河南省部分校高三5月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆河南省部分校高三5月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則的非空真子集個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義求出，最后求出其非空真子集個(gè)數(shù)；【詳解】解：由，即，解得，所以，又，所以，因?yàn)橹泻袀€(gè)元素，所以其非空真子集有個(gè)；故選：B2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．10 D．40【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及復(fù)數(shù)模的定義即可得到結(jié)果【詳解】(4+2i)(2+i)=6+8i，設(shè)z=a+bi，則+2abi所以解的所以故選：A3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1423石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得268粒內(nèi)夾谷32粒.則這批米內(nèi)夾谷約為（

）A．157石 B．164石 C．170石 D．280石【答案】C【分析】用樣本中夾谷的比例乘以總體容量可得結(jié)果.【詳解】樣本中夾谷的比例為，用樣本估計(jì)總體，可得這批谷內(nèi)夾谷約為（石）.故選：C.4．已知命題p：，，命題q：函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則下列命題中，是真命題的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判斷命題、的真假，再根據(jù)復(fù)合命題的真假性規(guī)則判斷即可；【詳解】解：對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，故命題為假命題，所以為真命題；對(duì)于，恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故命題為真命題，所以為假命題，所以為假命題，為假命題，為真命題；故選：D5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)三視圖可知：該幾何體是一個(gè)圓錐和正方體的組合體.圓錐的體積為，正方體的體積為8，故幾何體的體積為：故選：A6．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且，則直線AB的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)點(diǎn)在第一象限，通過(guò)拋物線定義及可知為中點(diǎn)，通過(guò)勾股定理可知，的關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)．過(guò)、分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為、，過(guò)作的垂線，垂足為，則四邊形為矩形．由拋物線定義可知，，又，，，在中，，直線的斜率為；當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，同理可知直線的斜率為．故選：A．?中?下禾一秉各幾何？”依上文，設(shè)上?中?下禾一秉分別為斗，斗?斗，設(shè)計(jì)如圖所示的程序框圖，若輸出的的值分別為，，，則判斷框中可以填入的條件為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)程序框圖的功能，一一循環(huán)，直至輸出，，終止循環(huán)求解.【詳解】解：程序框圖運(yùn)行過(guò)程：，，，；，，，；，，，；，跳出運(yùn)行，輸出.故選；B8．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)，再求出其單調(diào)遞減區(qū)間即可判斷作答.【詳解】依題意，，于是有，其圖象向左平移個(gè)單位得：，令，得函數(shù)的減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的一個(gè)減區(qū)間是，有，A滿足，B，C，D不滿足；當(dāng)時(shí)，的一個(gè)減區(qū)間是，B，C，D都不滿足，顯然k取任意整數(shù)，B，C，D都不滿足，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.故選：A9．若曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，則a＝（

）A．1 B． C．2 D．e【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解：因?yàn)榍€，所以，又因?yàn)榍€在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，所以，故選：A10．已知在三棱錐中，平面平面，，，，，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由面面垂直的性質(zhì)得到平面，利用余弦定理及基本不等式求出，從而求出的面積最大值，最后根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，在中，，由余弦定理，即，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；所以，即的面積最大值為；所以，即三棱錐的體積的最大值為；故選：D11．已知雙曲線C：的離心率為3，焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在雙曲線C上．若的周長(zhǎng)為14a，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨令在雙曲線右支，根據(jù)雙曲線的定義及離心率得到，，再由余弦定理求出，從而求出，最后由面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：不妨令在雙曲線右支，依題意可得，，，解得，，又，由余弦定理即，解得，所以，所以的面積．故選：C．12．在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，且保持，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)，表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的模和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出．【詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，，，則，，，設(shè)，則，則，，，，，，，，其中，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．故選：A．二、填空題13．已知，是第三象限角，則___________.【答案】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，再根據(jù)兩角差的正弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，又，所以，解得（舍去）或，所以；故答案為?4．5名實(shí)習(xí)老師安排到4所學(xué)校實(shí)習(xí)，每所學(xué)校至少安排一人，則不同的安排方式共有______種．【答案】【分析】首先從5個(gè)老師中選人作為一組，其余3人每人一組，再將四組安排到四所學(xué)校，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意首先從5個(gè)老師中選人作為一組，其余3人每人一組，再將四組安排到四所學(xué)校，故一共有種安排方法；故答案為：15．若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】分離參數(shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，根據(jù)單調(diào)性可得.【詳解】因?yàn)椋坏仁胶愠闪?，所以?duì)恒成立.記，，只需.