環(huán)．