2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)(理科)全國卷高考適應(yīng)性考試及單解析

a111，，12若要功夫深，鐵杵磨成針！a111，，12最新適性試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇:本大題共12小,每題5分共60分在每小題給出的四個選項(xiàng),只有一項(xiàng)是符合目要求的．1．已知集合A{x

，2x

，則

I

（）A[

B．([1,0)

C．((

D．(【答案】B【解析】

A[

，

，∴

B[1,0)

．2．若

a2)ai

為純虛數(shù)，其中a，則

a71i

）A．

i

．

1

C．

D．

【答案】C【解析】∵z為虛數(shù)，∴

a

2

，∴

7(2i)i2i2i)(12i)33．設(shè)為數(shù){}的前n項(xiàng)的和，且Snn

anNn

*

，）nA．

3(3n)

．3n

C．

．3

【答案】C3a(a2【解析】3aa(22經(jīng)代入選項(xiàng)檢驗(yàn)，只有C符．4．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果入的，

1則輸出的）A．0.95B．C．0.99．【答案】C

0.981.00

N

x=x+

1【解析】x

11&&

若要功夫深，鐵杵磨成針！1))))3

．5．三角函數(shù)f(x)sin(

x)x

的振幅和最小正周期分別是（）A．

3,

B．

C．

2,

D．

【答案】B【解析】f(x

xsin2xcosx

31cos2xsin2x3(2x)2223cos(2x

，故選B．6．一空間幾何體的三視圖如圖示，則該幾何體的體積為（）A．C．

12

．D．

6

2【答案】D【解析V=(2+1)．正四棱錐

2117．設(shè)p、q是個命題，若那么（）pA．是真命題且是假命題pB．是真命題且是真命題

q

是真命題，

2

1C．是命題且q是命題D．p是假命題且是命題【答案】D8從個邊長為

的等邊三角形的中心各邊中點(diǎn)及三個頂點(diǎn)這

7

個點(diǎn)中任取兩個點(diǎn)則兩點(diǎn)間距離小于

的概率是（）A．

4B．C．D．7【答案】A【解析】兩點(diǎn)間的距離小于1共有情況，分別為中心到三個中點(diǎn)的情況，1故兩點(diǎn)間的距離小于的率77

．9．已知平面向量

、

滿足

ab|

，

(ab)

，則

（）A．

B．

．

2

D．

【答案】D【解析】∵

a(b

，∴

ab)

，&&

66若要功夫深，鐵杵磨成針！66∴a22

，∴||

(aa2

12

．10．(x

)x

的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（）A．

15．C．D．16【答案】D【解析】

Tr

r(2)(6

r)rCr12x2

，令

2r

，解得

r

．∴常數(shù)項(xiàng)為

)4C4

．11廣適應(yīng)已知雙曲線的頂點(diǎn)為橢圓

2

22

1

長軸的端點(diǎn)且雙曲線的離心率橢圓的離心率的乘積等于，雙曲線的方程是（）A．x

2yByx2C．D．

2【答案】D【解析】∵橢圓的端點(diǎn)為

，離心率為

，∴雙曲線的離心率為2，依題意雙曲線的實(shí)半軸

a

2，，b2，故選D．12．如果定義在R上的函數(shù)

f(x

滿足：對于任意xx

，都有

xf(x)xf()2(x)f(x)11

，則稱f()

為“H

函數(shù)．給出下列函數(shù)：①

y3x

；②ysinxx；

x；x

，其中“H函”的個數(shù)是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】∵x)fxx()(x)11122

，∴)[f(x)fx)]，∴f(在上調(diào)增．122①

2

，

)

，y

，不符合條件；②y+sin)=3sin(x)

，符合條件；&&

若要功夫深，鐵杵磨成針?、?/p>

0

，符合條件；④

f

在(

單調(diào)遞減，不符合條件；綜上所述，其中“H函”是②③．二、填空題：本大題共4小，小題5分滿分20．13．已知實(shí)數(shù)，

y滿足約束條件y若標(biāo)函數(shù)zx

僅在點(diǎn))

取得最小值，則

x的取值范圍是．(【答案】【解析】不等式組表示的平面區(qū)域的角點(diǎn)坐標(biāo)分別為

(1,0),BC(3,4)

