2022年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專(zhuān)題15-矩形存在性問(wèn)題(學(xué)生版+解析版)

中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)--存在性問(wèn)題第15節(jié)矩形的存在性方法點(diǎn)撥矩形ABCD，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，則O的坐標(biāo)為（）或者（）解題方法：（在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加對(duì)角線相等）（1）選一定點(diǎn)，再將這一定點(diǎn)與另外點(diǎn)的連線作為對(duì)角線，分類(lèi)討論；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程：；（3）對(duì)角線相等：例題演練1．如圖，在平面，在平面直角坐標(biāo)系中，地物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PB，PC，以PB，PC為鄰邊作平行四邊形CPBD，求四邊形CPBD面積的最大值；（3）將該拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)M為直線BC上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)C，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，連接AD，點(diǎn)P為AD上方拋物線上一點(diǎn)，連接PA，PD，請(qǐng)求出△PAD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將原拋物線y＝ax2+bx+4沿x軸負(fù)半軸方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)M．點(diǎn)N是原拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由3．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+2的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．﹣1，3是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的兩個(gè)根．（1）求該拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D，AD與y軸交于點(diǎn)E，P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA交BC于點(diǎn)F，求S△PEF的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)找一點(diǎn)N，是否存在以點(diǎn)A，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形是以PA為邊的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，1），（﹣9，10），AC∥x軸．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB交于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，將該拋物線平移至其頂點(diǎn)與A′重合，得到一條新拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)D，但以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)B、D的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P在直線BD下方拋物線上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)B、D），記△PCB的面積為S1，記△PDB的面積為S2，求2S1﹣S2的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將該拋物線沿直線DB平移，設(shè)平移后的新拋物線的頂點(diǎn)為D'（D'與D不重合），新拋物線與直線DB的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)C、D'、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，直線y＝﹣2x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、E，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（5，3），拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（6，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，連接BD，AD，CD，動(dòng)點(diǎn)P在BD上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段CA上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，PQ交線段AD于點(diǎn)H．①當(dāng)∠DPH＝∠CAD時(shí)，求t的值；②過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BD，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BD交線段AB或AD于點(diǎn)N．在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)P，N，H，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．