數(shù)學(xué)分析復(fù)旦dvd8附送

其中

(xy)n1exy。(nf(xy)cosyx

x0f(xy在(1,0)點的Taylor展開式（展開到二階導(dǎo)數(shù)，并計算余項R2；求f(x,y)在(1,0)點的k階Taylor展開式證明在(1,0)點的某個領(lǐng)域內(nèi)，余項Rk滿足當(dāng)k時Rk0。解（1）f(xy)1x1)x1)21y2R 1 R23!(x1)xyyf(1(x1), cos(x1)3sin(x1)2ycos(x1)y2siny3 2 其中1(x1)，y01（2）f(x,y)1 1nCj(1)nj(nj)!cos(j)(x1)njyj]R[ n1n!j k

k1

(k1 cos(j)(x

k1jyjjRk Ckj(k1)!j

kj 當(dāng)x1時，1，對任意y(,)，Rk0(k)顯然成立；當(dāng)0|x1|1時，24， 1，于是對任意y(,)，有|R

k

(k

(k1

|x1|k1j|y|j1x1x (k1)!j!(k1j1x1x1k

k11x1x1x

k1

k

ex1因此也成

0（k

利用Taylor近似計算8.96203（展開到二階導(dǎo)數(shù)。解考慮f(x,y)(9x)2y在(0,0)點的Taylor f(x,y)8118x81ln9yx2(918ln9)xy81ln29y2R(x,y) 于8.96203=f(0.04,0.03)8118(0.04)81ln9+(-0.04)2+(9+18ln9)(-0.04)0.03+81/2ln2(9)85.74設(shè)f(x,y)在R2上可微。l1與l2是R2上兩個線性無關(guān)的單位（方

(x,y)0，i1,2證明：在R2f(xy)常數(shù)lcos,sinlcos,sin。由于f(xy在R2上可微

(x,y)

(x,y)

f

(x,y)sin

0

(x,y)

(x,y)

f

(x,y)

0因為l1與l2線性無關(guān)

sin1

0因此上面的線性方程組只有零解fx(xy0fy(xy0。于是由12.3.1知道f(x,y)常數(shù)。f(xy)siny（x0，證明 xxyyf(x,y)0k1 2 yf(x,y)xcosyyycosy 2 x xx k1 yfy)

f(xy0習(xí)12.4求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏sinyexxy20，求dydxyyx，求dyx2yx2y

arctany，求dyx和arctanxyy0，求和

dyd

d2y d dxlnz，求z和z 2 2ezxyz0，求 ， ， 和 x z33xyza3，求zz2z2z x f(xyyzzx)0，求z和z ，求， （9） ，求， f(xz, x ，求zz2z2zf(x, y, x 解（1）F(xysinyexxy20，。dyFx y2ex 。F(xyxyyx0，dyFx 注本題也可先在等式x

y(xlnyy)x(ylnxyx兩邊取對數(shù)，然F(x,y)

G(xy)ylnxxlny0x2arctanyx2xdyFx

xyxx設(shè)F(x,y)arctan

y0， x x (xy)2

ddy

(xy)3

dy

(xy)5

[a2(xy2] F(xyzxlnz0，， ，zFx

zFy z x y(xF(xyzezxyz0，zFx ，zFy ez ez 2

z

2y2

22 x2x ezxy

z

y(ez

2zz z z xy ezxyzxx(ezxy)2exy xyz2e ez (ez (ezF(xyz)z33xyza30，

， x

z2

z22

2xy3 x2x z2xy (z2

(z2 2

xyx z2 (z2 z52xyz3x2y2＝ (z2f(xy,yzzx)0即可得z

f1f3f2

，z

f1f2f2F(x,yz)zf(xzzy)0 zFx ，zFy 1xf1 1xf1 z x

1xffxf1zzxxf11zxf12 2 fxzxzfxzfzxz (1xff)2 x x x xf22 z z z z 1xff xf1zxxf112xzxxf12xf22 2 (10)f(xxyxyz)0即可得zf1f2f3，zf2f3 2zz1

z z f x f11 f121xf13f21f221xf23f 3 f1f2f z 31 1xf33 1f2(f2ff)2f(ff)(ff)(ff)2ff3 33f32 z 1 z f

z xyxyf 1xf23f2 1xf33 3 3 1f2ffffffff ff2fff3 23 23f3ytan(xy確定yx的隱函d3y2(3y48y25)d y證y'sec2(xy)(1y')(1y2)(1y解y'11再求二階和三階導(dǎo)數(shù)y''2y'22 10 2(3y48y2 yy4y6y 設(shè)是可微函數(shù)，證明由(cxazcybz)0所確定的zf(xy滿足方azbzc 證由(cxazcybz)0可得 ，z

