2023屆廣東省海珠區(qū)高三下學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)試題試卷

2023屆廣東省海珠區(qū)高三下學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知無(wú)窮等比數(shù)列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．2．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．3．如圖所示的程序框圖輸出的是126，則①應(yīng)為（）A． B． C． D．4．設(shè)為的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為1，則（）A． B． C． D．5．已知單位向量，的夾角為，若向量，，且，則（）A．2 B．2 C．4 D．66．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為40，則的最小值是（）A． B． C． D．27．已知集合，則()A． B． C． D．8．已知非零向量，滿(mǎn)足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解:9．是定義在上的增函數(shù)，且滿(mǎn)足：的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．10．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如：，，，那么在不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率為（）A． B． C． D．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．12．已知向量，（其中為實(shí)數(shù)），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______.14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____.15．若一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為_(kāi)________.16．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，將射線(xiàn)繞著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，并在所得射線(xiàn)上取一點(diǎn)，使得，連接，則的面積為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，().（i）求的取值范圍；（ii）求證:隨著的增大而增大.18．（12分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，M是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的面積的最大值為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）若，，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，，記直線(xiàn)AD，BC的斜率分別為，，求證:為定值.19．（12分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點(diǎn).（1）.求證:平面平面;（2）.若二面角的余弦值為,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）求證：．21．（12分）選修4—5；不等式選講．已知函數(shù)．(1)若的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若正數(shù)滿(mǎn)足，為（1）中m可取到的最大值，求證：．22．（10分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率分別為，，若，試判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

依據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項(xiàng)，再求出，利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列的公比為2，則無(wú)窮等比數(shù)列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。2、D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算，同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】試題分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿(mǎn)足循環(huán)的條件．解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿(mǎn)足循環(huán)的條件．∵S=2+22+…+21=121，故①中應(yīng)填n≤1．故選B點(diǎn)評(píng)：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點(diǎn)有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點(diǎn)考試的概率更大．此種題型的易忽略點(diǎn)是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤．4、A【解析】

先化簡(jiǎn)已知得,再根據(jù)題意得出f（x）的最小值正周期T為1×2，再求出ω的值．【詳解】由題得,設(shè)x1，x2為f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為1，∴=1，解得T=2；∴=2，解得ω=π．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．5、C【解析】

根據(jù)列方程，由此求得的值，進(jìn)而求得.【詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點(diǎn)，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示，畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)時(shí)，有最大值為，即，故..當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.7、C【解析】

解不等式得出集合A，根據(jù)交集的定義寫(xiě)出A∩B．【詳解】集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式與交集的運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．8、C【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，由向量的關(guān)系，可得選項(xiàng).【詳解】，，∴等價(jià)于，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和命題的充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù)，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，故.又有意義，故，故，所以.令，則，故在上為增函數(shù)，所以即，整理得到.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù)，本題屬于中檔題.10、B【解析】

先求出從不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)的所有可能結(jié)果，然后再求出其和等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解：不超過(guò)18的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17共7個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有，其和等于16的結(jié)果，共2種等可能的結(jié)果，故概率.故選：B.【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計(jì)數(shù)得到，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論．【詳解】執(zhí)行該程序可得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖．解題可模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然后求解．12、A【解析】

結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由，則，所以；而當(dāng)，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的運(yùn)算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、80.【解析】

只需找到展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，故的展開(kāi)式中的系數(shù)為80.故答案為：80.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到展開(kāi)式中的特殊項(xiàng)系數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.14、【解析】

先推導(dǎo)出函數(shù)的周期為，可得出，代值計(jì)算，即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，又該函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，所以，，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算函數(shù)值，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)軸推導(dǎo)出函數(shù)的周期，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解析】

將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，通過(guò)正方體的對(duì)角線(xiàn)與球的半徑的關(guān)系，得到球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個(gè)球，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1，所以正方體的棱長(zhǎng)為，設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對(duì)角線(xiàn)，即，解得，所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積的計(jì)算，其中巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，得到球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由余弦定理求得，再結(jié)合正弦定理得，進(jìn)而得，得，則面積可求【詳解】由，得，解得.因?yàn)?，所以，，所?又因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）（i）（ii）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論即可求解；（2）（i）結(jié)合（1）的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)求解參數(shù)取值范圍；（ii）設(shè)，通過(guò)轉(zhuǎn)化，討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解集為，的解集為，所以的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；（2）（i）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不符題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)椋?，所以存在，使得，又因?yàn)?，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以存在，使得，綜上，；（ii）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以單調(diào)遞增，即隨著的增大而增大，所以隨著的增大而增大，命題得證.【點(diǎn)睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化證明與零點(diǎn)相關(guān)的命題.18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，求出，即可得答案；（2）根據(jù)題意可知，，因?yàn)?，所以可設(shè)直線(xiàn)CD的方程為，將直線(xiàn)代入曲線(xiàn)的方程，利用韋達(dá)定理得到的關(guān)系，再代入斜率公式可證得為定值.【詳解】（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值.所以，所以，，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）根據(jù)題意可知，，因?yàn)?，所以可設(shè)直線(xiàn)CD的方程為.由，消去y可得，所以，即.直線(xiàn)AD的斜率，直線(xiàn)BC的斜率，所以，故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、橢圓中的定值問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意坐標(biāo)法的運(yùn)用.19、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)平面有，利用勾股定理可證明，故平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的余弦值為建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.試題解析：（Ⅰ）平面平面因?yàn)?所以,所以,所以,又，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平面．（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則取，則為面法向量．設(shè)為面的法向量，則，即，取，則依題意，則．于是．設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．20、（1）時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）利用的導(dǎo)函數(shù)，求得的最大值的表達(dá)式，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，由此判斷出的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）由，得到和，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，即有，從而證得，即.【詳解】（1），∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，.令在上遞減，在上遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．①時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；②時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；③時(shí)，，令在上遞增，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上:時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn);（2）由（1）可知：，令在上遞增，．【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.21、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）討論三種情況去絕對(duì)值符號(hào)，可得所以，由此得，解得；（2）利用分析法，由（1）知，，所以，因?yàn)?，要證，只需證，即證，只需證即可得結(jié)果.試題解析：（1）去絕對(duì)值符號(hào)，可得所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由（1）知，，所以．因?yàn)?，所以要證，只需證，即證