已知，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）如圖1，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作DP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)P作PE⊥x軸，垂足為E，交BC于點(diǎn)F，過(guò)F作FG⊥PE，交DP于G，連接CG，OG，求陰影部分面積S的最大值和D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖3，將拋物線沿射線AC方向移動(dòng)個(gè)單位得到新的拋物線y'＝ax2+bx+c（a≠0），是否在新拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)M，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以C、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CB為邊的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣3，0）、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)C（﹣1，﹣2），連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，作∠ABC的角平分線BE，交對(duì)稱(chēng)軸于交點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)；（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)F是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)和點(diǎn)B重合，連接DF，將△BDF沿DF折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B1，△DFB1與△BDC的重疊部分為△DFG，請(qǐng)?zhí)骄浚谧鴺?biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)H，使以點(diǎn)D、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x軸于A（﹣1，0），B（4，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線解析式；（2）點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接PB，過(guò)C作CQ∥BP交x軸于點(diǎn)Q，連接PQ，求△PBQ面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，得到新拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），點(diǎn)E在新拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在平面內(nèi)一點(diǎn)F，使得A，P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，直線PC與x軸交于點(diǎn)Q．使得PQ＝CQ．求點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以A，C，M，N為頂點(diǎn)的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（﹣5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，），點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，若點(diǎn)P為拋物線上位于第二象限內(nèi)且在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的一點(diǎn)，連接PD、PB，求四邊形DHBP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)G，使得以點(diǎn)B、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB相交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y＝﹣x﹣6交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，是否存在點(diǎn)E，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)--存在性問(wèn)題第15節(jié)矩形的存在性方法點(diǎn)撥矩形ABCD，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，則O的坐標(biāo)為（）或者（）解題方法：（在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加對(duì)角線相等）（1）選一定點(diǎn)，再將這一定點(diǎn)與另外點(diǎn)的連線作為對(duì)角線，分類(lèi)討論；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程：；（3）對(duì)角線相等：例題演練1．如圖，在平面，在平面直角坐標(biāo)系中，地物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PB，PC，以PB，PC為鄰邊作平行四邊形CPBD，求四邊形CPBD面積的最大值；（3）將該拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)M為直線BC上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)C，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣2.（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)G．∵拋物線y＝x2﹣x﹣2與y軸交于點(diǎn)C，∴C（0，﹣2）．設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx﹣2，則3k﹣2＝0，解得k＝，∴y＝x﹣2．設(shè)P（x，x2﹣x﹣2）（0＜x＜3），則G（x，x﹣2），∴PG＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x，∵S△PBC＝PG?OH+PG?BH＝PG?OB＝PG，∴S平行四邊形CPBD＝2S△PBC＝3PG，∴S平行四邊形CPBD＝3（﹣x2+2x）＝﹣2x2+6x＝﹣2（x﹣）2+，∴當(dāng)x＝時(shí)，四邊形CPBD的面積的值最大，最大值為．（3）存在．如圖2，設(shè)拋物線y＝x2﹣x﹣2的頂點(diǎn)為Q，其對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)J，交直線BC于點(diǎn)K，設(shè)拋物線y＝x2﹣x﹣2平移后的頂點(diǎn)為R，過(guò)點(diǎn)R作RI⊥JQ于點(diǎn)I．