【數(shù)學競賽】七年級數(shù)學思維探究(13)一元一次不等式(組)

b≥0≥丘成桐，當代數(shù)學大師，現(xiàn)任哈佛大學客座教授，因解決了卡拉比猜想、正質(zhì)量猜想等眾多難，影響遍及理論物理和幾乎所有核心數(shù)學分支1983年菲爾茲獎，2010年沃夫獎，是第一位兼得兩項獎的華裔數(shù)學家，他說“我研究數(shù)學，就是因為它很b≥0≥．一元一次不等式（組）解讀課標面對大量的同類量，最容易使人想到的就是它們有大小之分，不等式是現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的種數(shù)學表示形式，既是現(xiàn)階段學習的重點內(nèi)容，又是后續(xù)學習的重要基礎(chǔ)．不等式與方程都是反映客觀事物變化規(guī)律及其關(guān)系的模型，類比等式是學習不等式的重要方法等式兩邊都乘（或除）以同一個數(shù)時，僅需考慮這個數(shù)是否為零，而不等式兩邊都乘（或除）同一個數(shù)時，既要注意這個數(shù)是否為零，又要考慮這個數(shù)的正負性；解方程組時我們可以對幾個方進代入或加”的加工而不等式組時們能分別求出每個不等式的解集，然后再求公共部分，得不等式組的解集．問題解決例（1）已知不等式3≤0的正整數(shù)解恰是1，2，3，則a的值范圍；（2已知關(guān)于的等式組5x≥

無解，則a的值范圍是_．試一試對于題知不等式的解在≤x的圍內(nèi)；對于數(shù)上看，原不等式組中兩個不等式的解集無公共部分．例（1）若關(guān)于

的不等式

的解集為，

的值為（A0

B

C．或2

D．≥（2若不等式組1x

有解，則a的值范圍是（AaB．a(chǎn)≥．a(chǎn)≤D．a(chǎn)試一試由不式的解集建立a的式與不等式．例解列于x不等式（組（1

≤2

；（2

．試一試對于≥0、兩情況討論，去掉絕對值符號；對于為的形式，再就

a

的正負性討論．例已3b，關(guān)于不等式ax3試一試由條先求出ab的值．

的解集．例已a、、c是三個非負數(shù)，并且滿足3ab，ac，mac，記為m的大值，為最小值，求xy的．

分析本例合了方程組、不等式組的豐富知識，解題的關(guān)鍵是通過解方程組，用含一個字母的數(shù)式來表示m，過解不等式組，確定這個字母的取值圍，在約束條件下，求出x，的．b解由件得2c,

c解得bc,

則c．≥由得

7≥7≥≥0

75，解得≤≤，而x，y，故xy1111777

．感悟不等例甜料有糖的質(zhì)量分數(shù)，那么，給糖水添上一點糖，糖水就更甜了．請把這一生活常識用數(shù)學式子表達出來．分析與解從生活常識數(shù)學不等式歷經(jīng)以下三個步驟：（1用字母

a

、b

表示相應(yīng)的量；a（2根據(jù)質(zhì)量分數(shù)的定義，寫出加糖前后的質(zhì)量分數(shù)，；

1a1（3“甜”表示為不等式b

，其中ba，m0．進一步追問：（1怎樣證明上述不等式？（2將一個分數(shù)的分子、分母同時加上一個正數(shù)，這個分數(shù)變大了嗎？數(shù)學沖浪知識技能廣場a．若不等式組2≤0

