第五章一元函數(shù)積分學(xué)xd5習(xí)題課

習(xí)題課一、求不定積分的基本方法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、幾種特殊類型的積分不定積分的計(jì)算方法第五章一、求不定積分的基本方法1.直接積分法通過簡單變形,利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法.2.換元積分法第一類換元法第二類換元法(注意常見的換元積分類型)(代換:)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.分部積分法使用原則:1)由易求出v;2)比好求.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.

求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

求解:原式分部積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.

求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.

求解:設(shè)則因連續(xù),得記作得利用機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.設(shè)

解:為的原函數(shù),且求由題設(shè)則故即,因此故又機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、幾種特殊類型的積分1.一般積分方法有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.需要注意的問題(1)一般方法不一定是最簡便的方法,(2)初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù),要注意綜合使用各種基本積分法,簡便計(jì)算.因此不一定都能積出.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如

,

6.

求解:

∴原式說明:

此技巧適用于形為的積分.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束7.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:I=習(xí)題課一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法定積分及其相關(guān)問題第五章一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分有關(guān)的問題機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8.求極限解：原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束9.

證明證:

令則令得故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束10.設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明：顯然時結(jié)論成立.(用積分中值定理)當(dāng)時,故所給不等式成立.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束明對于任何11.

求多項(xiàng)式f(x)

使它滿足方程解:

令則代入原方程得兩邊求導(dǎo):可見f(x)應(yīng)為二次多項(xiàng)式,設(shè)代入①

式比較同次冪系數(shù),得故①機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束再求導(dǎo):二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法1.熟練運(yùn)用定積分計(jì)算的常用公式和方法2.利用各種積分技巧計(jì)算定積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12.

求解:

令則原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束13.

求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束14.試證使分析:要證即故作輔助函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束至少存在一點(diǎn)證明:

令在上連續(xù),在至少使即因在上連續(xù)且不為0,從而不變號,因此故所證等式成立.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束故由羅爾定理知,