∵QR∥BC，∴∠RQI＝∠BKJ＝∠BCO，∵∠RIQ＝∠BOC＝90°，∴△RIQ∽△BOC．∵OB＝3，OC＝2，∴BC＝＝，∴OC：OB：BC＝2：3：，∴IQ：IR：QR＝2：3：，∵QR＝，∴IQ＝QR＝×＝1，IR＝QR＝×＝．由y＝x2﹣x﹣2＝y(tǒng)＝（x﹣1）2﹣，得Q（1，﹣），∴1+＝，+1＝，R（，），∴平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x﹣）2﹣，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝×（）2＝，∴E（0，）．若以C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的矩形，則EN∥CM，EN＝CM．當(dāng)y＝時(shí)，由x﹣2＝，得x＝，∴M（，），N（，﹣2）；若以C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為對(duì)角線的矩形，則EN∥CM，EN＝CM．如圖3，作NT⊥y軸于點(diǎn)T.∵EN∥BC，∴∠NET＝∠ECM＝∠BCO，∵∠NTE＝∠EMC＝∠BOC＝90°，∴△NTE∽△EMC∽△BOC，∴EN＝CM＝CE＝×（+2）＝，∴TN＝EN＝×＝，TE＝EN＝×＝，∴OT＝＝，∴N（，）．綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，﹣2）或（﹣，）．2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，連接AD，點(diǎn)P為AD上方拋物線上一點(diǎn)，連接PA，PD，請(qǐng)求出△PAD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將原拋物線y＝ax2+bx+4沿x軸負(fù)半軸方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)M．點(diǎn)N是原拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由e【解答】解：（1）將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+bx+4中，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；（2）分別過(guò)點(diǎn)D、P作x軸的垂線，交x軸于E、F，如圖1，∵點(diǎn)P為AD上方拋物線上一點(diǎn)，∴x的取值范圍是﹣2＜x＜3，∵D、P都是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)P（x，﹣x2+x+4），D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，∴DE＝﹣×32+3+4＝，PF＝﹣x2+x+4，∵S△PAD＝S梯形PFED+S△APF﹣S△AED，即S△PAD＝×[（PF+DE）×EF]+×AE×DE，∴S△PAD＝×[（﹣x2+x+4+）×（3﹣x）]+×[x﹣（﹣2）]×（﹣x2+x+4）﹣×[3﹣（﹣2）]×，化簡(jiǎn)得S△PAD＝﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴S△PAD有最大值，當(dāng)x＝＝時(shí)，S△PAD有最大值為，此時(shí)P（，）；（3）存在，∵拋物線解析式y(tǒng)＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，∴移動(dòng)后的解析式為y＝﹣（x﹣1+2）2+＝﹣x2﹣x+4，∵二次函數(shù)前后圖象交于M，∴﹣x2+x+4＝﹣x2﹣x+4，解得x＝0，∴M（0，4），∵拋物線移動(dòng)前對(duì)稱(chēng)軸為x＝＝1，點(diǎn)N是原對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1；①若以點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，當(dāng)MN和AM為鄰邊時(shí)，則MN⊥AM，過(guò)點(diǎn)N作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)T，如圖2，在△AMO和△MNT中，，∴△AMO∽△MNT，∴＝，∵AO＝2，MO＝4，NT＝1，∴＝，即＝，∴MT＝，∴點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為4﹣＝，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，），根據(jù)矩形性質(zhì)和平移法則，線段AM向右平移1，向下平移，得到對(duì)應(yīng)線段QN，四邊形AQNM構(gòu)成矩形，∴點(diǎn)A向右平移1，向下平移，得到點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，﹣），②若以點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，當(dāng)AN和AM為鄰邊時(shí)，則AN⊥AM，設(shè)原拋物線對(duì)稱(chēng)軸交x軸于G，如圖3，在△AOM和△NGA中，，∴△AOM∽△NGA，∴＝，∵AO＝2，MO＝4，AG＝1﹣（﹣2）＝3，∴＝，即＝，∴NG＝3，同理點(diǎn)M向右平移3，向下平移，得到Q，∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，），綜上，以點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，﹣）或（3，）．3．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+2的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．﹣1，3是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的兩個(gè)根．（1）求該拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D，AD與y軸交于點(diǎn)E，P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA交BC于點(diǎn)F，求S△PEF的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)找一點(diǎn)N，是否存在以點(diǎn)A，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形是以PA為邊的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵﹣1，3是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的兩個(gè)根，∴，解得，∴該拋物線的解析式為y＝x2+x+2．