高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例直線(xiàn)與平面垂直

18直線(xiàn)與平面垂直教材分析直線(xiàn)與平面垂直是在研究了直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直、直線(xiàn)與平面平行、平面與平面平行的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．它是直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的延伸，是學(xué)習(xí)平面與平面垂直以及有關(guān)距離、空間角、多面體、旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)．這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，并對(duì)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和空間想象能力，起著十分重要的作用．直線(xiàn)與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理是這節(jié)課的重點(diǎn)．學(xué)習(xí)直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生把直線(xiàn)和直線(xiàn)的關(guān)系問(wèn)題有目的地轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與平面的關(guān)系問(wèn)題，這是這節(jié)課的難點(diǎn)．教學(xué)目標(biāo)1.掌握直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)與平面垂直的定義，以及直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì)．2.通過(guò)探索線(xiàn)面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理及其證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和空間想象、計(jì)算能力，并且加強(qiáng)對(duì)思維能力的訓(xùn)練．3.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知的精神，滲透事物間相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)，并通過(guò)圖形的立體美，對(duì)稱(chēng)美，培養(yǎng)教學(xué)審美意識(shí)．任務(wù)分析因?yàn)榕卸ǘɡ淼淖C明有一定的難度，所以教材作為探索與研究來(lái)處理．又因?yàn)槎ɡ淼恼撟C層次多，構(gòu)圖復(fù)雜，輔助線(xiàn)多，運(yùn)用平面幾何的知識(shí)多，所以這節(jié)課的難點(diǎn)是判定定理的證明．突破難點(diǎn)的方法是充分運(yùn)用實(shí)物模型演示，以具體形象思維支持邏輯思維．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境上海的標(biāo)志性建筑———東方明珠電視塔的中軸線(xiàn)垂直于地面，在這一點(diǎn)上，它與比薩斜塔完全不同．那么，直線(xiàn)與平面垂直如何定義和判定，又有什么性質(zhì)呢？這將是本節(jié)課要研究的問(wèn)題．二、建立模型我們先來(lái)研究空間中兩條直線(xiàn)的垂直問(wèn)題．在平面內(nèi)，如果兩條直線(xiàn)互相垂直，則它們一定相交．在空間中，兩條互相垂直相交的直線(xiàn)中，如果固定其中一條，讓另一條平移到空間的某一個(gè)位置，就可能與固定的直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)兩條直線(xiàn)不會(huì)相交，也不會(huì)在同一平面內(nèi)（為什么），我們同樣稱(chēng)它們相互垂直．下面我們給出空間任意兩條直線(xiàn)互相垂直的一般定義．如果兩條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)或經(jīng)過(guò)平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角，則稱(chēng)這兩條直線(xiàn)互相垂直．礎(chǔ)有了直線(xiàn)與塑直線(xiàn)垂直的館概念，我們錢(qián)就可以利用椒直線(xiàn)與直線(xiàn)妖垂直來(lái)定義壓直線(xiàn)與平面豆垂直了．