， a1所

a1 a1 a1azbzc 設(shè)方程(xzy1,yzx10確定隱函數(shù)zxzyzzxy

f(xy，證明它滿證由1z1

z

12 x2 yzx y2 xzxy 1

1， 1 x(x1y2 1

11

2 y(x1y2y x所

y xxzyzzxy 求下列方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或zx2y2 d d d2 d2（1）x22y23z24a2求dxdxdx2和dx2（2）xuyv 求uu2u2uyuxv x （3）uf(ux,v 和vg(ux,

yu 求 和 zu2v2

yeusin 求z和zzu2v2

解（1）在方程組中對x求導(dǎo)，得dz2x2ydy 2x4y

由此解

dyx(16z)dz y(2 1再求二階導(dǎo)數(shù)d2 (1 x(16z)

y(2 y2(26z) 2y(13z)21 x2(16z)2 2y1 2y2(1 (1 2 d2

1

(13z)2dx13z(13z)3在方程組中對x求偏導(dǎo)uxuyvu

vx

解此方程組u

uxvyy2x

vvxuy y2在方程組中對y求偏導(dǎo)xuvyv u解此方程組

y

vu

vxuyy2x

vuxvy y2 v ux 2u(x2y2)2 2ux y 22 2

yx

x

(yx

(y2x2 u vx 2v(x2y2) xyy2x2vxxyx(y2x2)2 在方程組中對x求偏導(dǎo)

(y2x2

u

vfx

uxx x ,, 解此方程組

2u

f2g1uf1(2vyg2 f2g1(xf11)(2vyg2

v

(1xf1g1uf1 f2g1(xf11)(2vyg2在方程組中分別對x與y求偏導(dǎo)1uv 0uv 與 y 0 解此兩方程組uv1與uv1

z2uv2u2u2vvuv(uv) z2uv2u2u2vvuv(uv 在方程組中對x求偏導(dǎo)1eucosvueusinvv

x解此方程組

ueucosv,veusinvz2uu2v

2(ucosvvsinv) 在方程組中對y求偏導(dǎo)0eucosvueusinvv， ，1eusinvueucosvv 解此方程組求微

ueusinv,veucosv z2uu2vv＝2(vcosvusinv （1）x2yz（2）xsinu sin

0，求dz；求du與dv。解(1)直接對等式兩邊求微分dx2dydz (yzdxxzdyxydz)0由此解yz xyzxzyz xyzxz2xyz直接在方程組中求微dxdydudxxdycosudusinucosv sin sin2解此方程組du

sinvxcosvxcosvycos

dx

xcosvsinuxcosvycos

dydvycosusinvdxycosusinudyxcosvycos xcosvycos設(shè)xxy是由方程組Fyx,yz zz

z 所確定的向量值0

y 數(shù)，其中二元函數(shù)F和G分別具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求dxdz 解(1)在方程組中對y求導(dǎo)數(shù)1dx dz dyF11dyF2 dx 1dz ydyG1y2ydyG2 解此方程組dxyF1G2xy2F2G1(yz)F2G2 y(FGy2FG1 2dzzF1G2y3F2G1y2xy)F1G1 y(FGy2FG1 2f(xy具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。在極坐標(biāo)xrcos變換下，yr關(guān)于極坐標(biāo)的表達(dá)

2x

2y 經(jīng)計算，ffxfycosfsinf x y ffxfyrsinfrcosf x y 2f 2 2f 2 2f coscosx2sin sin2

2

yx 2

cos2

2cos

sin2

2

2 2frcos rsin rsinrsinx2rcos yx 2 2f rcosrsinxyrcos2y 2 22 2 2frcosrsin r x22sincos cos 2x容易驗

y 2 12 1 2 ＝ r r2 r

設(shè)二元函數(shù) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。證明：通過適當(dāng)線性變uxvx可以將2

2

22化簡2

Ax2

xyC

（ACB202

0并說明此時為一元二次方程A2BtCt20的兩個相異實根。證經(jīng)計算，有ffufvff u v ffufvff u v 2

2f

2f

2f

2f

2

22

2

u2 vu uv v2

2f2fu2fv2fu2fv

u2 vu

uv v2 22

2

22f2

2fu2fv

2f

2fv

2

2f f2f f u2 vu uv v2 所2

2

20Ax22BxyC2

22

2(A2BC2

(A2B

)

2[AB()

vu由條件ACB20知一元二次方程A2BtCt20有兩個相異實根，所以只要取為方程的兩個相異實根。此時由2B與CA，可CAB()C

0于是原方程化簡為2uv0通過自變量變換xey

變換方22 2 22ax 2bxy cy 0abc為常數(shù)。x y解由lnx,lny，可zz1z，zz1z x y2z12z1z2z12z1z2z 2z x2 x2 y2 y2 xy代入原方程22 2 22 2 z 2 2 zaxx22bxyxy

0 通過自變量變換ux2y

變換vx22

2

1解經(jīng)計算，

yy22

y0zzuzvzz，zzuzv1zzy u v u vy

zz 2

2

2 2

z

12

2

2z

u22

uvyu2 vzv22 u 2 代入原方程

2z

2 1 2

yy22y4

0所以原方程變

2

0導(dǎo)出新的因變量關(guān)于新的自變量的偏導(dǎo)數(shù)所滿足的方ux2y2（1）用v

1

及wlnzxy變換方y(tǒng)zxz(yx)z 用 u用vx

及wxyz變換方 2

22

x2

xy20 ux 用v

及w 變換方x2 2 2 2 0x（1）由wlnzxy得

yzw

w1w1 z z2x x2

1w1y1

y

z2yuy2 代yzxz(yx)z 得 y x z2xyux2vy z2xyuy2vxz(yx)0 化簡后得由wxyz得

w0zw1ww1，zw1w1 2z2w 2w2w2z2w2w2z2w 2 代2

22

x2

xy20 得w w 0u 由wz得x

v zwxwwxwyw，zxwxww xv 2 2

y

ywx2w

2y

22w x

x

x

u xuv x w2w2