幾種重要的隨機(jī)過程

關(guān)于幾種重要的隨機(jī)過程第1頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義3.1.1

對(duì)任意的正整數(shù)n及任意的為獨(dú)立過程.相互獨(dú)立,稱隨機(jī)過程隨機(jī)變量第一節(jié)獨(dú)立過程和獨(dú)立增量過程一、獨(dú)立過程第2頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月獨(dú)立隨機(jī)過程的有限維分布由一維分布確定注

Ex.1

高斯白噪聲實(shí)值時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)為稱為離散白噪聲(序列).兩兩不相關(guān)序列.第3頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月又若X(n)都服從正態(tài)分布,稱是高斯白噪聲序列.對(duì)于n維正態(tài)隨機(jī)變量有相互獨(dú)立不相關(guān)故高斯白噪聲序列是獨(dú)立時(shí)間序列.若過程是正態(tài)過程,且第4頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯白噪聲是典型的隨機(jī)干擾數(shù)學(xué)模型,普遍存在于電流的波動(dòng),通信設(shè)備各部分的波動(dòng),電子發(fā)射的波動(dòng)等各種波動(dòng)現(xiàn)象中.稱其為高斯白噪聲過程，它是獨(dú)立過程.如金融、電子工程中常用的線性模型—自回歸模型（AR(p)）理想模型要求殘差序列εt是(高斯)白噪聲.第5頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第6頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月二、獨(dú)立增量過程

定義3.1.2

稱,T=[0,∞)為獨(dú)立增量過程,若對(duì),及t0=0<t1<t2<…<tn,增量序列

X(t1)－X(0),X(t2)－X(t1),…,X(tn)－X(tn-1)相互獨(dú)立.0t1t2…tn－1tn第7頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月注不失一般性,設(shè)X(0)=0或P{X(0)=0}=1.有

X(t1),X(t2)－X(t1),…,X(tn)－X(tn－1)相互獨(dú)立.

定義3.1.3

若獨(dú)立增量過程{X(t),t≥0}對(duì)及h>0,X(t+h)

－X(s+h)與X(t)

－X(s)有相同的分布函數(shù),稱{X(t),t≥0}是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程.0tss+ht+h第8頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

增量的分布僅與τ有關(guān),與起始點(diǎn)t無關(guān),稱{X(t),t≥0}的增量具有平穩(wěn)性(齊性).注

Ex.2若{X(n),n∈N+}是獨(dú)立時(shí)間序列,令則{Y(n),n∈N+}是獨(dú)立增量過程.又若X(n),n=1,2,…

相互獨(dú)立同分布,則{Y(n),n∈N+}是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程.第9頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月證

若n1<n2<…<nm{X(n),n∈N+}相互獨(dú)立各增量相互獨(dú)立.第10頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

性質(zhì)3.1.1{X(t),t≥0}是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程,X(0)=0,則1）均值函數(shù)m(t)=mt(m為常數(shù));2）方差函數(shù)D(t)=σ2t(σ為常數(shù));3）協(xié)方差函數(shù)C(s,t)=σ2min(s,t).分析因均值函數(shù)和方差函數(shù)滿足第11頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月命題：若可證得1)和2).則對(duì)任意實(shí)數(shù)t,有證3)X(t)－

X(s)與X(s)相互獨(dú)立.第12頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月一般,C(s,t)=σ2min(s,t).

性質(zhì)3.1.2

獨(dú)立增量過程的有限維分布由一維分布和增量分布確定.

分析

對(duì)于獨(dú)立增量過程{X(t),t≥0},任取的t1<t2<…<tn∈T,Y1=X(t1),Y2=X(t2)－X(t1),…,Yn=X(tn)－X(tn-1)相互獨(dú)立性,利用特征函數(shù)法可證明結(jié)論.第13頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題：1.白噪聲過程是否一定是獨(dú)立過程？2.獨(dú)立過程是否是獨(dú)立增量過程？反之？第14頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1．定義為n維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為也稱高斯過程。則稱第二節(jié)正態(tài)過程第15頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月其中且C為協(xié)方差矩陣，第16頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月注由正態(tài)過程的n維概率密度表達(dá)式知，正態(tài)過程的統(tǒng)計(jì)特性，由它的均值函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)完全確定。第17頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月Ex.3證可得注逆命題也成立。第18頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月一、維納過程的數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用維納過程是英國植物學(xué)家羅伯特.布朗在觀察漂浮在液面的花粉運(yùn)動(dòng)—布朗運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)建立的隨機(jī)游動(dòng)數(shù)學(xué)模型.第三節(jié)維納過程第19頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月維納過程應(yīng)用廣泛：電路理論、通信和控制、生物、經(jīng)濟(jì)管理等.維納過程的研究成果應(yīng)用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，使其方法論產(chǎn)生了一次飛躍，成功地應(yīng)用于非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)過程，如激烈變化的金融商品價(jià)格的研究。第20頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月二、定義則稱或布朗運(yùn)動(dòng)過程。稱為標(biāo)準(zhǔn)維納過程。特別第21頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月三、維納過程的分布1.一維分布：W(t)～N(0,σ2t)；2.