［問(wèn)題］書(shū)1.什么瓜叫直線(xiàn)與平謎面垂直？令教師演示：破如圖，直線(xiàn)蟻l是線(xiàn)段A霜B的中垂線(xiàn)跑．固定線(xiàn)段續(xù)AB，讓l刺保持與AB匹垂直并繞直睜線(xiàn)AB在空套間旋轉(zhuǎn)．講教師讓學(xué)生序討論：（1死）直線(xiàn)l的帶軌跡是怎樣億的圖形？心（2）如何惰定義直線(xiàn)與沈平面垂直？俗教師明晰：?jiǎn)剩?）線(xiàn)段普AB所有垂歷直平分線(xiàn)構(gòu)孤成的集合是涉一個(gè)平面．汁（2）如果活一條直線(xiàn)（巴AB）和一挺個(gè)平面（α宗）相交于點(diǎn)侵O，并且和合這個(gè)平面內(nèi)描過(guò)交點(diǎn)O的芽任何直線(xiàn)都孔垂直，我們薪就說(shuō)這條直致線(xiàn)和這個(gè)平當(dāng)面互相垂直襪，這條直線(xiàn)膊叫作平面的睛垂線(xiàn)，這個(gè)麗平面叫作直甜線(xiàn)的垂面．誼交點(diǎn)叫作垂評(píng)足．垂線(xiàn)上泄任一點(diǎn)到垂寺足間的線(xiàn)段輛，叫作這點(diǎn)懶到這個(gè)平面口的垂線(xiàn)段．陡垂線(xiàn)段的長(zhǎng)旁度叫作這個(gè)刷點(diǎn)到平面的粘距離．貫2.如圖遷18-2，構(gòu)直線(xiàn)l晌⊥爛平面α，直敗線(xiàn)m綿α，問(wèn)l與止m的關(guān)系怎祥樣．鳳學(xué)生討論后胃，得出結(jié)論造：如果一條褲直線(xiàn)垂直于反一個(gè)平面，像那么它就和飾平面內(nèi)的任鉛意一條直線(xiàn)盼垂直．霞3.怎么亞畫(huà)直線(xiàn)與平熟面垂直？蜘學(xué)生討論后耕，教師總結(jié)匠：畫(huà)直線(xiàn)和此平面垂直時(shí)我，通常要把隊(duì)直線(xiàn)畫(huà)成和刪表示平面的這平行四邊形勤的一邊垂直駛，如圖18棄-2．率4.如何也判斷直線(xiàn)與全平面垂直？擴(kuò)教師引導(dǎo)：蛇根據(jù)定義判狹定直線(xiàn)與平破面垂直是困腸難的，如何晚用盡可能少輪的線(xiàn)線(xiàn)垂直嫁來(lái)判定線(xiàn)面伶垂直呢？構(gòu)學(xué)生討論后袖，教師總結(jié)羅．晌（1）因?yàn)槟w兩條相交直矛線(xiàn)確定一平沾面，所以只他要直線(xiàn)和平狐面內(nèi)的兩條演相交直線(xiàn)垂騰直，就可以攔判定直線(xiàn)和席平面垂直．匙（2）兩條惡平行直線(xiàn)也妖確定一平面鑒，直線(xiàn)和這卻兩條平行直教線(xiàn)垂直，不縫能判定直線(xiàn)層就和平面垂之直（教師作田演示說(shuō)明）宮．于是，歸秀納出直線(xiàn)和央平面垂直的謹(jǐn)判定定理．復(fù)定理如果驅(qū)一條直線(xiàn)與捉平面內(nèi)的兩趴條相交直線(xiàn)染垂直，則這梅條直線(xiàn)與這奮個(gè)平面垂直芝．曾推論如果危在兩條平行異直線(xiàn)中，有聽(tīng)一條垂直于膊平面，那么屆另一條直線(xiàn)旗也垂直于這稱(chēng)個(gè)平面．災(zāi)如圖18-等3，如果直唐線(xiàn)l睛∥劑m從，l程⊥興平面α，則渠l垂直于平若面α內(nèi)任意殃兩條相交直城線(xiàn)，如a，繡b．根據(jù)空壩間兩直線(xiàn)垂注直的定義，段易知m脈⊥夠a巷，m佛⊥土b害，所以m賢⊥滔α績(jī)．式讓學(xué)生總結(jié)拖：判定直線(xiàn)覽與平面垂直瀉的方法．替（1）定年義．盜（2）判定匯定理．耐（3）推搏論．伙4.在平辯面幾何中，五同垂直于一顏條直線(xiàn)的兩韻條直線(xiàn)平行槐，那么，在雪空間幾何中顆，又有什么醋類(lèi)似的結(jié)論劈呢？芒學(xué)生討論后貧，得出結(jié)論予：同垂直于州一個(gè)平面的斥兩條直線(xiàn)平戰(zhàn)行．于是有負(fù)直線(xiàn)和平面牌垂直的性質(zhì)他．逐定理如果制兩條直線(xiàn)垂覺(jué)直于同一個(gè)作平面，那么躲這兩條直線(xiàn)紹平行．段已知：如圖贈(zèng)18-4，魯直線(xiàn)l螞⊥妙平面α，直餡線(xiàn)m昌⊥氧平面α，垂權(quán)足分別為A最，B．撞求證：l鐘∥番m質(zhì)．支證明：假設(shè)攝直線(xiàn)ｍ不與社直線(xiàn)l平行套．過(guò)直線(xiàn)m她與平面α的燒交點(diǎn)B，作寬直線(xiàn)m′強(qiáng)∥艱l豈，促由直線(xiàn)與平三面垂直的判似定定理的推腹論可知，m曉′仍⊥大α默．設(shè)ｍ和m玻′確定的平損面為β，α羅與β的交線(xiàn)移為ａ，因?yàn)轭嵵本€(xiàn)m和m陰′都垂直于蹦平面α，所租以直線(xiàn)m和鵲m′員都垂直于交諒線(xiàn)ａ．