江西省重點中學盟校高三第二次聯(lián)考數(shù)學（文）試題

2022屆江西省重點中學盟校高三第二次聯(lián)考數(shù)學（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別化簡集合，，再求二者的交集【詳解】所以函數(shù)要有意義，則，所以所以所以故選：C2．若復(fù)數(shù)，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】B【分析】首先化簡復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式，即可計算.【詳解】因為，所以.故選：B3．某工廠利用隨機數(shù)表對生產(chǎn)的50個零件進行抽樣測試，先將50個零件進行編號，編號分別為01，02，…，50，從中抽取5個樣本，下面提供隨機數(shù)表的第1行到第2行：若從表中第1行第9列開始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第4個樣本編號是（

）A．10 B．05 C．09 D．20【答案】C【分析】根據(jù)隨機數(shù)表法抽樣的定義進行抽取即可.【詳解】依題意，讀取的第一個數(shù)為14，向右每兩位讀取數(shù)據(jù)，依次為：64，05，71，11，05，65，09，其中64，71，65不在編號范圍內(nèi)，舍去，而后一個05與前一個05重復(fù)，應(yīng)舍去后一個05，讀取符合要求的兩位數(shù)據(jù)依次為：14，05，11，09，則09剛好是第四個符合要求的編號，所以得到的第4個樣本編號是09.故選：C4．已知命題，，命題，，則下列命題中為真命題的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦函數(shù)值域和可知均為真命題，由復(fù)合命題真假性判斷可得結(jié)論.【詳解】，，，命題為真，則為假；當時，，，，命題為真，則為假；為真，A正確；為假，B錯誤；為假，C錯誤；為假，D錯誤.故選：A.5．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，可判斷C,D的正誤；利用在之間的函數(shù)零點的個數(shù)即可判斷A,B的正誤.【詳解】設(shè)，則，故為奇函數(shù)，故C,D錯誤；而令時，在之間的函數(shù)零點有兩個，故B錯誤，故選：A6．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角公式，轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，直接計算即可.【詳解】故選：B.7．已知函數(shù)，，的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將，，的零點看成函數(shù)分別與，，的交點的橫坐標，分別畫出這些函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可求解.【詳解】由已知條件得的零點可以看成與的交點的橫坐標，的零點可以看成與的交點的橫坐標，的零點可以看成與的交點的橫坐標，在同一坐標系分別畫出，，，的函數(shù)圖象，如下圖所示,可知，故選：.8．設(shè)某圓錐的母線長和高分別為，，側(cè)面積和底面積分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先設(shè)出圓錐的底面圓半徑，然后分別表示出，，再結(jié)合，即可得解.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則，，∵，，.故選：A.9．翠浪塔，位于贛州市章江西岸楊梅渡公園山頂上，與贛州古城的風水塔——玉虹塔相呼應(yīng)．塔名源于北宋大文豪蘇東坡吟詠贛州的詩句“山為翠浪涌，水作玉虹流”，該塔規(guī)劃設(shè)計為仿宋塔建筑風格，塔體八面．一研學小組在李老師的帶領(lǐng)下到該塔參觀，這時李老師（身高約1.7米）站在一個地方（腳底與塔底在同一平面）面朝塔頂，仰角約為45；當他水平后退50米后再次觀測塔頂，仰角約為30，據(jù)此李老師問：同學們，翠浪塔高度大約為（