增量分布：W(t)－W(s)～N(0,σ2|t－s|);設(shè)t＞s

，因W(0)=0,且W(t)是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，故有相同分布N(0,σ2(t－s)).第22頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月3.維納過程是正態(tài)過程.證設(shè)維納過程{W(t),t≥0}的參數(shù)是σ2，相互獨(dú)立，且有第23頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)隨機(jī)向量的線性變換服從正態(tài)分布。四、維納過程的數(shù)字特征1.E[W(t)]=0;D[W(t)]=s2t2.C(s,t)=R(s,t)=σ2min(s,t)維納過程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程第24頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月下證同理故第25頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月3．證由于增量是相互獨(dú)立的正態(tài)變量。所以第26頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月4．具有馬氏性證因此所以所以維納過程是馬氏過程。第28頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月例4試求的協(xié)方差函數(shù)。且解第29頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月可得所以第30頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月一、計(jì)數(shù)過程與泊松過程

在天文，地理，物理，生物，通信，醫(yī)學(xué)，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，密碼學(xué)等許多領(lǐng)域，都有關(guān)于隨機(jī)事件流的計(jì)數(shù)問題，如：

蓋格記數(shù)器上的粒子流；電話交換機(jī)上的呼喚流；計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)上的（圖象，聲音）流；編碼（密碼）中的誤碼流；第四節(jié)泊松過程第31頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月交通中事故流；細(xì)胞中染色體的交換次數(shù)，…均構(gòu)成以時(shí)間順序出現(xiàn)的事件流A1,A2,…

定義3.4.1隨機(jī)過程{N(t),t≥0}稱為計(jì)數(shù)過程(CountingProcess),如果N(t)表示在(0,t)內(nèi)事件A出現(xiàn)的總次數(shù).計(jì)數(shù)過程應(yīng)滿足：(1)

N(t)≥0;第32頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)N(t)取非負(fù)整數(shù)值；(3)如果s<t，則N(s)≤N(t)；(4)對(duì)于s<t,N(t)－N(s)表示時(shí)間間隔(s,t)內(nèi)事件出現(xiàn)的次數(shù).)s)tPoisson過程是一類很重要的計(jì)數(shù)過程.第33頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月Poisson過程數(shù)學(xué)模型：

電話呼叫過程

設(shè)N(t)為[0,t)時(shí)間內(nèi)到達(dá)的呼叫次數(shù),其狀態(tài)空間為E={0，1，2，…}此過程有如下特點(diǎn)：1)

零初值性

N(0

)=0;2)

獨(dú)立增量性

任意兩個(gè)不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)的呼叫次數(shù)相互獨(dú)立;第34頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月3)

齊次性在(s,t)時(shí)間內(nèi)到達(dá)的呼叫次數(shù)僅與時(shí)間間隔長(zhǎng)度t－s有關(guān)，而與起始時(shí)間s無關(guān);

4）普通性在充分小的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)的呼叫次數(shù)最多僅有一次，即對(duì)充分小的Δt,有其中λ＞0.第35頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義3.4.2設(shè)計(jì)數(shù)過程{N(t),t≥0}滿足：(1)N(0)=0;(2)是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程；(3)P{N(h)=1}=λh+o(h),λ>0；(4)P{N(h)≥2}=o(h).

稱{N(t),t≥0)是參數(shù)(或速率,強(qiáng)度)為λ的齊次泊松過程.第36頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

EX.1

在數(shù)字通信中誤碼率λ是重要指標(biāo)，設(shè){N(t),t≥0}為時(shí)間段[0,t)內(nèi)發(fā)生的誤碼次數(shù),{N(t),t≥0}是計(jì)數(shù)過程,而且滿足(1)初始時(shí)刻不出現(xiàn)誤碼是必然的,故N(0)=0;(2)在互不相交的區(qū)間出現(xiàn)的誤碼數(shù)互不影響,故N(t)獨(dú)立增量過程.

