2022年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)試卷有答案版

第1頁（共1頁）2022年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）如圖是由5個(gè)相同的小正方體組合而成的立體圖形，其主視圖是（）A． B． C． D．2．（3分）長春軌道客車股份有限公司制造的新型奧運(yùn)版復(fù)興號智能動(dòng)車組，車頭采用鷹隼形的設(shè)計(jì)，能讓性能大幅提升，一列該動(dòng)車組一年運(yùn)行下來可節(jié)省約1800000度電，將數(shù)據(jù)1800000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．18×105 B．1.8×106 C．1.8×107 D．0.18×1073．（3分）不等式x+2＞3的解集是（）A．.x＜1 B．.x＜5 C．x＞1 D．.x＞54．（3分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＜b C．b﹣1＜0 D．a(chǎn)b＞05．（3分）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直地面，垂足為點(diǎn)D，BC⊥AD，垂足為點(diǎn)C．設(shè)∠ABC＝α，下列關(guān)系式正確的是（）A．sinα＝ B．sinα＝ C．sinα＝ D．sinα＝6．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD＝121°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．138° B．121° C．118° D．112°7．（3分）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）A．AF＝BF B．AE＝AC C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，其縱坐標(biāo)為2，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交x軸于點(diǎn)Q，將線段QP繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段QM．若點(diǎn)M也在該反比例函數(shù)的圖像上，則k的值為（）A． B． C． D．4二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）分解因式：m2+3m＝．10．（3分）若關(guān)于x的方程x2+x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為．11．（3分）《算法統(tǒng)宗》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可?。蝗裘块g住9人，則余下一間無人?。O(shè)店中共有x間房，可求得x的值為．12．（3分）將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點(diǎn)與量角器的中心O重合，且兩條直角邊分別與量角器邊緣所在的弧交于A、B兩點(diǎn)．若OA＝5厘米，則的長度為厘米．（結(jié)果保留π）13．（3分）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB＝27厘米，則這個(gè)正六邊形的周長為厘米．14．（3分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3，當(dāng)a≤x≤時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）先化簡，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．16．（6分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣，僅有兩種可能的結(jié)果：“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”正面朝上記2分，反面朝上記1分．小明拋擲這枚硬幣兩次，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次分?jǐn)?shù)之和不大于3的概率．17．（6分）為了讓學(xué)生崇尚勞動(dòng)，尊重勞動(dòng)，在勞動(dòng)中提升綜合素質(zhì)，某校定期開展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)．甲、乙兩班在一次體驗(yàn)挖土豆的活動(dòng)中，甲班挖1500千克土豆與乙班挖1200千克土豆所用的時(shí)間相同．已知甲班平均每小時(shí)比乙班多挖100千克土豆，問乙班平均每小時(shí)挖多少千克土豆？18．（7分）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）網(wǎng)格中△ABC的形狀是；（2）在圖①中確定一點(diǎn)D，連結(jié)DB、DC，使△DBC與△ABC全等；（3）在圖②中△ABC的邊BC上確定一點(diǎn)E，連結(jié)AE，使△ABE∽△CBA；（4）在圖③中△ABC的邊AB上確定一點(diǎn)P，在邊BC上確定一點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比為1：2．19．（7分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E．延長ED至點(diǎn)F，使得DF＝DE，連結(jié)AE、AF、CF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若＝，則tan∠BCF的值為．20．（7分）黨的十八大以來，我國把科技自立自強(qiáng)作為國家發(fā)展的戰(zhàn)略支撐，科技事業(yè)發(fā)生了歷史性、整體性、格局性變化，成功跨入創(chuàng)新型國家的行列，專利項(xiàng)目多項(xiàng)指數(shù)顯著攀升．如圖是長春市2016年到2020年專利授權(quán)情況的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量最多的是年；（2）長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量年增長率的中位數(shù)是；（3）與2019年相比，2020年長春市專利授權(quán)量增加了件，專利授權(quán)量年增長率提高了個(gè)百分點(diǎn)；（注：1%為1個(gè)百分點(diǎn)）（4）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，有下列說法，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．①因?yàn)?019年的專利授權(quán)量年增長率最低，所以2019年的專利授權(quán)量的增長量就最小．②與2018年相比，2019年的專利授權(quán)量年增長率雖然下降，但專利授權(quán)量仍然上升．