一輪復習配套講義：第4篇-第2講-平面向量基本定理及坐標表示

------------------------------------------------------------------------一輪復習配套講義：第4篇-第2講-平面向量基本定理及坐標表示第2講平面向量基本定理及坐標表示[最新考綱]1．了解平面向量的基本定理及其意義．2．掌握平面向量的正交分解及其坐標表示．3．會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算．4．理解用坐標表示的平面向量共線的條件.知識梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up12(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.辨析感悟1．對平面向量基本定理的理解(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底． ()(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.((3)(2013·廣東卷改編)已知a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有下列四個命題，請判斷它們的正誤：①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c. ()②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc；()③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μc；()④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc.()2．平面向量的坐標運算(4)(教材習題改編)已知點A(2,1)，B(－1,3)，則eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－3,2)．()(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2). ()(6)(2013·湘潭調(diào)研改編)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，則x的值為－4. ()[感悟·提升]1．向量坐標與點的坐標的區(qū)別在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量a＝eq\o(OA,\s\up12(→))＝(x，y)．當平面向量eq\o(OA,\s\up12(→))平行移動到eq\o(O1A1,\s\up12(→))時，向量不變即eq\o(O1A1,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＝(x，y)，但eq\o(O1A1,\s\up12(→))的起點O1和終點A1的坐標都發(fā)生了變化．2．兩個防范一是注意能作為基底的兩個向量必須是不共線的，如(1)．二是注意運用兩個向量a，b共線坐標表示的充要條件應(yīng)為x1y2－x2y1＝0，如(5).考點一平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知eq\o(AM,\s\up12(→))＝c，eq\o(AN,\s\up12(→))＝d，試用c，d表示eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→)).規(guī)律方法(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．【訓練1】在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點，若Aeq\o(B,\s\up12(→))＝λeq\o(AM,\s\up12(→))＋μeq\o(AN,\s\up12(→))，則λ＋μ＝()．A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)考點二平面向量的坐標運算【例2】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，eq\o(CA,\s\up12(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up12(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up12(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標及向量eq\o(MN,\s\up12(→))的坐標．規(guī)律方法向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的．若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及運算法則的正確使用．【訓練2】(1)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()．A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)(2)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(1,3)，則eq\o(BD,\s\up12(→))＝ ()．A．(－2，－4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(2,4)考點三平面向量共線的坐標表示【例3】平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k；(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d的坐標．審題路線(1)分別求出(a＋kc)與(2b－a)的坐標?利用向量平行的充要條件列方程?解關(guān)于k的方程；(2)設(shè)d的坐標?根據(jù)已知條件列出方程組?解方程組，得到d的坐標．規(guī)律方法a∥b的充要條件有兩種表達方式：(1)a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)；(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.兩種充要條件的表達形式不同．第(1)種是用線性關(guān)系的形式表示的，而且有前提條件b≠0，而第(2)種無b≠0限制．【訓練3】(1)(2014·衡水中學一檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C．1D．2(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為________．1．平面向量基本定理的本質(zhì)是運用向量加法的平行四邊形法則，將向量進行分解．2．向量的坐標表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標運算法則是運算的關(guān)鍵，通過坐標運算可將一些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理，從而向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問題．3．在向量的運算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運用．思想方法3——方程思想在平面向量線性運算中的應(yīng)用【典例】(2013·北京卷)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.[反思感悟](1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去．(2)利用向量共線建立方程組，用方程的思想求解．【自主體驗】1．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基底a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b.2．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(x,2)))，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x＝________.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2014·華東師大附中模擬)如圖，設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點，下列向量組：①eq\o(AD,\s\up12(→))與eq\o(AB,\s\up12(→))；②eq\o(DA,\s\up12(→))與eq\o(BC,\s\up12(→))；③eq\o(CA,\s\up12(→))與eq\o(DC,\s\up12(→))；④eq\o(OD,\s\up12(→))與eq\o(OB,\s\up12(→))，其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是()．A．①②B．③④C．①③D．①④2．(2014·揭陽二模)已知點A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若eq\o(AB,\s\up12(→))＝3a，則點B的坐標為()．A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)3.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，eq\o(OP,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))，且eq\o(BP,\s\up12(→))＝2eq\o(PA,\s\up12(→))，則()．A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)4．(2013·惠州模擬)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，則m＝()．A．2B．－2C．－3D．35．(2014·許昌模擬)在△ABC中，點P在BC上，且eq\o(BP,\s\up12(→))＝2Peq\o(C,\s\up12(→))，點Q是AC的中點，若eq\o(PA,\s\up12(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up12(→))＝(1,5)，則eq\o(BC,\s\up12(→))等于()．A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)二、填空題6．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為________．7．已知向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(0，－3)，eq\o(OC,\s\up12(→))＝(5－m，－3－m)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是________．8．(2013·江蘇卷)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up12(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up12(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up12(→))(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．三、解答題9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？10．已知點O為坐標原點，A(0,2)，B(4,6)，eq\o(OM,\s\up12(→))＝t1eq\o(OA,\s\up12(→))＋t2eq\o(AB,\s\up12(→)).(1)求點M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點都共線．能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1．(2013·保定模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為()．A．30°B．60°C．90°D．120°2.(2014·中山模擬)如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外一點D，若eq\o(OC,\s\up12(→))＝meq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(nOB,\s\up12(→))，則m＋n的取值