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為：16．已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，D是BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為______．【答案】【分析】利用正弦定理將邊化角，即可得到，再結(jié)合得到，最后借助基本不等式即可求解．【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得所以，化?jiǎn)得，即，因?yàn)?，所以所以，又，，由余弦定理知，即，又，化?jiǎn)得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，即．故答案為：．三、解答題17．已知公差不為0的等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)可求出結(jié)果；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法可求出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知.即，又，得，因?yàn)?，所以?故通項(xiàng)公式.(2)，，，，所以.18．如圖所示的五面體中，平面平面，四邊形為正方形，，，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意可得，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，再由余弦定理求出，即可得到，從而得證；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，即可得到平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；【詳解】(1)證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?在中，因?yàn)?，故，不妨設(shè)，所以由余弦定理，得，則，所以，所以，又，平面，所以平面.(2)解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，平面平面，平面平面，平面，所以平面.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；19．在某市舉行的一次市質(zhì)檢考試中，為了調(diào)查考試試題的有效性以及試卷的區(qū)分度，該市教研室隨機(jī)抽取了參加本次質(zhì)檢考試的100名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，并將其統(tǒng)計(jì)如下表所示．成績(jī)X[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125]人數(shù)Y62442208(1)已知本次質(zhì)檢中的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)，其中μ近似為樣本的平均數(shù)，近似為樣本方差，若該市有5萬(wàn)考生，試估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)介于90~120分的人數(shù)；（以各組的區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的取值）(2)現(xiàn)按分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱75，85）以及[115，125]之間的學(xué)生中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行試卷分析，記被抽取的3人中成績(jī)?cè)赱75，85）之間的人數(shù)為X，求X的分布列以及期望E（X）．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】(1)(2)X的分布列見解析；【分析】（1）先求出樣本數(shù)的平均數(shù)和方差，再結(jié)合正態(tài)分布求出數(shù)學(xué)成績(jī)介于90~120分的人數(shù)；（2）求出X的所有可能取值，分別求得概率，列出分布列求出期望.【詳解】(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算方法，可得本次質(zhì)檢中數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)樣本的平均數(shù)為.，則，所以，故所求人數(shù)為．(2)依題意成績(jī)?cè)谥g的抽取3人，成績(jī)?cè)谥g的抽取4人，故X的可能取值為0，1，2，3．故，，，．故X的分布列為0123故E．20．已知橢圓：，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線是與橢圓交于兩點(diǎn)的任意一條直線，若，證明直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，由得到a，再由，得到c求解；（2）當(dāng)直線不垂直于軸，設(shè)該直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)，由結(jié)合韋達(dá)定理求解；當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，由為等腰直角三角形求解.【詳解】(1)解：因?yàn)闄E圓方程，為橢圓上一點(diǎn)，由橢圓的定義知，所以，又，所以，，所以，所以橢圓方程為.(2)證明：①若直線不垂直于軸，設(shè)該直線方程為，，，由得，化簡(jiǎn)得，，所以，，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，去分母得，?，所以或，當(dāng)時(shí)，：過(guò)定點(diǎn)，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，：過(guò)定點(diǎn).②若直線垂直于軸，設(shè)與軸交于點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性可知為等腰直角三角形，所以，化簡(jiǎn)得，解得或2（舍去），即此時(shí)直線也過(guò)定點(diǎn).綜上直線過(guò)定點(diǎn).21．已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程的根為、，且，求證：．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明見解析【分析】（1）求出的解析，從而求出導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)分析的單調(diào)性，，推出，設(shè)直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，證明當(dāng)時(shí)，，即可得證．【詳解】(1)解：因?yàn)?，，所以定義域?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明：，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以在上是單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，所以，且，當(dāng)時(shí)，，所以，即，設(shè)直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，下面證明當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，在上增函數(shù)，又因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，所以，得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的普通方程和曲線的參數(shù)方程；(2)點(diǎn)在圓上，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求點(diǎn)的直角坐標(biāo).【答案】(1)，（為參數(shù)）(2)【分析】（1）由條件所給方程轉(zhuǎn)換即可；（2）設(shè)點(diǎn)