全國(guó)高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)理（全國(guó)甲卷）

2022全國(guó)甲卷高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)（理）一．選擇題（本題共12個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合A＝{x|2x﹣8＜2﹣3x}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}，則A∪B＝（）A．（1，2） B．（2，3） C．（﹣∞，3） D．（1，3）2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝4i，則|z|＝（）A． B． C．2 D．23.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．y＝ B．y＝2﹣x C．y＝ D．y＝4.劉徽是中國(guó)魏晉時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，他提出“割圓求周”方法:當(dāng)n很大時(shí)，用圓內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)近似等于圓周長(zhǎng)，并計(jì)算出精確度很高的圓周率.在《九章算術(shù)注》中總結(jié)出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”的極限思想，可以說他是中國(guó)古代極限思想的杰出代表．運(yùn)用此思想，當(dāng)?shù)慕浦禐椋ǎ?.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為等腰三角形，則該幾何體的體積為（）A. B. C.2 D.6.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出S的結(jié)果是（）A. B.C. D.7.我國(guó)數(shù)學(xué)家張益唐在“孿生素?cái)?shù)”研究方面取得突破，孿生素?cái)?shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，就是指兩個(gè)相差2的素?cái)?shù)，例如5和7，在大于3且不超過20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，恰好是一組孿生素?cái)?shù)的概率為（）A. B. C. D.8.圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為A.1 B.2 C.4 D.59.在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.－80 B.－40 C.40 D.12010.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝的最小值為（）A． B． C．2 D．311.已知雙曲線＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在雙曲線上且在第一象限，若線段MF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線MF的斜率是（）A． B． C． D．12.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） B. C. D.第II卷（非選擇題）二．填空題（本題共4個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共20分）13.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______．14.在新高考改革中，學(xué)生可從物理、歷史、化學(xué)、生物、政治、地理、技術(shù)7科中任選3科參加高考，現(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)生先從物理、歷史2科中任選1科，再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、政治、地理、技術(shù)5科中任選2科，則甲、乙兩人恰有1門學(xué)科相同的選法有種．15.已知點(diǎn)O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），則cos＜，＞＝，若B是以O(shè)A為邊的矩形的頂點(diǎn)，則m＝．16.數(shù)列{an}是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，其前和為Sn，存在非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意有恒成立，則的值為__________．三、解答題（本題共5個(gè)小題,第17-21題沒題12分,解答題應(yīng)寫出必要的文字說明或證明過程或演算步驟）17.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．18.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且Sn＝2n2+n，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足an＝4log2bn+3，n∈N*．（Ⅰ）求an和bn的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Tn．19.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E為棱PD的中點(diǎn)，（為常數(shù)，且）．（1）若直線BF∥平面ACE，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角C?AE?F的大?。?0.已知橢圓C：（，）的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓C過點(diǎn)P（2，1）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)A，B是橢圓C上異于點(diǎn)P的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線PA與PB的斜率均存在，分別記為，，且，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離最大時(shí)，求直線AB的方程．21.已知函數(shù)f（x）＝?ex（a≥0）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)b∈[0，1）時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）＝（x＞0）有最小值h（b），求h（b）的最大值．選考題:共10分,請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2＝，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝1．若正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（1，）．（1）求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2+|PC|2的取值范圍．23.[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（x）+f（2x）≤4的解集M；（2）記集合M中的最大元素為m，若不等式f2（mx）+f（ax）≤m在[1，+∞）上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2022全國(guó)甲卷高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)1.