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文檔簡(jiǎn)介
學(xué)習(xí)目的:
1.理解向量、零向量、單位向量、向量的模的意義;
2.理解向量的幾何表示,會(huì)用字母表示向量;
3.了解平行向量、共線向量和相等向量的意義,并會(huì)判斷向量間平行(共線)、相等的關(guān)系;
4.通過(guò)對(duì)向量的學(xué)習(xí),使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的向量和數(shù)量有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí),培養(yǎng)學(xué)生的唯物辯證思想和分析辨別能力.
5.掌握向量的加法的定義,會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量;
6.掌握向量加法的交換律和結(jié)合律,并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算;
7.明確相反向量的意義,掌握向量的減法,會(huì)作兩個(gè)向量的差向量;
8.在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算,將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合,并能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明;
9.通過(guò)闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算及多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量的加法運(yùn)算,可以滲透化歸的數(shù)學(xué)思想,使學(xué)生理解事物之間相互轉(zhuǎn)化,相互聯(lián)系的辨證思想,同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律,從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系,提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).學(xué)習(xí)內(nèi)容:
向量這部分知識(shí)是新內(nèi)容,但我們已經(jīng)接觸過(guò)了.同學(xué)們?cè)谖锢淼恼n程學(xué)習(xí)過(guò)矢量的概念,它與我們要學(xué)的向量是一致的(知識(shí)是相通的),即使在數(shù)學(xué)中,前一段我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)線時(shí)講過(guò)有向線段,實(shí)際上向量就是用有向線段表示的.學(xué)習(xí)難點(diǎn):
向量的加法運(yùn)算
一、向量的概念
向量:既有大小又有方向的量.通常用有向線段表示,其中A為起點(diǎn),B為終點(diǎn),顯然表示不同的向量;有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,用||表示,顯然,既有向線段的起、終點(diǎn)決定向量的方向,有向線段的長(zhǎng)度決定向量的大小.
注意:向量的長(zhǎng)度||又稱為向量的模;長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,規(guī)定零向量與任一向量平行.平行向量可通過(guò)平移到同一條直線上,因此平行向量也叫共線向量.
長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等,任意兩個(gè)相等的非零向量可經(jīng)過(guò)平移的過(guò)程重合在一起,既可用一個(gè)有向線段表示,而與起點(diǎn)無(wú)關(guān).
二、向量的加法
1.向量加法的平行四邊形法則平行四邊形ABCD中,向量的和為.記作:.
2.向量加法的三角形法則
根據(jù)向量相等的定義有:,既在ΔADC中,,首尾相連的兩個(gè)向量的和是以第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn).
規(guī)定:零向量與向量的和等于.
解:
如圖2所示,首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作向量,再作向量,則得向量,然后作向量,則向量即為所求.
[例2]化簡(jiǎn)下列各式
(1);
(2).
分析:
化簡(jiǎn)含有向量的關(guān)系式一般有兩種方法①是利用幾何方法通過(guò)作圖實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn);②是利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序,有時(shí)也需將一個(gè)向量拆分成兩個(gè)或多個(gè)向量.
解:
(1)原式=
(2)原式=.
[例3]用向量方法證明:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
分析:
要證明四邊形是平行四邊形只要證明某一組對(duì)邊平行且相等.由相等向量的意義可知,只需證明其一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)的向量是相等向量.(需首先將命題改造為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言)
已知:如圖3,ABCD是四邊形,對(duì)角線AC與BD交于O,且AO=OC,DO=OB.
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
證明:由已知得,
,且A,D,B,C不在同一直線上,故四邊形ABCD是平行四邊形.第三階梯
例1.下列命題:
(1)單位向量都相等;
(2)若,則;
(3)若ABCD為平行四邊形,則;
(4)若,則.
其中真命題的個(gè)數(shù)是()
A、0B、1C、2D、3
解:(1)不正確.單位向量的長(zhǎng)度相等,但方向不一定相同;(2)不正確.可能在同一條直線上;(3)不正確.平行四邊形ABCD中,;(4)正確.滿足等量的傳遞性.選B.
例2.若O為正三角形ABC的中心,則向量是().
A、有相同起點(diǎn)的向量B、平行向量C、模相等的向量D、相等的向量
解:的起點(diǎn)不同,不平行也不相等.由正三角形的性質(zhì):.選C.
例3.某人向東走3km,又向北走3km,求此人所走路程和位移.
解:此人所走路程:|AB|+|BC|=6km.此人的位移:
例4.求證對(duì)角線互相平分的平面四邊形是平行四邊形.
已知:,求證:ABCD為平行四邊形.
