復(fù)習(xí)提醒與對角線上互異的矩陣可交換必為詳細參看后面

復(fù)習(xí)提??

[

?其中??????(??1，2，??)是????階的單位矩陣且????≠????(????)，與??可交換的矩陣必為如??

[

?

其中??????(??=1，2，??)是????

tr(????)=tr(????)tr(????)=tr(??+??)=tr(??)+tr(????)?tr(????)=0tr(???1????)=tr(?????1??)=tr(??)tr(????????)=tr(????????)=細參看后面附注中的第3題)設(shè)??，??均為??階矩陣，則(????)?=??????。(注意，這個在??，??不可逆的情況下也成立)(詳細參看后面附注中的第5題)矩陣??=[??????]??×??的秩為1的充分必要條件為存在??個不全為零的數(shù)??1，??2及??個不全為零的數(shù)??1，??2，????使??????=????????(??=1，2，??；??=設(shè)??為??(??2)當(dāng)??(??)=??時，??(???)=當(dāng)??(??)<??1時，??(???)=當(dāng)??(????1時，??(???1注??(???)=0即???=)=??，??，? 使???=[???? 。令??=[??，??，? T，??=[??，??，? ???? ???? ??，則??=????T]注=??????0??的特征值，重數(shù)至少為2重，向量??1和??2是??0若??是??階方陣，且??2=??，則??(????(?????)=??，??可對角化，?? 0 ?]0若??是??階方陣，且??2=??，則??(??????(????)=??，??可對角化，??的特征值只可能為-11，????(????)1????(????)為特征值-1??與 ?，，，?， 。由此可以求出矩陣?? ?若??是??階方陣，且??23??4??=0??由??23??4??=0可得(????)(??4??0，由此可得??的特征值只可能為-14，若??和??都是??階方陣，則|????????||????????|，這說明????與????有相同的特征值。若??是????矩陣，??是????矩陣，且??>??，則|??????????|=???????|??????????|，這說明????與????有相同的非零特征值，0????的特征值，至少是????0????的特征值，則它的重數(shù)與????的重數(shù)相差?????重。(詳細參看P284例4.1)若??，??為??階正定矩陣，則????的特征值全大于零。若增加條件????????，則????為實對稱矩陣，且????正定。(詳細參看后面附注中的第10題)若??，??為??階正定矩陣，則??+??和 ??都為正定矩陣。(詳細參 P253性若分塊矩陣??

????? ??可對角化 細參看后面附注中的第13題)若??，??均為??階實對稱矩陣，且????????，則????可對角化。(詳細參看后面附注中的第14題)

若??為??(??>2)階非零實矩陣，其元素??與其對應(yīng)的代數(shù)式??相等(即??T=???)，則 =1，且??20、21、22????1=??11??1+??21??2+????2=??12??1+??22??2+????3=??13??1+??23??2+則 ??[??1，??2，??3]=[??1，??2，??3] ??23]= 附 0 a 0

a1nD 0，A 2n3．3 nn求DA ，AD （1）由矩陣乘法運可得1 1

a

2

nDA2 2 22n;AD

na2n a

n n nnn

1

2

nnn的結(jié)果，有iaijjaij從而(ij)aij0由于ij（i

因為A與所有n階方陣乘法可換，故與Eij乘法可換,利用第7題結(jié)果

0

0AEEA，即

aj ajn 0 j

0a

0 a

,ij1 n．設(shè)

，則A 0

n AB分別為mn及nm矩陣，證明：tr(AB)tr(BA 設(shè)A

a1n

1 m B amn bnmtr(AB)a11b11a12b21a21b12a22b22

mam1b1mam2b2m amnbnmmj1 同理可得tr(BA) j1m 由于ajibijbjiaijtr(AB)tr(BAj1 j15.??，??均為??階可逆矩陣，???，???為其伴隨矩陣，證明：(????)?= A,B都可逆,故A*AA1,B*BB1,且AB可逆,從而得B*A*

ABB1A1

AB(AB)1(AB)*注此題在??，??可逆的情況下證明了(????)?=??????。實際上當(dāng)??，??不可逆時這個也成若??是對合矩陣(即??2=??)，則???也是對合矩陣。(????)?=??????6．證明矩陣??= ????及??個不全為零的數(shù)??1，??2，????使??????=????????(??=1，2，??；??=，??)??(??1，則存在可逆矩陣??和??

0 ??=??

]??=??[ ??[0]=[??2 0]??=[??，??，?，??

??=

2][??，??，? ]=[????