【答案】C2.【答案】D【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】C10.【答案】B11.【答案】A12.【答案】B13.【答案】14.【答案】18015.【答案】，516.【答案】1或17.【答案】【解析】解：（1）由已知2cosC（acosB+bcosA）＝c，正弦定理得：2cosC（sinAcosB+cosAsinB）＝sinC，即2cosC?sinC＝sinC，∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosC＝，∴C＝．（2）由c＝，C＝，△ABC的面積為＝absin＝，∴ab＝6，又由余弦定理c2＝b2+a2﹣2abcosC，可得：7＝b2+a2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，可得：（a+b）2＝25，解得：a+b＝5，∴△ABC的周長(zhǎng)a+b+c＝5+．18.【答案】【解析】解：（Ⅰ）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且Sn＝2n2+n，n∈N*，則：an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），＝2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝4n﹣1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3符合通項(xiàng)公式，所以：an＝4n﹣1．由于：數(shù)列{bn}滿足an＝4log2bn+3，n∈N*．則：4n﹣1＝4log2bn+3，所以：，（Ⅱ）由（Ⅰ）得：設(shè)cn＝，則：Tn＝c1+c2+…+cn＝3?20+7?21+…+（4n﹣1）2n﹣1①②①﹣②得：﹣（4n﹣1）2n﹣1，整理得：．19.【答案】（1）（2）【解析】（1）因?yàn)榈酌?，，平面，所以，．由題意可知，，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，則，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．由得：不妨令，得．因?yàn)槠矫?，所以，解得．?）由（1）知，，，平面的一個(gè)法向量為，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．由得令，得，所以.所以，所以二面角的大小為．20.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意可得解方程組可求出，從而可求出橢圓方程，（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，將直線方程代入橢圓方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后由列方程可求出，則直線的方程為，從而可得其過定點(diǎn)，②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，由可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出直線過的定點(diǎn)，進(jìn)而可求出直線方程【詳解】（1）由題意，知解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，．聯(lián)立得．由韋達(dá)定理，得所以因?yàn)椋?，即，所以直線的方程為，即，由，得故直線恒過點(diǎn)．②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，所以，解得，所以此時(shí)直線也過點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以當(dāng)直線垂直于時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)直線的方程為．21.【答案】【解析】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（﹣2，+∞），且f′（x）＝ex[+]＝ex?，令x2+ax+a＝0，則△＝a2﹣4a，①當(dāng)0≤a≤4時(shí)，△≤0，x2+ax+a≥0，即f′（x）≥0且不恒為零，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞），②當(dāng)a＞4時(shí)，△＞0，方程x2+ax+a＝0的兩根為x1＝，x2＝，由于x1﹣（﹣2）＝＜0，x2﹣（﹣2）＝＞0，（或令φ（x）＝x2+ax+a，φ（﹣2）＝4﹣a＜0）故x1＜﹣2＜x2，因此當(dāng)x∈（﹣∞，x1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（x1，﹣2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（﹣2，x2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)0≤a≤4時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）；當(dāng)a＞4時(shí)，f（x）在（﹣∞，）單調(diào)遞增，在（，﹣2）單調(diào)遞減，在（﹣2，）單調(diào)遞減，在（，+∞）單調(diào)遞增．（2）由g′（x）＝＝，設(shè)k（x）＝ex+b（x＞0），由（1）知，a＝0時(shí)，f（x）＝ex在（0，+∞）單調(diào)遞增，故k（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，由于k（2）＝b≥0，k（0）＝﹣1+b＜0，故在（0，2]上存在唯一x0，使k（x0）＝0，﹣b＝，又當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，k（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，k（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，故x∈（0，+∞）時(shí)，h（b）＝g（x0）＝＝＝，x0∈（0，2]，又設(shè)m（x）＝，x∈（0，2]，故m′（x）＝＝＞0，所以m（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，故m（x）≤m（2）＝，即h（b）的最大值為．22.【答案】【解析】解：（1）點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（1，），根據(jù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為（），點(diǎn)B的極坐標(biāo)為（1，），根據(jù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為（），點(diǎn)C的極坐標(biāo)為（），根據(jù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為（），點(diǎn)D的極坐標(biāo)為（1，），根據(jù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為（），（2）曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2＝，根據(jù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，設(shè)P（2cosθ，sinθ），則|PA|2+|PC|2＝．23.【答案】【解析】解：（1）由題意可知，f（x）+f（2x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|≤4，當(dāng)x≥1時(shí)，原不等式可化為3x﹣2≤4，解答x≤2，所以1≤x≤2；當(dāng)＜x＜1時(shí)，原不等式可化為1﹣x+2x1