這是因?yàn)閷＠跈?quán)量年增長率＝×100%，所以只要專利授權(quán)量年增長率大于零，當(dāng)年專利授權(quán)量就一定增加．③通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以看出長春市區(qū)域科技創(chuàng)新力呈上升趨勢，為國家科技自立自強(qiáng)貢獻(xiàn)吉林力量．21．（8分）已知A、B兩地之間有一條長440千米的高速公路．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，沿此公路相向而行，甲車先以100千米/時(shí)的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時(shí)到達(dá)B地；乙車勻速行駛至A地，兩車到達(dá)各自的目的地后停止，兩車距A地的路程y（千米）與各自的行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）m＝，n＝；（2）求兩車相遇后，甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)乙車到達(dá)A地時(shí)，求甲車距A地的路程．22．（9分）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形ABCD為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中AD＝AB．他先將A4紙沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為AF；再沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C落在EF上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為FG；然后連結(jié)AG，沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想△ADG≌△AFG．【問題解決】小亮對上面△ADG≌△AFG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折疊可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．∴∠EFA＝∠BFA＝45°．∴AF＝AB＝AD請你補(bǔ)全余下的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】（1）∠DAG的度數(shù)為度，的值為；（2）在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段AF上，且AP＝AB，點(diǎn)Q在線段AG上，連結(jié)FQ、PQ，如圖②．設(shè)AB＝a，則FQ+PQ的最小值為．（用含a的代數(shù)式表示）23．（10分）如圖，在?ABCD中，AB＝4，AD＝BD＝，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD﹣DB以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PM．作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'P、A'M．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，（1）點(diǎn)D到邊AB的距離為；（2）用含t的代數(shù)式表示線段DP的長；（3）連結(jié)AD，當(dāng)線段A'D最短時(shí)，求△DPA'的面積；（4）當(dāng)M、A'、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣bx（b是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（2，0）．點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m≠0）．以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x軸．（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)B是拋物線上一點(diǎn)，且在拋物線對稱軸左側(cè)．過點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C，連結(jié)BC．當(dāng)BC＝4時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）若m＞0，當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，或者y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍；（4）當(dāng)拋物線與正方形PQMN的邊只有2個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，直接寫出m的值．

2022年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）如圖是由5個(gè)相同的小正方體組合而成的立體圖形，其主視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從幾何體的正面看所得到的圖形即可．【解答】解：從幾何體的正面看，一共有三列，從左到右小正方形的個(gè)數(shù)分別為3、1、1，故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關(guān)鍵是掌握主視圖所看的位置．2．（3分）長春軌道客車股份有限公司制造的新型奧運(yùn)版復(fù)興號智能動(dòng)車組，車頭采用鷹隼形的設(shè)計(jì)，能讓性能大幅提升，一列該動(dòng)車組一年運(yùn)行下來可節(jié)省約1800000度電，將數(shù)據(jù)1800000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．18×105 B．1.8×106 C．1.8×107 D．0.18×107【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：1800000＝1.8×106，故選：B．【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．（3分）不等式x+2＞3的解集是（）A．.x＜1 B．.x＜5 C．x＞1 D．.x＞5【分析】利用不等式的性質(zhì)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：x+2＞3，x＞3﹣2，x＞1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)：熟練掌握不等式的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵．4．（3分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＜b C．