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2022屆河南省商丘一中(商丘市)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題一、單選題1.已知集合,則(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用集合的并集運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)椋?,所以.故選:D.2.已知,則(
)A.1 B. C.2 D.【答案】B【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可【詳解】,所以.故選:B3.已知且,則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷【詳解】由“”可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,充分性成立;因?yàn)椋援?dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),則,必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A4.已知,則(
)A.3 B. C. D.-3【答案】C【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)即可【詳解】.故選:C5.函數(shù)的部分圖象大致是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)即得.【詳解】易知的定義域?yàn)?,因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù),排除答案B,D;又,排除選項(xiàng)C.故選:A.6.2021年10月26日國(guó)務(wù)院印發(fā)《2030年前碳達(dá)峰行動(dòng)方案》,要求我國(guó)二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值.低碳生活已經(jīng)深入民心,新能源汽車(chē)備受歡迎,下表是某地區(qū)近5個(gè)月新能源汽車(chē)的銷(xiāo)售量與月份統(tǒng)計(jì)表:月份代號(hào)12345銷(xiāo)售量(萬(wàn)輛)若根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得的與的線(xiàn)性回歸方程為,則利用此回歸方程預(yù)測(cè)第6個(gè)月新能源汽車(chē)的銷(xiāo)售量為(
【答案】B【分析】分別求得,根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸方程上計(jì)算可得,再代入計(jì)算即可【詳解】,,因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn),所以,解得,所以,將代入,得(萬(wàn)輛).故選:B.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出S的值為(
)A.146 B.156 C.169 D.176【答案】C【分析】依據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)逐次去求解即可求得輸出的值【詳解】根據(jù)程序框圖,,,執(zhí)行第1次循環(huán):,;,執(zhí)行第2次循環(huán):,;,執(zhí)行第3次循環(huán):,;,結(jié)束循環(huán),輸出.故選:C.8.如圖,在正六邊形中,若,為的中點(diǎn),則(
)A.7 B.5 C.3 D.1【答案】B【分析】由,再延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)H,得到各所求向量間的夾角再求解即可【詳解】如圖,延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)H,則,,所以.故選:B.9.已知曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)在軸上的截距為2,則這條切線(xiàn)的方程為(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線(xiàn)方程,將點(diǎn)代入求出的值,進(jìn)而得切線(xiàn)方程.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,因?yàn)?,則切線(xiàn)斜率為,所以切線(xiàn)方程為,將點(diǎn)代入切線(xiàn)方程并整理得,解得,或(舍去),所以這條切線(xiàn)的方程為,即.故選:D.10.在正四面體中,為的中點(diǎn),則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,取的中點(diǎn),連接、,分析可知或其補(bǔ)角為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角,計(jì)算出三邊邊長(zhǎng),利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】如圖,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,取的中點(diǎn),連接、,因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn),則且,所以或其補(bǔ)角為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角,因?yàn)闉榈冗吶切?,為的中點(diǎn),則,且,同理可得,所以.故選:A.11.已知雙曲線(xiàn):經(jīng)過(guò)點(diǎn),且的實(shí)軸長(zhǎng)大于,則的離心率的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】先將點(diǎn)點(diǎn)代入雙曲線(xiàn)方程得到關(guān)于的一個(gè)方程,然后再根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)大于列出關(guān)于的不等式即可得出答案【詳解】由題意可知,,所以,又,所以,所以,解得故選:D12.已知函數(shù),若,在內(nèi)有最小值,沒(méi)有最大值,則的最大值為(
)A.19 B.13 C.10 D.7【答案】B【分析】由解得,再根據(jù)函數(shù)圖像以及周期性即得.【詳解】由,得,,解得,,由在內(nèi)有最小值,無(wú)最大值,可得,解得,所以的最大值為13.故選:B.二、填空題13.已知,滿(mǎn)足,則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【分析】依據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求的最大值【詳解】作出滿(mǎn)足條件的可行域如圖陰影部分所示,由,可得作出直線(xiàn)并平移,當(dāng)平移后的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí).取得最大值,且.故答案為:14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足以下條件的拋物線(xiàn)的方程為_(kāi)__________.①的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn);②的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸;③的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為【答案】(答案不唯一)【分析】待定系數(shù)法去求拋物線(xiàn)的方程【詳解】由①②可知的方程為拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,由③可知,,所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程可以為.故答案為:(答案不唯一)15.已知的內(nèi)角A,B,的對(duì)邊分別為a,b,c,,,則______________.【答案】【分析】利用正余弦定理即得.【詳解】由及正弦定理得,由,得,由,得,解得,又,所以,則,由余弦定理,得,整理得,解得或(舍去),故.故答案為:16.已知體積為的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓,則該圓錐的外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【分析】先求得圓錐的外接球的半徑,再去求該圓錐的外接球的表面積【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,母線(xiàn)長(zhǎng)為,由題意得,所以,則圓錐的高為,由,解得,則,,設(shè)圓錐的外接球的半徑為,由球的性質(zhì)可知,,即,解得,所以該圓錐的外接球的表面積為.故答案為:三、解答題17.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,,既成等差數(shù)列,又成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)通過(guò)題目所給條件列出關(guān)于的兩個(gè)方程,解出,即可寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)先寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再根據(jù)通項(xiàng)公式的特征進(jìn)行裂項(xiàng)相消求和【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?,,既成等差?shù)列,又成等比數(shù)列,所以,,均相等且不為0,所以即解之得,,滿(mǎn)足條件.