（2）如圖1，作PH⊥x軸，交AD于點(diǎn)H，作PG⊥AD于點(diǎn)G，作BK⊥AD于點(diǎn)K．當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣1，x2＝3，則A（﹣1，0）、B（3，0）；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，則C（0，2）．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+2，則3k+2＝0，解得k＝，∴y＝x+2；設(shè)直線AD的解析式為y＝x+c，則+c＝0，解得c＝，∴y＝x，E（0，），∵OA＝1，OE＝，∠AOE＝90°，∴AE＝＝，∴OE：OA：AE＝2：3：．∴BK＝AB?sin∠OAE＝（3+1）×＝，∴S△AEF＝××＝，設(shè)P（x，x2+x+2），則H（x，x），∴PH＝x2+x+2+x+＝x2+2x+，∵PH∥y軸，∴∠PHG＝∠AEO，∴PG＝PH?sin∠AEO＝（x2+2x+），∴S△PEF＝××（x2+2x+）＝x2+x＝（x）2+，∴當(dāng)x＝時(shí)，S△PEF的面積最大，最大值為，此時(shí)P（，）．（3）存在．如圖2，設(shè)直線AP交y軸于點(diǎn)R，直線AM交y軸于點(diǎn)Q，直線AP的解析式為y＝px+q，由（1）得P（，），則，解得，∴y＝x+1，R（0，1），OA＝OR＝1．當(dāng)矩形AMNP以AP、AM為鄰邊時(shí)，則∠RAQ＝90°，PN∥AM，MN∥AP．∵∠OAR＝∠ORA＝45°，∠AOR＝∠AOQ＝90°，∴∠OAQ＝∠OQA＝45°，∴OQ＝OA＝1，Q（0，﹣1）；設(shè)直線AM的解析式為y＝mx﹣1，則﹣m﹣1＝0，解得m＝﹣1，∴y＝﹣x﹣1；設(shè)直線PN的解析式為y＝﹣x+n，則+n＝，解得n＝4，∴y＝﹣x+4．由，得，，∴M（，）；設(shè)直線MN的解析式為y＝x+r，則+r＝，解得r＝﹣10，∴y＝x﹣10，由，得，∴N（7，﹣3）；設(shè)PN交拋物線于另一點(diǎn)M′，作M′N(xiāo)′∥AP交AM于點(diǎn)N′．由，得，，∴M′（2，2），設(shè)直線M′N(xiāo)′的解析式為y＝x+d，則2+d＝2，解得d＝0，∴y＝x，由，得，當(dāng)矩形AN′M′P以AP、PM′為鄰邊，則N′（，）．綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（7，﹣3）或（，）．4．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，1），（﹣9，10），AC∥x軸．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB交于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，將該拋物線平移至其頂點(diǎn)與A′重合，得到一條新拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)D，但以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，1），B（﹣9，10），則，解得，故拋物線的解析式是y＝x2+2x+1①；（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，將A（0，1），B（﹣9，10）代入得：，解得，∴AB解析式為y＝﹣x+1，由x2+2x+1＝1解得x1＝0，x2＝﹣6，∴C（﹣6，1），AC＝6，∵P在AC下方拋物線上，設(shè)P（t，t2+2t+1），∴﹣6＜t＜0∵過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB交于點(diǎn)E，∴E（t，﹣t+1），∴EP＝（﹣t+1）﹣（t2+2t+1）＝﹣t2﹣3t，而四邊形AECP的面積S四邊形AECP＝S△EAC+S△PAC＝AC?EF+AC?PF＝AC?EP，∴S四邊形AECP＝×6×（﹣t2﹣3t）＝﹣t2﹣9t＝﹣（t+）2+，∵﹣6＜﹣＜0，∴t＝﹣時(shí)，S四邊形AECP最大值為：，此時(shí)t2+2t+1＝×（﹣）2+2×（﹣）+1＝﹣，∴P（﹣，﹣）；（3）存在，理由：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），則點(diǎn)A′為（0，﹣1），則平移后的拋物線表達(dá)式為y＝x2﹣1②，聯(lián)立①②并解得，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，﹣），設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣3，m），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（s，t），而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣6，1），①當(dāng)CM是矩形的邊時(shí)，點(diǎn)C向右平移5個(gè)單位向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)M，同樣點(diǎn)N（D）向右平移5個(gè)單位向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)D（N），且CD＝MN（CN＝DM），則或，解得或；故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，）或（﹣8，﹣5）；②當(dāng)CM是矩形對(duì)角線時(shí)，則CM的中點(diǎn)即為DN的中點(diǎn)，且CM＝DN，∴，解得或，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，）或（﹣4，）．綜上，點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，）或（﹣8，﹣5）或（﹣4，）或（﹣4，）．