函數(shù)的定義及表示方法知識點+例題+習(xí)題精編版

［函數(shù)］一、函數(shù)的定義及表示方法1.函數(shù)的概念(1)定義：設(shè)A,B是非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系工使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(%)和它對應(yīng)，那么就稱f:AfB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(%)，%gA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的歹值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(%)1%gA)叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.注意：①給x一個值，只能得出一個乃如y=%A=B={1,2,3}，f(%)=A=B={1,2,3}，f(%)=2%-1例1 (2)A=B={%I%=-1}，f(%)=2%+1A={%10<%<1}，B={y15<y<8}，y=3%+5(4)A=N*，B=｛0,1,2｝，對應(yīng)法則了：“求除以3得的余數(shù)”解析：(1)當(dāng)%=3時，f(%)=2%-1=5定B，不是函數(shù)(2)%=-1時， f(%)=2%+1=-1gB，是函數(shù)(3)0<%<1，則U5<3%+5<8，是函數(shù)(4)正整數(shù)除以3余數(shù)無非是0,1,2，是函數(shù)②判斷一個圖像是否為函數(shù)圖像，即觀察直線%=a是否與圖像至多有一個交點;③函數(shù)三要素：定義域，值域，對應(yīng)關(guān)系.(2)函數(shù)的表示方法：下列對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的有.

［函數(shù)］答案：(2)(3)(4)7_rr11 - ~~~,、。 -二""~~~'""例2已知f(x)=-—,g(x)=x2—2，求f(5),f(a—1),g(3),f(g(4)).3-x—一 11 1 1解析：f(5)==—-=--,f(a—1)=----= ,g⑶=32—2=73-5 2 3-(a-1)4-a, ,1 1g(4)=42-2=14,f(g(4))=f(14)=3T14=-五.例3已知f(x+1)=x2+1,求f(3)的值.解析：令x+1=3，得x=2，則f(3)=f(2+1)=22+1=5.答案：5設(shè)M={x10<x<2},N={y10<y<2},給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是()解析：A中定義域不全，C中值域超出，D中有一個x對兩個歹的情況，B正確.答案：B2.函數(shù)相等如果兩個函數(shù)定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等.下列各組函數(shù)中，f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是()A.f(x)=x-1與g(x)=、；'x2-2x+1B.f(x)=x與g(x)=x2xC.f(xC.f(x)=x與g(x)=3x3D.f(x)= 與g(x)=x+2x-2解析：A中，g(x)=yx2-2x+1=v(x-1)2=1x-11,與f(x)對應(yīng)關(guān)系不同B中，g(x)定義域為{xIx豐0},f(x)定義域為R，定義域不同D中，f(x)定義域為{xIx豐2},g(x)定義域為R，定義域不同C中，g(x)可化簡為g(x)=x，與f(x)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同答案：C

[函數(shù)]3.區(qū)間的概念(1)一般區(qū)間的表示(a,b為實數(shù)，且a<b)定義名稱符號數(shù)軸表示{%Ia<%<b}閉區(qū)間[a,b]{%Ia<%<b}開區(qū)間(a,b){%Ia<%<b}左閉右開區(qū)間[a,b)a b{%Ia<%<b}左開右閉區(qū)間(a,b]ct b(2)特殊區(qū)間的表示定義R{%I%>a}{%I%>a}{%I%<b}{%I%<b}符號(-8,+8)[a,+8)(a,+8)(-8,b](-8,b)注意：函數(shù)的定義域和值域必須寫成集合或者區(qū)間的形式.把下列集合寫成區(qū)間的形式：例6(1){%I%>2或％<0} (2){x10<%<2} (3){xI%<0}答案：(1)(—肛0)U[2,+8) (2)(0,2] (3)(—叫0)4.分段函數(shù)定義：在y=f(%)的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù).12%+3,%g(-8,0)例如：f(%)=< .[2%2+1,%G[0,+8)注意：分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，在定義域內(nèi)不同的區(qū)間上有不同的對應(yīng)法則，值域是各段函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上函數(shù)取值集合的并集.已知f(%)=求f(0)已知f(%)=求f(0)，f(f(-1))的值.，2%2+1,%G[0,+8)