b﹣1＜0 D．a(chǎn)b＞0【分析】利用數(shù)軸與實(shí)數(shù)的關(guān)系，及正負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的表示求解．【解答】解：根據(jù)圖形可以得到：﹣2＜a＜0＜1＜b＜3；所以：A，C，D都是錯(cuò)誤的；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的關(guān)系，理解并正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直地面，垂足為點(diǎn)D，BC⊥AD，垂足為點(diǎn)C．設(shè)∠ABC＝α，下列關(guān)系式正確的是（）A．sinα＝ B．sinα＝ C．sinα＝ D．sinα＝【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，由銳角三角函數(shù)的定義可知，sinα＝sin∠ABC＝，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確判斷的前提．6．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD＝121°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．138° B．121° C．118° D．112°【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得到∠A＝180°﹣121°＝59°，根據(jù)圓周角定理即可得到∠BOD＝2∠A的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，掌握圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）A．AF＝BF B．AE＝AC C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC【分析】由圖中尺規(guī)作圖痕跡可知，BE為∠ABC的平分線，DF為線段AB的垂直平分線，結(jié)合角平分線的定義和垂直平分線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．【解答】解：由圖中尺規(guī)作圖痕跡可知，BE為∠ABC的平分線，DF為線段AB的垂直平分線．由垂直平分線的性質(zhì)可得AF＝BF，故A選項(xiàng)不符合題意；∵DF為線段AB的垂直平分線，∴∠BDF＝90°，∴∠DBF+∠DFB＝90°，故C選項(xiàng)不符合題意；∵BE為∠ABC的平分線，∴∠ABF＝∠EBC，∵AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAF，∴∠BAF＝∠EBC，故D選項(xiàng)不符合題意；根據(jù)已知條件不能得出AE＝AC，故B選項(xiàng)符合題意．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查尺規(guī)作圖，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，其縱坐標(biāo)為2，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交x軸于點(diǎn)Q，將線段QP繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段QM．若點(diǎn)M也在該反比例函數(shù)的圖像上，則k的值為（）A． B． C． D．4【分析】作MN⊥x軸于N，根據(jù)題意P（，2），PQ＝2，由于將線段QP繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段QM，得出QM＝QP＝2，∠POM＝60°，即可得出∠MQN＝30°，即可得出MN＝QM＝1，QN＝＝，得到M（+，1），代入反比例函數(shù)解析式即可求得k的值．【解答】解：作MN⊥x軸于N，∵P在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，其縱坐標(biāo)為2，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交x軸于點(diǎn)Q，∴P（，2），∴PQ＝2，∵將線段QP繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段QM．∴QM＝QP＝2，∠POM＝60°，∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°，∴MN＝QM＝1，∴QN＝＝，∴M（+，1），∵點(diǎn)M也在該反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝+，解得k＝2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）分解因式：m2+3m＝m（m+3）．【分析】利用提公因式法，進(jìn)行分解即可解答．【解答】解：m2+3m＝m（m+3），故答案為：m（m+3）．【點(diǎn)評】本題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握因式分解﹣提公因式法是解題的關(guān)鍵．10．（3分）若關(guān)于x的方程x2+x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為．【分析】若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立關(guān)于c的方程，求出c的值即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4c＝0，解得c＝．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了根的判別式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．11．（3分）《算法統(tǒng)宗》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可??；若每間住9人，則余下一間無人?。O(shè)店中共有x間房，可求得x的值為8．【分析】由等量關(guān)系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程組求得．【解答】解：依題意得：7x+7＝9（x﹣1），解得：x＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理清題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（3分）將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點(diǎn)與量角器的中心O重合，且兩條直角邊分別與量角器邊緣所在的弧交于A、B兩點(diǎn)．若OA＝5厘米，則的長度為厘米．（結(jié)果保留π）【分析】弧長的計(jì)算（1）圓周長公式：C＝2πR．（2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．