第六部分、數(shù)控車床編程中的數(shù)學(xué)處理

數(shù)控車床編程中的數(shù)學(xué)處理CNC第六部分第一頁，共三十四頁。5/11/20231CNC在數(shù)控加工及編程中很多時(shí)候圖樣上的尺寸基準(zhǔn)與編程所需的尺寸基準(zhǔn)不一致，甚至坐標(biāo)尺寸沒有直接給出，需要通過間接的計(jì)算才能得到。在數(shù)控編程加工的過程中，首先要計(jì)算出刀具運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)的坐標(biāo)。這種根據(jù)零件圖樣，按照已確定的加工路線和允許的編程誤差，計(jì)算數(shù)控系統(tǒng)所需輸入的數(shù)據(jù)，稱為數(shù)控加工的數(shù)值計(jì)算。數(shù)控加工與數(shù)控編程實(shí)質(zhì)上是曲線、曲面幾何學(xué)在機(jī)械制造業(yè)的應(yīng)用。數(shù)控加工中，有簡單曲線和曲面（如直線、圓弧及球面等）數(shù)學(xué)描述及處理；還有不能用二次方程描述的、形狀復(fù)雜的曲線或曲面→自由曲線或自由曲面。第二頁，共三十四頁。5/11/20232CNC1、節(jié)點(diǎn)、基點(diǎn)的概念與計(jì)算一、數(shù)值計(jì)算的內(nèi)容零件輪廓往往是由許多不同的幾何元素組成的，如直線、圓弧、二次曲線以及其他解析曲線等。構(gòu)成零件輪廓的這些不同幾何元素的鏈接點(diǎn)稱為基點(diǎn)。如下圖中的A、B、C、D、E、F、和G都是該零件輪廓上的基點(diǎn)，顯然，相鄰基點(diǎn)間只能是一個(gè)幾何元素。（1）基點(diǎn)的概念與計(jì)算第三頁，共三十四頁。5/11/20233CNC零件輪廓中的基點(diǎn)第四頁，共三十四頁。5/11/20234CNC輪廓的基點(diǎn)可以直接作為其運(yùn)動(dòng)軌跡的起點(diǎn)或終點(diǎn)。目前，一般的數(shù)控機(jī)床都具有至直線和圓弧插補(bǔ)功能，計(jì)算基點(diǎn)是，只需要計(jì)算軌跡的起點(diǎn)或者是終點(diǎn)在選定坐標(biāo)系中的個(gè)坐標(biāo)值和圓弧運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心坐標(biāo)值。因此基點(diǎn)的計(jì)算是比較方便的，常用手工計(jì)算。（2）節(jié)點(diǎn)的概念與計(jì)算

當(dāng)采用不具備非圓曲線插補(bǔ)功能的數(shù)控機(jī)床加工非圓曲線輪廓的零件時(shí)，在加工程序的編制工作中，常常需要用直線或圓弧去近似代替非圓曲線，稱為擬合處理。擬合線段的交點(diǎn)或切點(diǎn)就稱為節(jié)點(diǎn)。如下圖所示：P1、P2、P3、P4、P5等。第五頁，共三十四頁。5/11/20235CNC零件輪廓中的節(jié)點(diǎn)