［函數(shù)］解析：f(0)=2x02+1=1(0符合第二段中x范圍)f(-1)=2x(-1)+3=1(-1符合第一段中x范圍)則f(f(-1))=f(1)=2+1=3(1符合第二段中x范圍).答案：f(0)=1 f(f(-1))=3k+2(%<-1)例8函數(shù)f(%)=1%2(-1<%<2)，若f(%)=3，則x的值為2% (%>2)解析：若%+2=3，則%=1，不符合%<-1，故舍去若%2=3，則%=±\；3，經(jīng)檢驗，%=<3符合題意_ , 3―― ，一，若2%=3，則%=—，不符合%>2，故舍去.2注意：對映射f:Af注意：對映射f:AfB而言，集合A和B可以是任何元素的集合，函數(shù)即為數(shù)的映射.［函數(shù)］［函數(shù)］練習(xí)題:設(shè)A={x10<%<2},B={y11<y<2}，下列圖形表示A到B的函數(shù)的圖像的是ACBD()ACBD()已知集合A={1,2,3},B={4,5,6},f:AtB為集合A到集合B的一個函數(shù)，那么該函數(shù)的值域C的不同情況有()種.6782767827已知f(A+1)=%2+1，求f(3)的值.若函數(shù)f(x)滿足f(x)—2f(2-x)=-x2+8x—8，貝Uf(1)=設(shè)集合A={x10<x<6},B={y10<y<2}，下列對應(yīng)關(guān)系中不是從集合A到集合B的函數(shù)的是()1y=-1y=-x31y=—x41y=-x5有以下判斷:(1)1,(x20)主一日了弗,, 有以下判斷:(1)1,(x20)主一日了弗,, C、表示同一函數(shù)；-1,(x<0)函數(shù)y=f(x)的圖像與直線x=1的交點最多有1個；f(x)=x2-2x+1與g(t)=12-21+1是同一函數(shù);1、、?若f(x)=1x-11-1xI,則f(f(-))=0.［函數(shù)］［函數(shù)］答案解析:解析：A和B值域超出，C中間有一對多，故都不符合題意.1答案：D解析：值域為B集合的非空子集，故個數(shù)為23-1=7種.2答案：B解析：令&+1=3，得x=4，則f(3)=42+1=17.3答案：174解析：令x=1,帶入等式得f(1)-2f(1)=-1+8-8，解得f(1)=1.… …1 _ _ —_ 解析：0<x<6，則0<—x<3，超出B集合范圍，故A不可以.5 2答案：A解析：(1)f(x)定義域為｛xIxw0｝,g(x)定義域為R，故不是同一函數(shù)(2)由函數(shù)定義可知正確(3)兩函數(shù)定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同，是同一函數(shù)(4)f(2)=0，貝Uf(f(2))=f(0)=1w0.答案：(2)(3)解析：(1)y=x0定義域為｛xIxw0｝,y=1定義域為R，故不是同一函數(shù)(2)兩者定義域不同，不是同一函數(shù)7 (3)兩函數(shù)定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同，是同一函數(shù)(4)y=(4)2定義域為｛xIx>0｝，兩者定義域不同.答案：能表示同一函數(shù)的為(3)解析：區(qū)間只能表示連續(xù)的數(shù)集，故只有⑤可以用區(qū)間表示.8答案：①②③④⑥9答案：(-鞏0)U(0,1］解析：f(2)解析：f(2)=22+2-2=4，貝Uf(-1-)=f(J)=1-(；)2=15. f(2) 4 4 16答案：A［函數(shù)］11解析：當(dāng)a>0時，f(a)=2a—2=2，解得a=2當(dāng)a<0時，f(a)=—a2+3=2，解得a=±1,又a<0，則a=-1綜上a=2或a=-1時都成立.答案：-1或212解析：去絕對值化為J=| ，( )，觀察可知D正確.［x-1,(%<0)答案：D13解析：根據(jù)映射的定義，集合A中的兀素對應(yīng)過去，有且只能有集合B中的兀素與之對應(yīng)，A和C選項中中出現(xiàn)了一對多的情況，B選項中有沒有對應(yīng)的情況，只有D符合定義.答案：D14解析：A中每個元素的對應(yīng)方式有3種，A中有5個元素根據(jù)分布計數(shù)原理，總映射數(shù)為3x3x3x3x3=243.答案：C劇學(xué)代子你想怎么學(xué).我教你呀-數(shù)學(xué)浪子整理制作，侵權(quán)必究例9作出函數(shù)y=1%-11的圖像.解