證明:由加法法則:,
∵,∴,即線段AB與DC平行且相等,
∴ABCD為平行四邊形.
例5.非零向量中,試比較的大小.
解:(1)共線時(shí),
①時(shí),
②時(shí),.
(2)不共線時(shí),,
,
∵
即,
綜上:∴
課外練習(xí):
1.若兩個(gè)向量不相等,則這兩個(gè)向量().
A、不共線B、長(zhǎng)度不相等
C、不可能均為單位向量D、不可能均為零向量
2.四邊形RSPQ為菱形,則下列可用一條有向線段表示的兩個(gè)向量是().
A、B、
C、D、
3.“兩個(gè)向量共線”是“這兩個(gè)向量相等”的().
A、充分不必要條件B、必要不充分條件
C、充要條件D、既不充分也不必要條件
4.O是四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),若,則四邊形ABCD是().
A、等腰梯形B、平行四邊形C、菱形D、矩形
5.若O是ΔABC內(nèi)一點(diǎn),,則O是ΔABC的().
A、內(nèi)心B、外心C、垂心D、重心
6.ΔABC中,=().
A、B、C、D、
7.平行四邊形ABCD中,E、F為AB,CD中點(diǎn),圖中7個(gè)向量中,與相等的向量是________;與相等的向量是______;與平行的向量是_______;與平行的向量是_____.
8.已知:首尾相接的四個(gè)向量.
求證:.S
參考答案:
1.D2.B3.B4.B5.D6.B
7.
8.證明:∵,
,
∴.測(cè)試選擇題
1.已知向量a=(3,m)的長(zhǎng)度是5,則m的值為().
A、4B、-4C、±4D、16
2.下面有四個(gè)命題:(1)向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等.(2)任何一個(gè)非零向量都可以平行移動(dòng).(3)所有的單位向量都相等.(4)兩個(gè)有共同起點(diǎn)的相等向量,其終點(diǎn)必相同.其中真命題的個(gè)數(shù)是().
A、4B、3C、2D、1
3.在下列命題中,正確的是().
A、若||>||,則>B、||=||,則=
C、若=,則與共線D、若≠,則一定不與共線
4.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是().
A、零向量是沒(méi)有方向的B、零向量的長(zhǎng)度為0
C、零向量與任一向量平行D、零向量的方向是任意的
5.如圖,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,則和相等的向量的個(gè)數(shù)是().
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)答案與解析答案:1、C2、B3、C4、A5、B
解析:
1.答案:C.因?yàn)閨a|所以
2.答案:B.(1)對(duì).因?yàn)榕c是指同一條線段,因此長(zhǎng)度相等.
(2)對(duì).這是由相等向量推導(dǎo)出的結(jié)論.(3)錯(cuò).因?yàn)閱挝幌蛄恐灰竽iL(zhǎng)等于1,方向不作要求,因此不一定相等.(4)對(duì).因?yàn)橄嗟认蛄靠梢越?jīng)過(guò)平移至完全重合.解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).
3.答案:C.A錯(cuò).因?yàn)橄蛄坑写笮『头较騼蓚€(gè)要素.無(wú)法比較大?。瓸錯(cuò).相等向量不僅要模長(zhǎng)相等,方向也要相同.C對(duì).相等向量方向一定相同,因此共線.D錯(cuò).因?yàn)橄蛄坎幌嗟龋赡軆H由于模長(zhǎng)不等,方向仍可能是相同的,所以與有共線的可能.
4.答案:A.零向量是規(guī)定了模長(zhǎng)為0的向量.零向量的方向沒(méi)有規(guī)定,是任意的,可以看作和任一向量共線.零向量絕不是沒(méi)有方向.
5.答案:B.根據(jù)向量相等的條件.
向量重點(diǎn)難點(diǎn)
了解向量可以根據(jù)需要自由平移的特點(diǎn)是今后運(yùn)用向量方法解決問(wèn)題的前提條件之一,也因此,平行向量也叫共線向量.要根據(jù)向量的有關(guān)概念從圖形中找出相等的向量和共線的向量.因此,要加強(qiáng)訓(xùn)練觀察一些常見(jiàn)圖形.