有解，則的值圍________________．2．若不等式組bx

的解集是x，則

____________．≥0．已知關(guān)于x的等組5

只有4個數(shù)解，則的值范圍__________．n小杯中依次盛有，b…，克水，并且分別含糖a，，，a克．若這杯水的濃度a相同，則有連等式：．bb現(xiàn)將這杯水合到一個大空杯中，則合杯糖水的濃度與各小杯糖水的濃度還是一樣的，這個盡人皆a知的事實，說明了一個數(shù)學定——比定理：若，bab

abbb

．a(chǎn)若這n杯水的濃度互不相同，不妨，現(xiàn)將這b糖水的濃度一定大于__________且小于___________．

杯糖水合到一個大空杯中，則合杯這個盡人皆知的事實，又說明了一個數(shù)學定——等比定理：若

ab

，則__________．．若不等式2x4的集能使關(guān)于的一次不等式

x

成立，則的值范圍是（A1≤B．a(chǎn)≤7C．或a≥7D．．若a則下列式子中正確的是（1AB．Ca

D．．若方程組

4yx

的解滿足條件

0x

，則取值范圍是（A．0CkD．．不等式組

xxxm

的解集是2，

的取值范圍是（Am≤2

B≥2

C．m≤1Dm．試確定

的取值范圍，使不等式組a2．解下列關(guān)于x的等

只有一個整數(shù)解．

yy（1yy

≤3

；（2

ax≥ax

．11．已知關(guān)于、的方程組

xy2xy

的解滿足

xy

，化簡

3

．思維方法天地．關(guān)于的等式

x

的所有非負整數(shù)解的和為_______________．．當a時不等式axx的解集是x，___________．c．若實數(shù)a、、c滿a，的取值范圍．．已知非負數(shù)、、c足條件a，ac，sab7c的大值為m，最小值為，的值____________．．已知a、b為常數(shù)，若0的集為

13

，則bx的集是（AB．x．xD關(guān)于

的不等式組

7≥06x

的整數(shù)解僅為3么合這個不等組的整數(shù)對

n共有（A49對B．對．36D．13對3．關(guān)于的等式組只個數(shù)解，則

的取值范圍是（111111AB．≤C≤D．≤≤．若

a

、b為數(shù)，則下列命題中正的是（Aa

Ba

C．a(chǎn)

Daba

．已知

25x≥32

，求

x

的最大值和最小值．．已知非負數(shù)

，，

滿足

x2y4

，設(shè)

wz

，求

w

的最大值與最小值．應(yīng)用探究樂園．探索：先觀察并計算下列各式，在空白處填“、、，完成式后的問題．①2，4__________2，7

，

2…試用含有

、b的子表示述規(guī)律________________．②

27，

27，

，

27，試用含有a、bc的子示上述規(guī)律____________________．應(yīng)用：用邊長為的正方形鐵片，在四個角上剪去四個長相同的小正方形，然后將對邊剩余部分分別折起來（如圖做一無蓋的長方體盒，問怎樣剪可使得到的盒子的容積最大？最大容積為多少？

x知整數(shù)xxx

滿足①≤x≤2

n

；③x1求x

2

2008

．的最大值與最小值．

問題解決a例（1）由≤3

．一元一次不等式（組），得9≤a12）a≥30例（1）A由條件得,

，推得a）A．≥0例（1）由得≥；得，盾．故原不等式的解集x≤2,2≤≥4為≥8；（2）由原不等式得

，當，

n時，其解集為x2

；當2，即

3n3時解為2m即時且解集為有數(shù)222

且≤3時原不等式無解．例x數(shù)學沖浪．．1．≤aaa．；；bbbb．A．．A．．a(chǎn)≤2）≤x≤）0，即x當a時解集為當0時解集為切數(shù)．11．當2≤3時原式3；當≥時原式2a2．原不等式等價于2．2

1；當0時解集為xa

；．

1a

由條件得0aa，aa．．，n12，ms，≤c≤．B

m．B由≤x6共有對．．

，得m，，3，4，5，，7；19，，21，2223，24

n．解不等式得≤，原式≤

，從而知最大值為，最小為

311

．

．設(shè)

xz34

，則2，

y

≥，4，題意得≥0≥,2解得≤≤，于是3

w

．21所以≤k≤，即≤w≤33

，故w的最小值為19，大值為

13

．．①

；

；

；

≥2

（，等號成)②

；

；

；abc（時等號成立)．設(shè)長方體盒子的容積為，小正方形的邊長為

，則有1x1515Vx30xx≤2000時