,∴A

2

，

zaB

，

z6C

．∴

2

，解得

．x14．已知雙曲線的焦點(diǎn)在拋物線y22【答案】

的準(zhǔn)線上，則p

．【解析】3

p)16

2

，∴p4．15．已知數(shù)列{}n

的各項(xiàng)均為正數(shù)，

n

為其前

項(xiàng)和，且對任意

N

*

，均有

、

n

、

成等差數(shù)列，則

．【答案】【解析】∵a，S，成差數(shù)列，∴n

Sn

2n當(dāng)n時，22S1111

又

∴

a1當(dāng)時22(n

n

)2nn

n

2n

，∴(

2n

2n

)n

n

)

，∴(n

n

n

n

)an

n

)0

，又a

，∴

n

n

，∴

{

}

是等差數(shù)列，其公差為1，&&

若要功夫深，鐵杵磨成針！∵a，∴a(N*)

．16．已知函數(shù)

f(x)

的定義域R，直線

和

是曲線

yf(x)

的對稱軸，且

f(0)

，則．f(4f(10【答案】【解析】直線和是線

yf(x)

的對稱軸，∴

f(2)()

，

f(4)(

，∴

f)f)

，∴

yf(x)

的周期

T2

．∴

f(4)(10)f(0)2

．三、解答題：解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．17小滿分12分已知頂點(diǎn)在單位圓上的中，角、、C的對邊分別為a、c，acoscosBcosC

．（1）

cosA

的值；（2）若b

4

，求的積．【解析）∵

cosBcos

，∴

AsinBBcosC

，∴

2sinAB

，∵

，∴

sin()sinA

，∴

．∵

A

，∴

sinA

，∴

2cosA，∴A

．（2）由cosA

，得，由

sinA

，得

a2sin3

．∵222bcA

，∴bc

，&&

nn11n4若要功夫深，鐵杵磨成針！nn11n4∴S

ABC

133bcsin24

．18小滿分12分某單位共名工，他們某年的收入如下表：員工編號年薪（萬元）

13

23

34

45

55

66．5

77

87．5

98

1050（1）求該單位員工當(dāng)年年薪的均值和中位數(shù)；（2）從該單位中任取

2

人，此

2

人中年薪收入高5萬人數(shù)記分布列期望；（3）已知員工年薪收入與工作限成正相關(guān)關(guān)系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別4.5萬元、5.6萬元、萬，預(yù)測該員工第五年的年為多少？

萬元、附：線性回歸方程

中系數(shù)計(jì)算公式分別為：b

i

()(y)ii)2i

，x

，其中

、

y

為樣本均值．i【解析）平均值為萬，中位數(shù)為6元．（2）年薪高于5萬有6人低于或等于5的有4人取值為0，1，2．C2CC8C，P6，(C215C151010

13

，∴

的分布列為

01P

∴

35

．（3）設(shè)

xy(i

分別表示工作年限及相應(yīng)年薪，則

2.5,

，

ii(x)i

2

0.252.25，i

()(i

i

)0.5)0.6i&&

nn?若要功夫深，鐵杵磨成針！nn?b

i

()(yy)ii)2i

75

，

yx

，i由線性回歸方程為

y1.4x1.5

．可預(yù)測該員工年后的年薪收入萬元．19小滿分12分如圖，在直二面角

中四邊形ABEF矩形，，AF23，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)

是線段BF

上的一點(diǎn)，

PF

．（1）證明：FB；

F（2）求異面直線與

所成角的余弦值．EPA

CB【解析）證明：以原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則

，

B(2,0,0)

，

，

F

．∵BF

AF2

，

PF

，∴,0,

)

，F(xiàn)B3)，AC(0,2,0)，,0,)．2∵

FB

，∴

FBAC

．∵

FB

，∴

FBAP

．∵FB，F(xiàn)BAP平面APC∴

，

，（2）∵，記夾則

32,)，2&&

ABABPC27

7

．

若要功夫深，鐵杵磨成針！【方法2】）FB

,PFABFA

，

FAPFA/

．∵

PF

AF

，∴BF．∵平面面，平面

平面

AB

，ABAC，AC平面，∴AC面

．∵平面ABEF，∴ACBF．∵

PAIAC

，∴

BF

平面

．（2）過

P

作

PMABAF

，分別交

于點(diǎn)M,N

，補(bǔ)角為與所的角．連接MCNC．

3，AN2

，

2

2

，22

，PN2

，MCMB

2

BC

2

，

13541272

7．2714∴異面直線PC與所的角的余弦值為

．&&

Mk2FM12若要功夫深，鐵杵磨成針！Mk2FM1220小滿分12分已知拋物線：y

4

，過其焦點(diǎn)