【解答】解：＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了弧長公式的應(yīng)用，注意以下幾點(diǎn)：①在弧長的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．13．（3分）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB＝27厘米，則這個(gè)正六邊形的周長為54厘米．【分析】根據(jù)對稱性和周長公式進(jìn)行解答即可．【解答】解：由圖象的對稱性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六邊形的周長為9×6＝54（厘米），故答案為：54．【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，正多邊形與圓，理解圖形的對稱性以及等邊三角形的判定是解決問題的前提．14．（3分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3，當(dāng)a≤x≤時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為﹣1﹣．【分析】函數(shù)配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，當(dāng)y＝1時(shí)，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因?yàn)椹?+＞，所以﹣1﹣≤x≤時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），根據(jù)題意，當(dāng)a≤x≤時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，當(dāng)y＝1時(shí)，﹣（x+1）2+4＝1，∴x＝﹣1±，∵﹣1+＞，∴﹣1﹣≤x≤時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，∴a＝﹣1﹣．故答案為：﹣1﹣．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的增減性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）先化簡，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．【分析】先去括號，再合并同類項(xiàng)，然后把a(bǔ)的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，當(dāng)a＝﹣4時(shí)，原式＝4+﹣4＝．【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．16．（6分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣，僅有兩種可能的結(jié)果：“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”正面朝上記2分，反面朝上記1分．小明拋擲這枚硬幣兩次，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次分?jǐn)?shù)之和不大于3的概率．【分析】畫樹狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次分?jǐn)?shù)之和不大于3的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次分?jǐn)?shù)之和不大于3的結(jié)果有3種，∴兩次分?jǐn)?shù)之和不大于3的概率為．【點(diǎn)評】本題考查了用樹形圖概率，樹狀圖法可以不重不漏的列舉出所有可能發(fā)生的情況，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．17．（6分）為了讓學(xué)生崇尚勞動(dòng)，尊重勞動(dòng)，在勞動(dòng)中提升綜合素質(zhì)，某校定期開展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)．甲、乙兩班在一次體驗(yàn)挖土豆的活動(dòng)中，甲班挖1500千克土豆與乙班挖1200千克土豆所用的時(shí)間相同．已知甲班平均每小時(shí)比乙班多挖100千克土豆，問乙班平均每小時(shí)挖多少千克土豆？【分析】設(shè)乙班平均每小時(shí)挖x千克土豆，根據(jù)“甲班挖1500千克土豆與乙班挖1200千克土豆所用的時(shí)間相同”列分式方程，求解即可．【解答】解：設(shè)乙班平均每小時(shí)挖x千克土豆，根據(jù)題意，得，解得x＝400，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝400是原方程的根，且符合題意；答：乙班平均每小時(shí)挖400千克土豆．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（7分）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）網(wǎng)格中△ABC的形狀是直角三角形；（2）在圖①中確定一點(diǎn)D，連結(jié)DB、DC，使△DBC與△ABC全等；（3）在圖②中△ABC的邊BC上確定一點(diǎn)E，連結(jié)AE，使△ABE∽△CBA；（4）在圖③中△ABC的邊AB上確定一點(diǎn)P，在邊BC上確定一點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比為1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定，作出圖形即可；（3）根據(jù)相似三角形的判定作出圖形即可；（4）作出AB，BC的中點(diǎn)P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案為：直角三角形；（2）如圖①中，點(diǎn)D，點(diǎn)D′即為所求；（3）如圖②中，點(diǎn)E即為所求；（4）如圖，點(diǎn)P，點(diǎn)Q即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．19．（7分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E．延長ED至點(diǎn)F，使得DF＝DE，連結(jié)AE、AF、CF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若＝，則tan∠BCF的值為．