二重積分的計(jì)算

關(guān)于二重積分的計(jì)算第1頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分第2頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X–型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y–型區(qū)域,

則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計(jì)算簡便,先對x后對y積分,及直線則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)：設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時(shí),仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.

計(jì)算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月對應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓ρ=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)則特別,對機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.計(jì)算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對稱性可知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)闄C(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?

畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計(jì)算要簡便：積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性及其他性質(zhì)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月思考與練習(xí)1.設(shè)且求提示:交換積分順序后,x,y互換機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁，課件共22頁，創(chuàng)作