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)B、D的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P在直線BD下方拋物線上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)B、D），記△PCB的面積為S1，記△PDB的面積為S2，求2S1﹣S2的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將該拋物線沿直線DB平移，設(shè)平移后的新拋物線的頂點(diǎn)為D'（D'與D不重合），新拋物線與直線DB的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)C、D'、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝﹣6，∴C（0，﹣6），令y＝0，則，解得x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∵，∴D（2，﹣8），即B（6，0），D（2，﹣8）；（2）設(shè)直線BC為y＝k1x﹣6，代入B點(diǎn)坐標(biāo)得：0＝6k1﹣6，解得k1＝1，∴直線BC解析式為y＝x﹣6，同理，直線BD解析式為y＝2x﹣12，設(shè)P，過(guò)P作PM∥y軸交BC于M，交BD于N，如下圖，則M（x，x﹣6），N（x，2x﹣12），∴PM＝x﹣6﹣＝，∴＝，∴PN＝2x﹣12﹣（x2?2x?6）＝﹣x2+4x﹣6，同理S2＝PN?（6?2）＝2PN＝2（﹣x2+4x﹣6）＝﹣x2+8x+12，∴2S1﹣S2＝﹣2x2+10x﹣12＝，∵2＜x＜6，∴時(shí)，2S1﹣S2最大值為，此時(shí)P（）；（3）將拋物線沿BD方向平移，設(shè)D′（n，2n﹣12），∴平移后的拋物線為：，∵平移后的拋物線與直線BD交于點(diǎn)D′和點(diǎn)E，∴聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，x2﹣（2n+4）x+n2+4n＝0，∴xD′+xE＝2n+4，又xD′＝n，∴xE＝n+4，∴yE＝2（n+4）﹣12＝2n﹣4，∴E（n+4，2n﹣4），以C、D′、E、F為頂點(diǎn)構(gòu)矩形，分以下三類(lèi)：①當(dāng)CD′為矩形CED′F的對(duì)角線時(shí)，，解得，∴F（﹣4，﹣14），∵CD′＝EF，∴n2+（2n﹣6）2＝（n+8）2+（2n+10）2，∴，符合題意，此時(shí)F（﹣4，﹣14），②當(dāng)D′E為矩形CD′FE的對(duì)角線時(shí)，，解得，∴F（2n+4，4n﹣10），∵CF＝D′E，∴（2n+4）2+（4n﹣4）2＝42+82，∴或2，符合題意，此時(shí)F（）或（8，﹣2），③當(dāng)CE為矩形CD′EF的對(duì)角線時(shí)，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，b），而點(diǎn)E、C、D′的坐標(biāo)分別為（n+4，2n﹣4）、（0，﹣6）、（n，2n﹣12），由中點(diǎn)公式得，解得，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，2）；綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（﹣4，﹣14）或（）或（8，﹣2）或（4，2）．6．如圖，直線y＝﹣2x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、E，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（5，3），拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（6，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，連接BD，AD，CD，動(dòng)點(diǎn)P在BD上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段CA上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，PQ交線段AD于點(diǎn)H．①當(dāng)∠DPH＝∠CAD時(shí)，求t的值；②過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BD，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BD交線段AB或AD于點(diǎn)N．在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)P，N，H，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）在直線y＝﹣2x+4中，令x＝0時(shí)，y＝4，∴點(diǎn)B坐標(biāo)（0，4），令y＝0時(shí)，得：﹣2x+4＝0，解得：x＝2，∴點(diǎn)A（2，0），∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），C（6，0），E（5，3），∴可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）（x﹣6），將E（5，3）代入，得：3＝a（5﹣2）（5﹣6），解得：a＝﹣1，∴拋物線解析式為：y＝﹣（x﹣2）（x﹣6）＝﹣x2+8x﹣12；（2）①∵拋物線解析式為：y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，∴頂點(diǎn)D（4，4），∵點(diǎn)B坐標(biāo)（0，4），∴BD∥OC，BD＝4，∵y＝﹣x2+8x﹣12與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)C，∴點(diǎn)C（6，0），點(diǎn)A（2，0），∴AC＝4，∵點(diǎn)D（4，4），點(diǎn)C（6，0），點(diǎn)A（2，0），∴AD＝CD＝2，∴∠DAC＝∠DCA，∵BD∥AC，∴∠DPH＝∠PQA，且∠DPH＝∠DAC，∴∠PQA＝∠DAC，∴PQ∥DC，且BD∥AC，∴四邊形PDCQ是平行四邊形，∴PD＝QC，∴4﹣2t＝3t，∴t＝；②存在以點(diǎn)P，N，H，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，此時(shí)t＝1﹣．如圖，若點(diǎn)N在AB上時(shí)，即0≤t≤1，∵BD∥OC，∴∠DBA＝∠OAB，∵點(diǎn)B坐標(biāo)（0，4），A（2，0），點(diǎn)D（4，4），∴AB＝AD＝2，OA＝2，OB＝4，∴∠ABD＝∠ADB，∴tan∠OAB＝＝＝tan∠DBA＝，∴PN＝2BP＝4t，∴MH＝PN＝4t，∵tan∠ADB＝tan∠ABD＝＝2，∴MD＝2t，∴DH＝＝2t，∴AH＝AD﹣DH＝2﹣2t，∵BD∥OC，∴＝，∴＝，∴5t2﹣10t+4＝0，∴t1＝1+（舍去），t2＝1﹣；若點(diǎn)N在AD上，即1＜t≤，∵PN＝MH，∴點(diǎn)E、N重合，此時(shí)以點(diǎn)P，N，H，M為頂點(diǎn)的矩形不存在，綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)P，N，H，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，t的值為1﹣．