【分析】（1）先證四邊形AECF是平行四邊形，再由DE⊥AC，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)BE＝a，則CE＝4a，由菱形的性質(zhì)得AE＝CE＝4a，AE∥CF，則∠BEA＝∠BCF，再由勾股定理得AB＝a，然后由銳角三角函數(shù)定義即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵DE⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形；（2）解：∵＝，∴CE＝4BE，設(shè)BE＝a，則CE＝4a，由（1）可知，四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF，∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝a，∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)定義等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（7分）黨的十八大以來，我國把科技自立自強(qiáng)作為國家發(fā)展的戰(zhàn)略支撐，科技事業(yè)發(fā)生了歷史性、整體性、格局性變化，成功跨入創(chuàng)新型國家的行列，專利項(xiàng)目多項(xiàng)指數(shù)顯著攀升．如圖是長春市2016年到2020年專利授權(quán)情況的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量最多的是2020年；（2）長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量年增長率的中位數(shù)是18.1%；（3）與2019年相比，2020年長春市專利授權(quán)量增加了5479件，專利授權(quán)量年增長率提高了30.2個(gè)百分點(diǎn)；（注：1%為1個(gè)百分點(diǎn)）（4）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，有下列說法，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．①因?yàn)?019年的專利授權(quán)量年增長率最低，所以2019年的專利授權(quán)量的增長量就最?。立谂c2018年相比，2019年的專利授權(quán)量年增長率雖然下降，但專利授權(quán)量仍然上升．這是因?yàn)閷＠跈?quán)量年增長率＝×100%，所以只要專利授權(quán)量年增長率大于零，當(dāng)年專利授權(quán)量就一定增加．√③通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以看出長春市區(qū)域科技創(chuàng)新力呈上升趨勢，為國家科技自立自強(qiáng)貢獻(xiàn)吉林力量．√【分析】（1）觀察統(tǒng)計(jì)圖可得專利授權(quán)量最多的是2020年，即可求解；（2）先把專利授權(quán)量年增長率從小到大排列，即可求解；（3）分別用2020年長春市專利授權(quán)量減去2019年長春市專利授權(quán)量，2020年專利授權(quán)量年增長率減去2019年專利授權(quán)量年增長率，即可求解；（4）①根據(jù)題意可得2017年的的專利授權(quán)量的增長量低于2019年的，可得①錯(cuò)誤；②根據(jù)專利授權(quán)量年增長率當(dāng)年專利授權(quán)量﹣上一年專利授權(quán)量x100%，可得②正確；③觀察統(tǒng)計(jì)圖可得從2016年到2020年，每年的專利授權(quán)量上一年專利授權(quán)量都有所增加，可得③正確，即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：從2016年到2020年，專利授權(quán)量最多的是2020年，故答案為：2020；（2）把專利授權(quán)量年增長率從小到大排列為：15.8%，16.0%，18.1%，25.4%，46.0%，位于正中間的是18.1%，∴專利授權(quán)量年增長率的中位數(shù)是18.1%，故答案為：18.1%；（3）與2019年相比，2020年長春市專利授權(quán)量增加了17373﹣11894＝5479件；專利授權(quán)量年增長率提高了46.0%﹣15.8%＝30.2%，專利授權(quán)量年增長率提高了30.2個(gè)百分點(diǎn)，故答案為：5479，30.2；（4）①因?yàn)?017年的專利授權(quán)量的增長量為8190﹣7062＝1128件，2019年的專利授權(quán)量的增長量11894﹣10268＝1626件，所以2019年的專利授權(quán)量的增長量高于2017年的專利授權(quán)量的增長量，故①錯(cuò)誤，故答案為：×；②因?yàn)閷＠跈?quán)量年增長率＝×100%，所以只要專利授權(quán)量年增長率大于零，當(dāng)年專利授權(quán)量就一定增加，故②正確，故答案為：√；根據(jù)題意得：從2016年到2020年，每年的專利授權(quán)量都有所增加，所以長春市區(qū)域科技創(chuàng)新力呈上升趨勢，故③正確，故答案為：√．【點(diǎn)評】本題主要考查了折線統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖，理解統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．21．（8分）已知A、B兩地之間有一條長440千米的高速公路．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，沿此公路相向而行，甲車先以100千米/時(shí)的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時(shí)到達(dá)B地；乙車勻速行駛至A地，兩車到達(dá)各自的目的地后停止，兩車距A地的路程y（千米）與各自的行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）m＝2，n＝6；（2）求兩車相遇后，甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)乙車到達(dá)A地時(shí)，求甲車距A地的路程．【分析】（1）由甲車先以100千米/時(shí)的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇可求出m＝2，根據(jù)以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時(shí)到達(dá)B地知n＝6；（2）用待定系數(shù)法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所有時(shí)間，即可求得甲車距A地的路程為300千米．【解答】解：（1）由題意知：m＝200÷100＝2，n＝m+4＝2+4＝6，故答案為：2，6；（2）設(shè)y＝kx+b，將（2，200），（6，440）代入得：，解得，∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；（3）乙車的速度為（440﹣200）÷2＝120（千米/小時(shí)），∴乙車到達(dá)A地所需時(shí)間為440÷120＝（小時(shí)），當(dāng)x＝時(shí)，y＝60×+80＝300，∴甲車距A地的路程為300千米．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能正確識圖．22．