因?yàn)闀吃谕黄矫婵顑?nèi)，通過(guò)直去線(xiàn)上一點(diǎn)并訓(xùn)與已知直線(xiàn)嬌垂直的直線(xiàn)澤有且僅有一唯條，所以直挽線(xiàn)m和m′話(huà)必重合，即缺l償∥匙m糊．桐三、解釋?xiě)?yīng)狀用［例題］膚1.過(guò)一置點(diǎn)和已知平彼面垂直的直余線(xiàn)只有一條膛．已知：平棕面α和一點(diǎn)盲P（如圖1淺8-5）．督求證：過(guò)點(diǎn)樣P與α垂直太的直線(xiàn)只有服一條．尋證明：不論樂(lè)點(diǎn)P在α外慚或內(nèi)，設(shè)P池A遺⊥根α剪，垂足為A免（或P）．抖如果過(guò)點(diǎn)P這，除直線(xiàn)P擱A鑰⊥載α禮外，還有一周條直線(xiàn)PB姿⊥尼α洗，設(shè)PA，學(xué)PB確定的皺平面為β，棄且α∩β＝權(quán)ａ，于是在唉平面β內(nèi)過(guò)紛點(diǎn)P有兩條置直線(xiàn)PA，犯PB垂直于鴨交線(xiàn)ａ，這速是不可能的雅．所以過(guò)點(diǎn)泥P與α垂直沖的直線(xiàn)只有右一條．宇2.如圖糧18-6，尿有一根旗桿慈AB高綱8m猶，它的頂端跟Ａ掛著兩條挑長(zhǎng)娘10m酬的繩子．拉燥緊繩子，并辰把它的下端阻放在地面上煤的兩點(diǎn)C，棍D（和旗桿角腳不在同一廢條直線(xiàn)上）鬧．如果這兩育點(diǎn)都和旗桿恐腳B的距離饑是守6m碑，那么旗桿饅就和地面垂辱直，為什么怠？勝解：在給△萄ABC譯和亡△疏ABD瘡中，啄因?yàn)锳B＝稅8m該，BC＝B裳D＝祥6m咳，AC＝A仍D＝盒10m旗，顆所以AB孝2附＋BC狠2辣＝8致2律＋6顏2勢(shì)＝10便2俘＝AC仙2兆，箭AB言2嶄＋BD懸2半＝6脹2猛＋8晉2于＝10劈2腦＝AD萍2困．孩所以賴(lài)∠刻ABC遺＝鍋∠至ABD珠＝90°，擊即AB扎⊥窯BC階，AB逃⊥那BD莫．幟又知B，C宜，D三點(diǎn)不棗共線(xiàn)，趴所以AB門(mén)⊥沉平面BCD秀，即旗桿和次地面垂直．殖3.已知念：直線(xiàn)l巧⊥抽平面α，垂申足為A，直愉線(xiàn)AP需⊥梯l摸（如圖18非-7）．呢求證：AP拋在α內(nèi)．昌證明：設(shè)A朱P與l確定冷的平面為β隆．如果AP章不在α內(nèi)，代則可設(shè)α與駁β相交于直脹線(xiàn)AM，州因?yàn)閘渣⊥皇α涂，AM謠α，所以l汁⊥聰AM蹈．又已知A胡P送⊥著l慰，于是在平脅面β內(nèi)，過(guò)尤點(diǎn)Ａ有兩條夸直線(xiàn)垂直于起l．這是不曾可能的，所簽以AP一定讓在α內(nèi)．［練習(xí)］燙1.已知夸：如圖18鏡-8，在平肅面α內(nèi)有爹ABCD，招O是它對(duì)角比線(xiàn)的交點(diǎn)，向點(diǎn)P在α外盾，且PA＝次PC，PB久＝PD．求隸證：PO滅⊥曠α繳．藍(lán)2.已知招：空間四邊到形ABCD萄中，AB＝鵝AC，DB棚＝DC，求耳證：BC王⊥砍AD稈．眾3.已知用兩個(gè)平行平舞面中，有一束個(gè)平面與一幫條已知直線(xiàn)殘垂直，問(wèn)：間另一平面與治已知直線(xiàn)的村位置關(guān)系怎林樣？比四、拓展延民伸魂1.如圖虹18-9所頭示，在空間遼，如果直線(xiàn)旁ｍ，ｎ都是暢線(xiàn)段AA′榆的垂直平分狼線(xiàn)，設(shè)ｍ，兔ｎ確定的平艇面為α，證厚明：宏（1）在平佩面α內(nèi)，通公過(guò)線(xiàn)段AA僑′中點(diǎn)B的留所有直線(xiàn)都彼是線(xiàn)段AA痕′的垂直平宏分線(xiàn)．播（2）線(xiàn)段能AA′的任耕一條垂直平滲分線(xiàn)都在α意內(nèi)．搞2.如圖謀18-10走（1），如啦果平面α通杯過(guò)線(xiàn)段AA趣′的中點(diǎn)O年，且垂直于庸直線(xiàn)AA′如，那么平面干α叫作線(xiàn)段槍AA′的垂祖直平分面（熟或中垂面）鑼?zhuān)⒎Q(chēng)點(diǎn)A段，A′關(guān)于狗平面α成鏡腥面對(duì)稱(chēng)，平班面α叫作A錘，A′的對(duì)們稱(chēng)平面．澡如圖18-室10（2）括，如果一個(gè)蟲(chóng)圖形Ｆ內(nèi)的源所有點(diǎn)關(guān)于悶平面α的對(duì)壩稱(chēng)點(diǎn)構(gòu)成幾遣何圖形F′偶，則稱(chēng)F，跟F′關(guān)于平蓬面α成鏡面帽對(duì)稱(chēng)．F到叨F′的圖形退變換稱(chēng)為鏡吉面對(duì)稱(chēng)變換金．底如果一個(gè)圖漁形Ｆ通過(guò)鏡籌面對(duì)稱(chēng)變換柴后的圖形仍鈴是它自身，您則這個(gè)圖形寄被稱(chēng)為鏡面輩對(duì)稱(chēng)圖形．韻根據(jù)以上定效義，探索與終研究以下問(wèn)征題：守（1）線(xiàn)段踢的中垂面有駕哪些性質(zhì)？慰（2）你學(xué)素過(guò)