在系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的條件下,在相同長(zhǎng)度區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)k個(gè)誤碼概率應(yīng)相同,故可認(rèn)為N(t)是增量平穩(wěn)過程.第37頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月{N(t),t≥0}是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程；(3)認(rèn)為Δt時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)一個(gè)誤碼的可能性與區(qū)間長(zhǎng)度成正比是合理的,即有P{N(Dt)=1}=λDt

+o(Dt),λ>0；(4)假定對(duì)足夠小的Δt時(shí)間內(nèi),出現(xiàn)兩個(gè)以上誤碼的概率是關(guān)于Δt的高階無窮小也是合理的,有P{N(Dt)≥2}=o(Dt).第38頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理3.4.1齊次泊松過程{N(t),t≥0}在時(shí)間間隔(t0,t0+t)內(nèi)事件出現(xiàn)n次的概率為終上所述,可用Poisson過程數(shù)學(xué)模型描述通信系統(tǒng)中誤碼計(jì)數(shù)問題.

可認(rèn)為

{N(t),t≥0}是強(qiáng)度為λ的泊松計(jì)數(shù)過程.第39頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月定理證明反之亦然,得泊松過程的等價(jià)定義：定義3.4.2′設(shè)計(jì)數(shù)過程{N(t),t≥0}滿足下述條件：(1)

N(0)=0；(3)對(duì)一切0≤s<t,N(t)－N(s)～P(λ(t－s)),即(2)

N(t)是獨(dú)立增量過程；第40頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月注有問題若N(t)的一維分布是泊松分布,能否推出第(3)條成立?

第41頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

EX.2

設(shè){N(t),t≥0}是參數(shù)為λ的泊松過程,事件A在(0,τ)時(shí)間區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)n次，試求:P{N(s)=kN(τ)=n},0<k<n,0<s<τ第42頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月二、齊次泊松過程的有關(guān)結(jié)論1.數(shù)字特征N(t)～P(λt).均值函數(shù)方差函數(shù)第43頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月稱λ為事件的到達(dá)率λ是單位時(shí)間內(nèi)事件出現(xiàn)的平均次數(shù).協(xié)方差函數(shù)

C(s,t)=λmin(s,t)，相關(guān)函數(shù)

R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.證因泊松過程{N(t),t≥0)是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，不妨設(shè)t>s>0

R(s,t)=E{N(t)N(s)}=E{N(s)[N(t)－N(s)+N(s)]}第44頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月=E{N(s)[N(t)－N(s)]}+E[N2(s)]

=E{N(s)}E{N(t)－N(s)}+E[N2(s)]C(s,t)=λmin(s,t)R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.一般地有第45頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理：泊松過程的特征函數(shù)為證明：第46頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1)令Y(t)=N1(t)－N2(t)，t>0,求Y(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù).2)證明X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,是強(qiáng)度為λ1+λ2的泊松過程.3)證明Y(t)=N1(t)－N2(t)，t>0,不是泊松過程.

EX.3

設(shè)N1(t)和N2(t)分別是強(qiáng)度為λ1和λ2的相互獨(dú)立的泊松過程,第47頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2)根據(jù)泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,3)X(t)=N1(t)－N2(t)的特征函數(shù)為獨(dú)立和的特征函數(shù)由分布函數(shù)與特征函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)的惟一性定理知X(t)不是泊松過程.服從參數(shù)為λ1+λ2的泊松分布.自證問題:如何證明?第49頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.時(shí)間間隔與等待時(shí)間的分布tW1W2W3W4…N(t)軌道是躍度為1的階梯函數(shù)

用Tn表示事件A第n－1次出現(xiàn)與第n次出現(xiàn)的時(shí)間間隔.第50頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月Wn為事件A第n次出現(xiàn)的等待時(shí)間(到達(dá)時(shí)間).

定理3.4.2設(shè){Tn,n≥1}是參數(shù)為λ的泊松過程{N(t),t≥0}的時(shí)間間隔序列，則{Tn,n≥1}相互獨(dú)立同服從指數(shù)分布，且E{T}=1/λ.證(1)因{T1>t}={(0,t)內(nèi)事件A不出現(xiàn)}P{T1>t}=P{N(t)=0}=e－λt第51頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月即T1服從均值為1╱λ的指數(shù)分布.(2)由泊松過程的平穩(wěn)獨(dú)立增量性,有

P{T2>t|