作兩條相互垂直且不平行于

軸的直線，分別交拋物線

于點(diǎn)P、P和、P，段P、P121

的中點(diǎn)分別為M、．12（1）求FM1

2

面積的最小值；（2）求線段MM1

2

的中點(diǎn)

滿足的方程．【解析）由題設(shè)條件得焦點(diǎn)標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線的程為(1

，聯(lián)立

(xx

，得2)2

）2)]22

．設(shè)P(x,(xy)，1212

2(2)2

．設(shè)M(x)MM

xx1k，則2y(x

2

．類似地，設(shè)M(yMM

2xkM，則kMk

．∴|FM1

2)22k2kk

2

，|FM|k))k|12，1因此S|FMFM|2

k|)

．&&

MM21若要功夫深，鐵杵磨成針！MM21∵

1|k|

k2，S

M

當(dāng)且僅當(dāng)

1|k

k|

，即

時，

FMM

取到最小值4．（2設(shè)線段M1

2

的中點(diǎn)P(x)

，由（）112x(x)(2)22k111y(yy))2M2kk

2

1k

，消去

后得

2

．∴線段M的點(diǎn)P滿足的方程為1221小滿分12分

y

2

．設(shè)函數(shù)

f()

xln（m（1）求（2）求

f()f()

的單調(diào)區(qū)間；的零點(diǎn)個數(shù)；（3）證明：曲線

y(

沒有經(jīng)過原點(diǎn)的切線．【解析）

f(x)

的定義域?yàn)?0,f

1

．令

f

，得x

0

．當(dāng)2

，即

m

時，f

0

，∴f(x

在(0,

內(nèi)單調(diào)遞增．當(dāng)

0，即時由

解得1

mm，2

2

，且

0x1

，在區(qū)間x)及(,,f，(,)內(nèi)f，1∴f(x)在間(0,)及(,單遞增，在x,x內(nèi)調(diào)遞減．122（2）由（）知，當(dāng)0時f()在單遞增，∴f()

最多只有一個零點(diǎn)．又∵f(x)

(xm)ln

，∴當(dāng)

且

時，f()

；當(dāng)

且時

f(x)，f()

有且僅有一個零點(diǎn)．當(dāng)

時，∵

f()

在(0,x)及(,1

內(nèi)單調(diào)遞增，在

,x)12

內(nèi)單調(diào)遞減，mmm2(且f(x)()ln222

2

mm222，而2

，

mm

（∵2(m2∴f(，此知f(xf()，11又∵當(dāng)且x時，fx)0，故

f(x

在

(0,

內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)m時

f(x)

有且僅有一個零點(diǎn)．（3）假設(shè)曲線

y(

在點(diǎn)

(x,(x))

（

）處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，&&

2若要功夫深，鐵杵磨成針！2f()則有x

1xmx，即x

，化簡得：x

2

x（x記g(x)lnx（xg

1

，令

，解得

．當(dāng)

時，

，當(dāng)時

，∴g

是()

的最小值，即當(dāng)

3時，xln．2由此說明方程（）解，∴曲線

y(

沒有經(jīng)過原點(diǎn)的切線．請考生在22、23題任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時請寫清楚題．22小滿分10分選修4-1幾何證明選講如圖所示，

是半圓

O

的直徑AD

垂足為

D

，AB，與AD、AO分交于點(diǎn)E、G

．（1）證明：

DAO

；

（2）證明：

AE

．

O

【解析）連接

FC

，

OF

，∵ABAF，OB，∴點(diǎn)是BF的點(diǎn)，OGBF．

∵

是

eO

的直徑，∴

CFBF

．

∴OGCF．AOB，9090∴DAOFBC∴．

，

O

（2在與