7．已知，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）如圖1，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作DP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)P作PE⊥x軸，垂足為E，交BC于點(diǎn)F，過(guò)F作FG⊥PE，交DP于G，連接CG，OG，求陰影部分面積S的最大值和D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖3，將拋物線沿射線AC方向移動(dòng)個(gè)單位得到新的拋物線y'＝ax2+bx+c（a≠0），是否在新拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)M，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以C、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CB為邊的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝，∴，令y＝0，則，解得：，∴，∴，在Rt△AOB中，AC2＝OA2+OC2＝15，同理，BC2＝60，又AB＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，即△ABC為直角三角形；（2）設(shè)直線AC為，代入點(diǎn)A（，0）得，k1＝2，∴直線AC為，同理，直線BC為，（2）∵PE⊥x軸，∴PE∥y軸，設(shè)P（m，），F(xiàn)（m，），∴，∵GF⊥PE，PE⊥x軸，∴GF∥x軸，∠GFP＝90°，∵AC∥PD，∴∠CAO＝∠PDE＝∠PGF，又∠AOC＝∠GFP＝90°，∴△AOC∽△GFP，∴，∴GF＝，∵，∴，∴當(dāng)PF最大時(shí)，S陰取得最大值，∵＝，又，∴當(dāng)m＝時(shí)，PF最大值為，S陰最大值為3，∴P（），∵PD∥AC，∴可設(shè)直線PD為y＝2x+b，代入點(diǎn)P，得b＝，∴直線PD為：，令y＝0，解得x＝，∴，此時(shí)S陰最大值為3；（3）存在這樣的點(diǎn)M，使以C、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，∵，∴當(dāng)拋物線沿射線AC方向平移個(gè)單位，可以分解為水平向右平移個(gè)單位，豎直向上平移3個(gè)單位，∵y＝，∴平移后得拋物線為：，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線，①當(dāng)∠MCB＝90°，MB為對(duì)角線，構(gòu)成矩形MCBN時(shí)，如圖1，過(guò)M作MQ⊥y軸于Q點(diǎn)，∴∠MCQ+∠OCB＝90°，又∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠MCQ＝∠OBC，∴tan∠MCQ＝tan∠OBC＝，∴，又MQ＝，∴，∴，由坐標(biāo)與平移關(guān)系可得，N（），②當(dāng)∠CBM＝90°，CM為對(duì)角線，構(gòu)成矩形BCNM時(shí)，如圖2，∵∠CBO+∠OBM＝90°，∠BMQ+∠OBM＝90°，∴∠BMQ＝∠CBO，∴tan∠BMQ＝tan∠CBO，∴，∵，∴，∴，由坐標(biāo)與平移關(guān)系可得，N（），綜上所述，N為（）或（）．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣3，0）、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)C（﹣1，﹣2），連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，作∠ABC的角平分線BE，交對(duì)稱(chēng)軸于交點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)；（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)F是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)和點(diǎn)B重合，連接DF，將△BDF沿DF折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B1，△DFB1與△BDC的重疊部分為△DFG，請(qǐng)?zhí)骄?，在坐?biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)H，使以點(diǎn)D、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)C（﹣1，﹣2），∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）2﹣2，把A（﹣3，0）代入可得a＝，∴拋物線的解析式為y＝（x+1）2﹣2＝x2+x﹣．（2）如圖1中，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于F（﹣1，0）．由題意，BF＝2，CF＝2，∴tan∠CBF＝＝，∴∠CBF＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∴DF＝BF?tan30°＝，∴D（﹣1，﹣），∴直線BD的解析式為y＝x﹣，由，解得，或，∴E（﹣，﹣），∴DE＝＝．（3）如圖2﹣1中，當(dāng)∠DGF＝90°時(shí)，點(diǎn)H在第三象限，此時(shí)CG＝GB，G（0，﹣），F(xiàn)（，﹣），利用平移的性質(zhì)可得H（﹣，﹣）．如圖2﹣2中，當(dāng)∠DFC＝90°時(shí)，點(diǎn)H在第三象限，此時(shí)CF＝FB，點(diǎn)C，G，B′共點(diǎn)，F(xiàn)（0，﹣），利用平移的性質(zhì)可得H（﹣2，﹣）．如圖2﹣3中，當(dāng)∠DGF＝90°，點(diǎn)H在第三象限，此時(shí)G（﹣1，），F(xiàn)（﹣，﹣），利用平移的性質(zhì)可得H（﹣，﹣），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（﹣2，﹣）或（﹣，﹣）．