對采用直線或圓弧擬合的非圓曲線進(jìn)行編程時(shí)，應(yīng)按節(jié)點(diǎn)劃分程序段。逼近線段的近似區(qū)間越大，測切點(diǎn)數(shù)目越少，相應(yīng)的逼近誤差也就越大。第六頁，共三十四頁。5/11/20236CNC2、刀位點(diǎn)軌跡的計(jì)算當(dāng)采用圓弧形車刀進(jìn)行加工時(shí)，因刀位點(diǎn)規(guī)定在刀尖圓弧中心處，因此大多數(shù)情況，刀具的刀位點(diǎn)軌跡與工件輪廓軌跡不重合，通常是沿輪廓偏移一個(gè)刀尖圓弧半徑值。刀尖半徑補(bǔ)償?shù)牡段稽c(diǎn)軌跡第七頁，共三十四頁。5/11/20237CNC二、數(shù)值計(jì)算舉例舉例1：如下圖所示，在進(jìn)行編制程序時(shí)，R10與R18相切，切點(diǎn)坐標(biāo)未知，R18與Φ73外圓相切，切點(diǎn)坐標(biāo)未知，需要進(jìn)行計(jì)算得出，負(fù)責(zé)程序無法編制。計(jì)算節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值第八頁，共三十四頁。5/11/20238CNC第九頁，共三十四頁。5/11/20239CNC第十頁，共三十四頁。5/11/202310CNC第十一頁，共三十四頁。5/11/202311CNC1、分析圖紙所表達(dá)的信息，根據(jù)已知條件，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。2、根據(jù)所建數(shù)學(xué)模型，與已知條件，求編程所需點(diǎn)的坐標(biāo)值。求解過程如下：AB=(73-62)/2=5.5O1A=O1B-AB=18-5.5=12.5O1O2已知，由勾股定理可得：O1O22=O1A2+O2A2，所以O(shè)2A=O1O2—圖片表示第十二頁，共三十四頁。5/11/202312CNC舉例二：車削如下圖所示的手柄，計(jì)算出編程所需數(shù)值。第十三頁，共三十四頁。5/11/202313CNC計(jì)算圓弧中心的方法第十四頁，共三十四頁。5/11/202314CNC2、分析：此零件有半徑為R3、R29、R45三個(gè)圓弧光滑連接而成。對圓弧工件編程時(shí)，必須求出以下三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值（X軸方向比Z軸方向高一個(gè)級別）：1）圓弧的起始點(diǎn)坐標(biāo)值：2）圓弧的結(jié)束點(diǎn)(目標(biāo)點(diǎn))坐標(biāo)：3）圓弧中心點(diǎn)的坐標(biāo)。3、計(jì)算方法如下：取編程零點(diǎn)為W1。第十五頁，共三十四頁。5/11/202315CNC在△O1EO2中，已知：O2E=29-9=20㎜O1O2=29-3=26㎜O1E=(O1O2)2-(O2E)2=16.613㎜1)先求出A點(diǎn)坐標(biāo)值及O1的I、K值，其中I代表圓心O1的X坐標(biāo)（直徑編程），K代表O1的Z坐標(biāo)（直徑編程）。因△ADO1∽△O1EO2，則有：AD/EO2=AO1/O1O2AD=O2E×AO1/O1O2=20×3/26=2.308㎜DO1/O1E=O1A/O1O2O1D=O1E×O1A/O1O2=16.613×3/26=1.917第十六頁，共三十四頁。5/11/202316CNC得A的坐標(biāo)值XA=2×2.308=4.616㎜(直徑編程)DW1=O1W1-O1D=1.083㎜則ZA=-1.08㎜求圓心O1相對于圓弧起點(diǎn)W1的增量坐標(biāo)，有：IO1=0㎜KO1=-3㎜

XA=4.616㎜ZA=-1.08㎜IO1=0㎜KO1=-3㎜第十七頁，共三十四頁。5/11/202317CNC1)

求B點(diǎn)坐標(biāo)值及O2點(diǎn)的I、K值⊿O2HO3相似于⊿BGO3BG/O2H=BO3/O3O2BG=O2H×BO3/O3O2=27.5×45/(45+29)=16.723㎜BF=O2H-BG=27.5-16.723=10.777㎜WO1+O1E+BF=3+16.613+10.777=30.39㎜ZB=-30.39㎜在⊿O2ZB中O2F=(O2B)2-(BF)2=292-(10.777)2=26.923EF=O2F-O2E=26.923-20=6.923㎜第十八頁，共三十四頁。5/11/202318CNC因是直徑編程，有XB=2×6.923=13.846㎜ZB=-30.39㎜求圓心O2相對于A點(diǎn)的增量坐標(biāo)，得IO2、KO2：IO2=-(AD+O2E)=-(2.308+20)=-22.308㎜KO2=-(O1D+O1E)=-(1.917+16.613)=-18.53㎜得出：XB=13.846㎜ZB=-30.39㎜IO2=-22.308㎜KO2==-18.53㎜第十九頁，共三十四頁。5/11/202319CNC3）求C點(diǎn)的坐標(biāo)值及IO3、KO3值從圖中可知：XC=10.000㎜ZC=-(78-20)=-58.00㎜GO3=O3B2-GB2=452-16.7232=41.777㎜O3相對于B點(diǎn)坐標(biāo)的增量:IO3=41.777㎜KO3=-16.72㎜XC=10.000㎜得出:ZC=-58.00㎜IO3=41.777㎜KO3=-16.72㎜第二十頁，共三十四頁。5/11/202320CNC實(shí)際生產(chǎn)案例分析：60圓錐管螺紋牙型及基本尺寸第二十一頁，共三十四頁。5/11/202321CNC第二十二頁，共三十四頁。5/11/202322CNC三、工藝尺寸鏈相關(guān)計(jì)算