故.(2)由(1)得,,所以.故18.大力開(kāi)展體育運(yùn)動(dòng),增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),是學(xué)校教育的重要目標(biāo)之一.某校組織全校學(xué)生進(jìn)行了立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練,為了解訓(xùn)練的效果,從該校男生中隨機(jī)抽出100人進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)達(dá)標(biāo)測(cè)試,成績(jī)(單位:米)均在內(nèi),整理數(shù)據(jù)得到如下頻率分布直方圖.學(xué)校規(guī)定男生立定跳遠(yuǎn)2.05米及以上為達(dá)標(biāo),否則不達(dá)標(biāo).(1)若男生立定跳遠(yuǎn)的達(dá)標(biāo)率低于60%,該校男生還需加強(qiáng)立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練.請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算,判斷該校男生是否還需加強(qiáng)立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練;(2)從該校隨機(jī)抽取的100名立定跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)的男生中,用分層抽樣的方法抽取7人,再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取2人,求這2人來(lái)自不同區(qū)間的概率.【答案】(1)該校男生還需加強(qiáng)立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練.(2)【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出男生立定跳遠(yuǎn)的達(dá)標(biāo)率,即可判斷;(2)依題意抽取的7人應(yīng)從立定跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)趦?nèi)的男生中抽取4人,分別記為,,,,成績(jī)?cè)趦?nèi)的男生中抽取3人,分別記為,,.用列舉法列出所有可能結(jié)果,再找出符合題意的基本事件,最后根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得;【詳解】(1)解:由頻率分布直方圖可知,男生立定跳遠(yuǎn)的達(dá)標(biāo)率為因?yàn)?,所以該校男生還需加強(qiáng)立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練.(2)解:由題意可知,抽取的7人應(yīng)從立定跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)趦?nèi)的男生中抽取人,分別記為,,,,成績(jī)?cè)趦?nèi)的男生中抽取人,分別記為,,.從這7人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21個(gè);其中這2人來(lái)自不同區(qū)間的有:,,,,,,,,,,,共12個(gè);故這2人來(lái)自不同區(qū)間的概率為.19.如圖,三棱柱的底面為等邊三角形,側(cè)面為菱形,,,.(1)證明:為直角三角形;(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)AD,,即可得到、,從而得到平面,即可得到,再根據(jù)棱柱的性質(zhì)得到,即可得證;(2)利用勾股定理逆定理得到,再由,即可得到平面,首先求出,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,利用等體積法求出點(diǎn)到面的距離;【詳解】(1)證明:取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)AD,.因?yàn)闉榈冗吶切?,所以.因?yàn)閭?cè)面為菱形,,所以為等邊三角形,所以,因?yàn)椋矫?,所以平面,又平面,所以,又,所以,故為直角三角形?2)解:由(1)及,可知,,則.在中,,同理,又,所以,所以.法1:又,,平面,所以平面.所以,則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,又,則,所以,故點(diǎn)到平面的距離為.法2:又,,平面,所以平面.即平面.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,因?yàn)?,且,,.所以,所以,故點(diǎn)到平面的距離為.20.在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),C,D分別為線(xiàn)段AM,BM的中點(diǎn),且直線(xiàn)OC,OD的斜率之積是,記M的軌跡為E.(1)求E的方程;(2)若過(guò)點(diǎn)且不與x軸重合的直線(xiàn)與E交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(與不重合),求證:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)由題意可知,再根據(jù)直線(xiàn)OC,OD的斜率之積是列出關(guān)于的另外一個(gè)方程,解出即可(2)法1:先設(shè)出直線(xiàn)的方程,聯(lián)立與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理得到,然后寫(xiě)出直線(xiàn)的方程,代入化簡(jiǎn)即可得到答案法2:寫(xiě)出直線(xiàn)的方程,令,然后再根據(jù)P、F、Q三點(diǎn)共線(xiàn)列出另外一個(gè)方程,化簡(jiǎn)即可【詳解】(1)由題意可知,直線(xiàn)OC,OD的斜率存在,且,.所以直線(xiàn)BM,AM的斜率之積也等于,設(shè),則直線(xiàn)的斜率為,直線(xiàn)的斜率為,所以,整理得,故的方程為(2)證法1:由題意知,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)PQ的斜率存在且不為0,可設(shè)其方程為,由整理得.則,設(shè),,則,,.直線(xiàn)方程為,令,則,故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).證法2:設(shè),,則,因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為,令,則.①因?yàn)镻、F、Q三點(diǎn)共線(xiàn),所以,整理得.②由①②,得,因此.所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).21.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析;(2)【分析】(1)利用的導(dǎo)數(shù)去討論的單調(diào)性;(2)構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)化成新函數(shù)最大值不大于0去求的取值范圍.【詳解】(1),若,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.若時(shí),,所以在上單調(diào)增;若,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí),恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí),恒成立,即當(dāng)時(shí),恒成立.設(shè),,則.設(shè),則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,若時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,則,解得.若時(shí),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則時(shí),,不合題意,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.在直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線(xiàn)與軸、軸的交點(diǎn)分別為,兩點(diǎn),為曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn),求的面積的最小值.【答案】(1)直線(xiàn)的普通方程;曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.(2).【分析】(1)直接消去參數(shù)得普通方程,利用互化公式得到曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)由題可設(shè),利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解可得.【詳解】(1)由直線(xiàn)的參數(shù)方程為消去參數(shù),得直線(xiàn)的普通方程;由得,則,所以曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)可知,,設(shè),則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,其中,當(dāng)時(shí),,又,所以的面積的最小值為.23.已知函數(shù),不
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