????再證充分性,根據(jù)題意存在m個不全為零的數(shù)a1,a2 ,am及n個不全為零的

,

使aij (i=1,2,…,m; =1,2,…,n)．只需Ba a aT,Cb b b,則a =BC.因 ij

,bn都不全為零,所mm≥當(dāng)??(??)=??時，??(???)=當(dāng)??(??)<??1時，??(???)=當(dāng)??(??)=??1時，??(???)=11)由于秩(A)=n,所以A0AA

AE,在等式兩邊同乘1可得1AAEA*A*A的所有n1A*0,A*OA*)=0.A)=n-1時,A不是滿秩的,所以A0.又因為AAAE,所以AAOAA*nA)=n-1A*1于秩A)=n-1,根據(jù)矩陣秩的定A至少有n1階子式不為零,A*的元An1階子式,所以A*中至少有一個元素不為零.由此可知秩(A*)9．(本題15分)設(shè)3階實對矩陣??的各行元和均為3，向量??1=[?1 ?1]T，??2= 1]T是線性方程組????=??的兩個解。求??及|??3??|62 1 1 ??=[1]00][=11 0 11111證因為??，??為??階正定矩陣，則??，??為??階實對稱矩陣，由????????(????)T=??T??T=????=令??為????的任意一個特征值，????是????屬于??(????)??= 因為??是正定矩陣，則??可逆，且???1也是正定矩陣，在(?)兩邊同時左乘???1????=兩邊同時左乘??T??T????=因為????，且???1，????T????>0，??T???1??>>證法二??=????=????T??=???1??????T??=證法二'因為??，??為??階正定矩陣，則存在可逆矩陣??，????=??T??，??=????=??T????T??=???1????T????T??=證法三??T????=diag[??1，??2，?其中????>0(??=1，2，?，??)，令??T????= ，則??T????也是正定矩陣，于??T??????=(??T????)(??T????)

????] ??=?????

|=??1??2?????| ?|>0，??=1，2，? 由此可得??T??????正定，因此????

設(shè)分塊矩陣??

?

=若??11不正定，則存在??1≠0，使得??1T??11??1=0，令??= 12則??≠0，且??T????=??T??11??1=0，這說明??不正定，，所以??11正定。若??22不正定，則存在??2≠0，使得??T??22??2=0，令12??= 2則??≠0，且??T????=??T??22??2=0，這說明??不正定，，所以??22正定。顯然??22???21???1??12是實對稱矩陣，因為2 ]

]

]=

] 而

?

?? ]=

11所以??

??22?

?

11因此??22???21???1??12???? 階數(shù)為??，因為??，??正定，則對于任意的??向量??≠??，有??T????>0，??T????>0，從而??T(??+??)??=??T????+??T????>0，因此??+??[ 向量??≠[ ??= ??T ??]??= ??T] ??][??1]=??T????+??T????>[因此 [

?? (P261例證因??為正定矩陣，故存在??階可逆矩陣??，使得??T??????，因??T????仍為實對稱矩陣，故存在??階正交矩陣??，使得??T(??T????)??=(????)T??????為對角形。同時??T(??T????)??=(????)T??????=??T????=記??=????，則??階可逆矩陣??就使??T????與??T????=????與???? 解令

??=

]，??= ??=

]，??=

??+??=

]，??+??= ??(??+??)=0，??(??+??)=所以????與??????T????=??T????= ?? ]

] ]=

]=

證設(shè) 稱矩陣A的一個特征值,Oa a

aTA的屬于nn

A 令a a ,其中a表示a的共扼復(fù)數(shù),i1, ,n.對(1)式 A 對(1)式兩邊轉(zhuǎn)置得TATT,因為A 稱矩陣,所以ATA從TAT 對(2)式兩邊同左乘T(3)式兩邊同右乘TAT,TATTT,移項得()T0,因為T0,所以(0所以證

????=(????，????)=(????，????)=(????，????)=(????)T????=??T??T????=??T??=則??2(??，????，??)，從而(??21)(??，??0，因為????，則(??，??0，因此??210，從而可得：??=?1或??=1=證|?????|=|??T?????|=|??T???||??|=(?1)??|(?????)T|=?|???移項得2|?????|=0從而|?????|=0證因為????T=??，則|??|=|????T|=|??||??T|=|??|2=1，所以|??|11 若??為??(??>2)階非零實矩陣，其元素??與其對應(yīng)的代數(shù)式??相等(即??T=???)，則 1，且??證因為??????=??????

???=[??????]=[??????]=[??????]=?????=????T=|??|2=|??|2(|??|???2?1)=所以|??|=0，或|??|???2=1 |??|=∑????????????=∑??2> 則|??|=0不成立，所以|??|???2=1。又因為??為實矩陣，且|??|>0，因此|??|=1????T=|??|??=已知實矩陣??= ??????=??????(??，??=1，2，3)，其中??????是??????的代數(shù)式??12≠0若??為??階方陣，且????T=??，|??|=1，則??????=??????1因為|??|1，則????|