1、尺寸鏈概述尺寸鏈的定義與組成（1）尺寸鏈的定義尺寸鏈：由若干相互有聯(lián)系的尺寸按一定順序首尾相接形成的尺寸封閉圖形定義為尺寸鏈。工藝尺寸鏈：在零件加工過程中，由同一零件有關(guān)工序尺寸所形成的尺寸鏈，稱為工藝尺寸鏈。裝配尺寸鏈：在機(jī)器設(shè)計(jì)和裝配過程中，由有關(guān)零件設(shè)計(jì)尺寸形成的尺寸鏈，稱為裝配尺寸鏈。第二十三頁，共三十四頁。5/11/202323α1α2α0圖：工藝尺寸鏈?zhǔn)纠齜)c)a)A1A2A0A1A2A0ABC0.05A0.1C第二十四頁，共三十四頁。5/11/202324CNC2、尺寸鏈的組成

尺寸環(huán)：組成尺寸鏈的每一個(gè)尺寸。如A0、A1、A2各尺寸環(huán)按其形成的順序和特點(diǎn)，可分為封閉環(huán)和組成環(huán)。

封閉環(huán)：凡在零件加工過程或機(jī)器裝配過程中最終形成的環(huán)（或間接得到的環(huán)）。如A0

組成環(huán)：尺寸鏈中除封閉環(huán)以外的各環(huán)。如A1、A2組成環(huán)按其對封閉環(huán)影響又可分為增環(huán)和減環(huán)。

增環(huán)：凡該環(huán)變動(dòng)（增大或減?。┮鸱忾]環(huán)同向變動(dòng)（增大或減小）的環(huán)，稱為增環(huán)。如A1

減環(huán)：由于該環(huán)變動(dòng)（增大或減小）引起封閉環(huán)反向變動(dòng)（減小或增大）的環(huán)，稱為減環(huán)。如A2第二十五頁，共三十四頁。5/11/202325CNC3、尺寸鏈的基本計(jì)算方法這里介紹極值法（1）基本尺寸計(jì)算公式封閉環(huán)的基本尺寸等于各增環(huán)基本尺寸之和減去各減環(huán)基本尺寸之和

式中A0——封閉環(huán)的基本尺寸；

Aj

——增環(huán)的基本尺寸；

Ak——減環(huán)的基本尺寸；

m——增環(huán)數(shù)；

n——尺寸鏈總環(huán)數(shù)。第二十六頁，共三十四頁。5/11/202326CNC（2）偏差及公差計(jì)算公式上偏差封閉環(huán)的上偏差等于各增環(huán)上偏差之和減去各減環(huán)下偏差之和。下偏差封閉環(huán)的下偏差等于各增環(huán)下偏差之和減去各減環(huán)上偏差之和。式中ES0，EI0——封閉環(huán)的上、下偏差；

ESj，EIj——增環(huán)的上、下偏差；

ESk，EIk——減環(huán)的上、下偏差。第二十七頁，共三十四頁。5/11/202327CNC公差封閉環(huán)的公差等于各組成環(huán)公差之和。式中T0L——封閉環(huán)公差（極值公差）；

Ti

——組成環(huán)的公差。第二十八頁，共三十四頁。5/11/202328CNC（3）平均尺寸計(jì)算公式封閉環(huán)的平均尺寸等于各增環(huán)平均尺寸之和減去各減環(huán)平均尺寸之和式中A0M、AjM、AkM分別表示封閉環(huán)、增環(huán)和減環(huán)的平均尺寸。第二十九頁，共三十四頁。5/11/202329CNC第三十頁，共三十四頁。5/11/202330CNC第三十一頁，共三十四頁。5/11/202331CNC第三十二頁，共三十四頁。5/11/202332CNC第三十三頁，共三十四頁。5/11/202333內(nèi)容總結(jié)數(shù)控車床編程中的數(shù)學(xué)處理。4/26/2023。數(shù)控加工與數(shù)控編程實(shí)質(zhì)上是曲線、曲面幾何學(xué)在機(jī)械制造業(yè)的應(yīng)用。數(shù)控加工中，有簡單曲線和曲面（如直線、圓弧及球面等）數(shù)學(xué)