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x軸于A（﹣1，0），B（4，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線解析式；（2）點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接PB，過(guò)C作CQ∥BP交x軸于點(diǎn)Q，連接PQ，求△PBQ面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，得到新拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），點(diǎn)E在新拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在平面內(nèi)一點(diǎn)F，使得A，P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x軸于A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．（2）如圖，連接BC，OP，設(shè)P（m，m2﹣m﹣2）．∵CQ∥PB，∴S△PBQ＝S△PBC＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×2×m+×4×（﹣m2+m+2）﹣×2×4＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴m＝2時(shí)，△PBQ的面積的最大值為4，∴P（2，﹣3）．（3）存在．理由：如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)P作新拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l的垂線垂足為J，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為T(mén)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP交新拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于E′，可得矩形AE′F′P．∵P（2，﹣3），B（4，0），∴直線PB的解析式為y＝x﹣6，∵CQ∥PB，∴CQ的解析式為y＝x﹣2，∴Q（，0），∴AQ＝1+＝，∴平移后的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x＝，∴AT＝，∵PH⊥AH，AH＝PH＝3，∴∠HAP＝∠APH＝45°，∴AT＝TE′＝，∴E′（，），∵PA＝E′F′，PA∥E′F′，∴點(diǎn)E′向右平移3個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位得到F′，∴F′（，），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PA，交直線l于E，可得矩形APEF，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥直線l于J，同法可得，PJ＝EJ＝，∴E（，﹣），∵PA＝EF，PA∥EF，∴點(diǎn)E向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到F，∴F（，）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）或（，）．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，直線PC與x軸交于點(diǎn)Q．使得PQ＝CQ．求點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以A，C，M，N為頂點(diǎn)的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）拋物線交x軸于A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得，∴拋物線解析式為；（2）∵點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，∴設(shè)P（m，﹣m2﹣m+4），如圖1，作PH⊥x軸于H，∴PH∥OC，∴△QCO∽△QPH，∴，∴（﹣m2﹣m+4）＝±，解得：m＝﹣或﹣或，∴P點(diǎn)坐標(biāo)（﹣，5）或（﹣，5）或（，﹣5）或（，﹣5）；（3）∵拋物線y＝﹣x2﹣x+4的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣1，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，m），∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），∴AM＝＝，同理可得：AC＝5，CM＝，分AC為邊或AC為對(duì)角線兩種情況考慮：①當(dāng)AC為邊時(shí)，有AC2+AM2＝CM2或AC2+CM2＝AM2，即25+m2+4＝m2﹣8m+17或25+m2﹣8m+17＝m2+4，解得：m＝﹣或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，﹣）或（﹣1，）；如圖2，過(guò)M作y軸的垂線交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交于點(diǎn)G，由題意得：四邊形NACM為矩形，則AN＝CM，∵∠MCH＝∠BAM′＝∠ANG，∠NGA＝∠CHM＝90°，∴△AGN≌△MHC（AAS），∴NG＝HC＝﹣4＝，AG＝MH＝1，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣4，），同理可得，點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（2，），由全等三角形的性質(zhì)得，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，）或（2，）；②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，有AM2+CM2＝AC2，即m2+4+m2﹣8m+17＝25，解得：m＝2+或2﹣，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．如圖3，分別過(guò)M或N作y軸或x軸的垂線，由全等三角形的性質(zhì)，同理可得：N點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，2﹣）或（﹣2，2+），綜上所述：