）米？（參考數(shù)據(jù)：）A．68 B．70 C．72 D．74【答案】B【分析】利用直角三角形中的邊角關(guān)系，即可求得.【詳解】如圖所示，OP為塔體，AC,BD為李老師觀察塔頂時的站位，Q為A,B在OP上的射影，由已知得為直角三角形，，，(米)，(米),設(shè)PQ=x，則,.∴，∴,∴塔高(米),故選：B10．已知函數(shù)，記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)和奇偶性定義可知為上的增函數(shù)和奇函數(shù)，由此可知，利用等差數(shù)列下標和性質(zhì)和求和公式可求得結(jié)果.【詳解】，為上的增函數(shù)；，為上的奇函數(shù)；又，，即，.故選：D.11．已知橢圓的左、右焦點分別為，長軸，短軸，動點滿足，若面積的最大值為，面積的最小值為，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)可求得點軌跡為以為圓心，為半徑的圓，由此可得，，根據(jù)和面積最值可構(gòu)造方程求得，由離心率可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，，，，設(shè)，則，整理可得：，即點軌跡是以為圓心，為半徑的圓，，，，，即，，，離心率.故選：C.12．已知實數(shù)x，y滿足且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分離同構(gòu)，得到，設(shè),則上式表明,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合由已知條件得到的和的取值范圍，得到,進而，然后將表示為的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.【詳解】∵，∴，∴，即，設(shè),則上式表明,求導(dǎo)得，當時，,單調(diào)遞減，由于，∴，∴，∴,∴，∴,令,,當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，∴,故選：D.【點睛】本題關(guān)鍵難點在于將已知條件整理得到兩邊同構(gòu)的形式，構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)值與自變量的一一對應(yīng)關(guān)系得到.二、填空題13．已知向量，，則______.【答案】5【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標表示即可求解.【詳解】解：因為向量，，所以，所以，故答案為：5.14．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為____________．【答案】【分析】先畫出可行區(qū)域，平行移動目標函數(shù)求出最小值，即可確定的取值范圍.【詳解】若恒成立，則，如圖直線過點時，有最小值1，故.故答案為：.15．如圖是函數(shù)的部分圖像，，且對不同的，若，有，則____________．【答案】【分析】由題意及函數(shù)的圖象，得到且時函數(shù)的一條對稱軸，求得，結(jié)合，得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，且，可知關(guān)于函數(shù)的對稱軸對稱，即時函數(shù)的其中一條對稱軸，所以，即，即，結(jié)合圖象，可得，即，因為，即，即，又因為，所以.故答案為：.16．已知三棱錐中，，，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為____________．【答案】【分析】將四面體補為長方體，求出長方體棱長進而求出四面體的體積，利用等體積法求出三棱錐的內(nèi)切球的半徑，結(jié)合球的表面積公式計算即可．【詳解】如圖，在長方體中，設(shè)，則，所以，故四面體的體積，四面體的表面積，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，由等體積可得，解得，所以三棱錐內(nèi)切球的表面積為.故答案為：.三、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，從條件①：，條件②：，條件③：這三個條件中選擇一個作為已知條件．(1)求角A；(2)若，求a的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)所選條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角函數(shù)恒等變形公式即可求得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用向量的數(shù)量積的定義得到，進而結(jié)合余弦定理和基本不等式求得的最小值.【詳解】(1)若選條件①，由正弦定理得，，，，又，，，；若選條件②，中，，由正弦定理知，，，，，因為，又，；若選條件③，由，得，，所以，，，，，，，，．(2)由（1）及得，所以，當且僅當時取等號，所以a的最小值為．18．如圖，已知三棱錐中，，，為中點，為中點，且為正三角形．（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】試題分析：（1）根據(jù)為等邊三角形和為中點得到，而為的中位線，故而，所以，結(jié)合得到平面，故，而，所以平面．（2）棱錐的體積可以轉(zhuǎn)化為棱錐的體積，由（1）可以得到到平面的距離為且，而為等腰三角形且，從而到邊的距離為，故可以的面積，從而利用棱錐的體積公式計算即可．解析：（1）證明：因為為正三角形，且為中點，所以，又為的中點，為中點，所以．故，又，，故平面，平面，所以．又因為，，所以平面．（2）解：由題設(shè)有，，，在直角三角形中，為斜邊的中點，故，在直角三角形中，，又三角形為等腰三角形，腰長，底邊，所以邊上的高為，所以．(1)從前個月的收入中隨機抽取個，求恰有個月的收入超過百萬元的概率；(2)根據(jù)散點圖判斷：與（均為常數(shù)）哪一個更適宜作為業(yè)務(wù)收入關(guān)于月份的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(3)根據(jù)（2）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程．（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）參考數(shù)據(jù)：其中，設(shè)，．參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】(1)(2)選擇更適宜(3)【分析】（1）由表格數(shù)據(jù)可確定月收入超過百萬元的有個月，結(jié)合排列數(shù)和古典概型概率公式可求得結(jié)果；（2）由散點圖可確定回歸模型；（3）化簡回歸方程為，采用最小二乘估計可求得，由此可得回歸方程.【詳解】(1)由表格數(shù)據(jù)可知：前個月的月收入超過百萬元的有個月，所求概率.(2)由散點圖可知：選擇更適宜.(3)由得：，即，，，，關(guān)于的回歸方程為：.20．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對，都有，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為(2)【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再次利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可得出結(jié)果；(2)將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)的單調(diào)性，求出即可.【詳解】(1)法一：由，知，當時，，，則，當時，，，則，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，法二：由，知，令，則，在上單調(diào)遞增，，當時，；當時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)不等式等價于，令，則，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最小值，，故實數(shù)a的取值范圍是.21．已知曲線C上任意一點到點的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2，過點的直線l與曲線C交于A，B兩點．(1)求曲線C的方程；(2)若曲線C在A，B處的切線交于點M，求面積的最小值．【答案】(1)或(2)16【分析】（1）設(shè)曲線C上任意一點P的坐標為，根據(jù)題意得到，然后分類化簡；（2）由題意設(shè)l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，弦長公式求得，設(shè)切線MA的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式等于零求得，得到切線MA的方程為，同理寫出切線MB的方程，解方程組求得的坐標，進而求得點M到直線l的距離，得到，求得其最小值.【詳解】(1)設(shè)曲線C上任意一點P的坐標為，則有：，當時，有；當時，有，所以曲線的方程為或．(2)由題意設(shè)l的方程為，，，由，，，，，設(shè)切線MA的方程為，由，，切線MA的方程為，化簡得：，①同理可得切線MB的方程為，②（注意：直接寫出切線MA的方程扣2分?。┯散佗诘命cM的坐標為，點M到直線l的距離，，當且僅當時等號成立，故面積的最小值為16．22．在直角坐標系xOy中，直線l的方程是，圓C的方程為，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求直線l和圓C的極坐標方程；(2)射線OM：(其中)與圓C交于O，P兩點，將射線OM逆時針旋轉(zhuǎn)與直線l交于點Q，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)(0，]【分析】（1）利用極坐標與直角坐標的互化公式求解即可，（2）由題意利用極坐標求出，則可求出，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求出其范圍【詳解】(1)直線l的極坐標方程分別是，由，得，則所以圓C的極坐標方程分別是(2)由題意得，所以，因為