（9分）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形ABCD為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中AD＝AB．他先將A4紙沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為AF；再沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C落在EF上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為FG；然后連結(jié)AG，沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想△ADG≌△AFG．【問題解決】小亮對上面△ADG≌△AFG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折疊可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．∴∠EFA＝∠BFA＝45°．∴AF＝AB＝AD請你補(bǔ)全余下的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】（1）∠DAG的度數(shù)為22.5度，的值為﹣1；（2）在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段AF上，且AP＝AB，點(diǎn)Q在線段AG上，連結(jié)FQ、PQ，如圖②．設(shè)AB＝a，則FQ+PQ的最小值為a．（用含a的代數(shù)式表示）【分析】【問題解決】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD＝AF，∠AFG＝∠D＝90°，由HL可證明結(jié)論；【結(jié)論應(yīng)用】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠DAG＝∠DAF＝22.5°；證明△GCF是等腰直角三角形，可求出GF的長，從而可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意可知點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG對稱，連接PD，則PD為PQ+FQ的最小值，過點(diǎn)P作PR⊥AD，求出PR＝AR＝a，求出DR，根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論．【解答】【問題解決】證明：四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折疊可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．∴∠EFA＝∠BFA＝45°，∴AF＝AB＝AD．由折疊得，∠CFG＝∠GFH＝45°，∴∠AFG＝∠AFE+∠GFE＝45°+45°＝90°，∴∠AFG＝∠D＝90°，又AD＝AF，AG＝AG，∴△ADG≌△AFG（HL）．【結(jié)論應(yīng)用】（1）由折疊得，∠BAF＝∠EAF，又∠BAF+∠EAF＝90°，∴∠EAF＝∠BAE＝×90°＝45°，由△ADG≌△AFG得，∠DAG＝∠FAG＝∠FAD＝×45°＝22.5°，∠AFG＝∠ADG＝90°，又∠AFB＝45°，∴∠GFC＝45°．∴∠FGC＝45°．∴GC＝FC．設(shè)AB＝x，則BF＝x，AF＝x＝AD＝BC，∴FC＝BC﹣BF＝x﹣x＝（﹣1）x，∴GF＝FC＝（2﹣）x．∴＝＝﹣1．故答案為：22.5；﹣1．（2）如圖，連接FD，∵DG＝FG，∴AG是FD的垂直平分線，即點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG軸對稱，連接PD交AG于點(diǎn)Q，則PQ+FQ的最小值為PD的長；過點(diǎn)P作PR⊥AD交AD于點(diǎn)R，∵∠DAF＝∠BAF＝45°，∴∠APR＝45°，∴AR＝PR，又AR2+PR2＝AP2＝（）2＝，∴AR＝PR＝a，∴DR＝AD﹣AR＝a﹣a＝a．在Rt△DPR中，AR2+PR2＝DP2，∴DP＝a．∴PQ+FQ的最小值為a．故答案為：a．【點(diǎn)評】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，在?ABCD中，AB＝4，AD＝BD＝，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD﹣DB以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PM．作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'P、A'M．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，（1）點(diǎn)D到邊AB的距離為3；（2）用含t的代數(shù)式表示線段DP的長；（3）連結(jié)AD，當(dāng)線段A'D最短時(shí)，求△DPA'的面積；（4）當(dāng)M、A'、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．【分析】（1）連接DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得DM⊥AB，AM＝2，再利用勾股定理可得DM的長；（2）分點(diǎn)P在AD上或點(diǎn)P在BD上，分別表示PD的長；（3）由A'M＝2，DM＝3，則A'D≥1，當(dāng)點(diǎn)D、A'、M共線時(shí)，DA'最短，利用角平分線的定理得，求出S△APM的面積，從而得出答案；（4）當(dāng)點(diǎn)A'在CM上時(shí)，如圖，作CH⊥AB，交AB的延長線于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，利用全等三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)求出＝，從而表示出MN的長，點(diǎn)點(diǎn)A'在CM的延長線上時(shí)，同理解決問題．【解答】解：（1）連接DM，∵DA＝DB，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴DM⊥AB，AM＝2，在Rt△ADM中，由勾股定理得，DM＝＝，故答案為：3．（2）當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，即0≤t＜1時(shí)，PD＝AD﹣AP＝﹣t，當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，即1≤t≤2時(shí)，PD＝t﹣，∴PD＝；（3）∵A'M＝2，DM＝3，∴A'D≥1，∴當(dāng)點(diǎn)D、A'、M共線時(shí)，DA'最短，∴∠AMP＝∠DMP，∴，∴S△APM＝＝＝，∴S△PDA'＝S△ADM﹣2S△AMP＝3﹣2×＝；（4）當(dāng)點(diǎn)A'在CM上時(shí)，如圖，作CH⊥AB，交AB的延長線于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，∵AD＝BC，∠DAM＝∠CBH，∠DMA＝∠