以下三個(gè)問(wèn)題上常出現(xiàn)錯(cuò)誤:一是用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的字母表示向量時(shí),一定注意搞清字母順序,起點(diǎn)在前,終點(diǎn)在后,例如與是大小相同,方向相反的兩個(gè)向量,二是零向量的方向是任意的,而不是沒(méi)有方向,因此有關(guān)零向量的方向問(wèn)題一般要注意規(guī)定,例如命題:與共線,與共線,與共線,是錯(cuò)誤的,因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾模逝c的方向沒(méi)有任何關(guān)系,因此也無(wú)法判斷是否共線,三是注意區(qū)別平行向量與平面幾何中直線平行的概念,前者相當(dāng)于兩直線位置關(guān)系中的平行和重合兩種情況,例如錯(cuò)誤地認(rèn)為平行向量不可能是共線向量,其實(shí)這兩個(gè)概念是同一個(gè)概念.
典型題目
例1下列說(shuō)法中正確的是().
A.向量與向量共線,向量與向量共線,則向量與向量共線
B、任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)
C、向量與不共線,則與所在直線的夾角為銳角
D、始點(diǎn)相同的兩個(gè)非零向量不平行
答案:A
點(diǎn)評(píng):向量共線即方向相同或相反,故非零向量間的共線關(guān)系是可以傳遞的.共線向量等同于平行向量,既可平行也可在同一直線上.而相等向量是共線的,故B中四點(diǎn)可能在同一直線上,向量不共線,僅指其所在直線不平行或不重合,夾角可能是直角,而選項(xiàng)D中向量是否共線與始點(diǎn)位置無(wú)關(guān).
例2“兩個(gè)向量共線”是“這兩個(gè)向量方向相反”的()條件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
答案:B
點(diǎn)評(píng):向量共線即向量方向相同或相反,故后者推出前者,而反之不成立.
例3下面有四個(gè)命題:(1)向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù).(2)兩個(gè)向量平行是兩個(gè)向量相等的必要條件.(3)若兩個(gè)單位向量互相平行,則這兩個(gè)單位向量相等.(4)溫度含有零上溫度和零下溫度,所以溫度是向量,其中真命題的個(gè)數(shù)為().
A.0B.1C.2D.3
答案:B
點(diǎn)評(píng):只有(2)是正確的,因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行只是指這兩個(gè)向量在方向上是相同或相反的.方向相反則不可能是相等向量.即使方向相同,對(duì)于大小也沒(méi)有要求,依然無(wú)法判定兩個(gè)向量是否相等.而兩個(gè)相等向量的方向一定相同,必是平行向量.(1)錯(cuò)在向量的模是表示向量的有向線段的長(zhǎng)度,零向量的模為零.因此向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù).(3)錯(cuò)在兩個(gè)單位向量互相平行,方向可能相同也可能相反,因此這兩個(gè)向量不一定相等.(4)錯(cuò)在溫度的零上零下也只是表示數(shù)量.向量既要有大小又要有方向.常見(jiàn)的向量有力、速度、位移、加速度等.正確解答本題的關(guān)鍵是把握住向量的兩個(gè)要素,并從這兩個(gè)要素人手區(qū)分其它有關(guān)概念.
例4一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100公里到達(dá)B點(diǎn),然后又改變方向向西偏北50°走了200公里到達(dá)C點(diǎn),最后又改變方向,向東行駛了100公里到達(dá)D點(diǎn).(1)作出向量、(2)求||.
答案:(1)見(jiàn)圖.(2)由題意,易知方向相反,故與共線,又,
∴在四邊形ABCD中,ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形,∴,
∴=200公里.
點(diǎn)評(píng):準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).
例5一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)沿東北方向走了100米到達(dá)B點(diǎn).后改變方向沿南偏東15°又走了100米到達(dá)C點(diǎn),求此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移.
解:如圖,根據(jù)題意知ΔABC為等邊三角形,故∠a=15°,||=100,∴此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移,大小為100米,方向?yàn)槲髌?5°.
檢測(cè)題
1.在下列各命題中,為真命題的有(
)
(1)物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量
(2)溫度有零上溫度和零下溫度.因此溫度也是向量
(3)方向?yàn)槟掀?0°的向量與方向?yàn)楸逼珫|60°的向量是共線向量
(4)坐標(biāo)平面上的x軸和y軸都是向量
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
2.已知a、b、c是三個(gè)非零向量,則|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要條件是(
)
A.a(chǎn)、b同方向
B.b、c同方向
C.a(chǎn)、c同方向
D.a(chǎn)、b、c同方向
3.下列命題中,正確的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.下列各命題中假命題的個(gè)數(shù)為(
)
①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等.
②向量與向量平行,則與的方向相同或相反.
③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量,其終點(diǎn)必相同.
④兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量,一定是共線向量.
⑤向量與向量是共線向量,則點(diǎn)、、、必在同一條直線上.
⑥有向線段就是向量,向量就是有向線段
A.2
B.3
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