高中數(shù)學基礎(chǔ)知識歸納

中學數(shù)學基礎(chǔ)學問歸納第一部分集合1.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲線上的點？…2.數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題詳細化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決3.(1)元素和集合的關(guān)系：,.（4）集合的子集個數(shù)共有個；真子集有–1個；非空子集有–1個；非空真子集有–2個.4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.其次部分函數(shù)和導數(shù)1．映射：留意:①第一個集合中的元素必需有象；②一對一或多對一.2．函數(shù)值域的求法：①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調(diào)性；⑤換元法；⑥利用均值不等式；⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義（斜率、距離、肯定值的意義等）；⑧利用函數(shù)有界性（、、等）；⑨平方法；=10\*3⑩導數(shù)法3．復合函數(shù)的有關(guān)問題:（1）復合函數(shù)定義域求法：①若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域為[],求f(x)的定義域，相當于x∈[]時，求g(x)的值域.（2）復合函數(shù)單調(diào)性的判定：①首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)②分別探討內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性③依據(jù)“同性則增，異性則減”來推斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性.4．分段函數(shù)：值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。5．函數(shù)的奇偶性:⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件⑵是奇函數(shù)；是偶函數(shù).⑶奇函數(shù)在0處有定義，則⑷在關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性⑸若所給函數(shù)的解析式較為困難，應先等價變形，再推斷其奇偶性6．函數(shù)的單調(diào)性:⑴單調(diào)性的定義：①在區(qū)間上是增函數(shù)當時有；②在區(qū)間上是減函數(shù)當時有；⑵單調(diào)性的判定：=1\*3①定義法：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利于推斷符號；②導數(shù)法（見導數(shù)部分）；③復合函數(shù)法；④圖像法注：證明單調(diào)性主要用定義法和導數(shù)法。7．函數(shù)的周期性：(1)周期性的定義：對定義域內(nèi)的隨意，若有（其中為非零常數(shù)），則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個周期。全部正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特殊說明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數(shù)的周期：①；②；③；④；⑤(3)和周期有關(guān)的結(jié)論：或的周期為8．基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)：㈠.⑴指數(shù)函數(shù)：；⑵對數(shù)函數(shù):；⑶冪函數(shù)：（；⑷正弦函數(shù):；⑸余弦函數(shù)：；（6）正切函數(shù)：；⑺一元二次函數(shù)：（a≠0）；⑻其它常用函數(shù)：正比例函數(shù)：；②反比例函數(shù)：；③函數(shù)㈡.⑴分數(shù)指數(shù)冪：；（以上，且）.⑵.①；②；③；④.⑶.對數(shù)的換底公式:.對數(shù)恒等式:.9．二次函數(shù)：⑴解析式：①一般式：；②頂點式：，為頂點；③零點式：（a≠0）.⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：①開口方向；②對稱軸；③端點值；④和坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程是，頂點坐標是。10．函數(shù)圖象：⑴圖象作法：①描點法（特殊留意三角函數(shù)的五點作圖）②圖象變換法③導數(shù)法⑵圖象變換：平移變換：ⅰ)，———左“+”右“－”；ⅱ)———上“+”下“－”；對稱變換：ⅰ)；ⅱ)；ⅲ)；ⅳ)；翻折變換：ⅰ)———（去左翻右）y軸右不動，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；ⅱ)———（留上翻下）x軸上不動，下向上翻（在下面無圖象）；11．函數(shù)圖象（曲線）對稱性的證明：(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上隨意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（2）證明函數(shù)和圖象的對稱性，即證明圖象上隨意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點在的圖象上，反之亦然。注：①曲線C1()=0關(guān)于原點（0,0）的對稱曲線C2方程為：f(－x,－y)=0;曲線C1()=0關(guān)于直線0的對稱曲線C2方程為：f(－x,y)=0;曲線C1()=0關(guān)于直線0的對稱曲線C2方程為：f(x,－y)=0;曲線C1()=0關(guān)于直線的對稱曲線C2方程為：f(y,x)=0②f()(b－x)（x∈R）(x)圖像關(guān)于直線對稱；特殊地：f()(a－x)（x∈R）(x)圖像關(guān)于直線對稱.③的圖象關(guān)于點對稱.特殊地：的圖象關(guān)于點對稱.=4\*3④函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱;函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。12．函數(shù)零點的求法：⑴干脆法（求的根）；⑵圖象法；(4)零點定理：若(x)在[]上滿意f(a)·f(b)<0,則(x)在（)內(nèi)至少有一個零點。13．導數(shù)：⑴導數(shù)定義：f(x)在點x0處的導數(shù)記作⑵常見函數(shù)的導數(shù)公式:①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。⑶導數(shù)的四則運算法則：⑷（理科）復合函數(shù)的導數(shù)：⑸導數(shù)的應用：①利用導數(shù)求切線：留意：ⅰ)所給點是切點嗎？ⅱ)所求的是“在”還是“過”該點的切線？②利用導數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性：=1\*i）是增函數(shù)；=2\*）為減函數(shù)；=3\*）為常數(shù)；③利用導數(shù)求極值：?。┣髮?shù)；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得極值。④利用導數(shù)求最大值和最小值：ⅰ）求極值；ⅱ）求區(qū)間端點值（假如有）；ⅲ）比較得最值。第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形1．⑴角度制和弧度制的互化：弧度，弧度，弧度⑵弧長公式：；扇形面積公式：。2．三角函數(shù)定義:角終邊上任一點（非原點）P,設(shè)則：3．三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（簡記為“全stc”）4．誘導公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”5．⑴對稱軸：令，得對稱中心：；⑵對稱軸：令，得；對稱中心：；6．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：7．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及對稱性：⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為，對稱軸為,對稱中心為.⑵的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為，對稱軸為,對稱中心為.⑶的單調(diào)遞增區(qū)間為，對稱中心為.8．兩角和和差的正弦、余弦、正切公式：①；；.②；.③=(其中,協(xié)助角所在象限由點所在的象限確定,).9．二倍角公式：①.②（升冪公式）.（降冪公式）.10．正、余弦定理：⑴正弦定理：（是外接圓直徑 ）注：①；②；③。⑵余弦定理：等三個；等三個。11.幾個公式:⑴三角形面積公式：①（分別表示a、b、c邊上的高）；②.=3\*3③⑵內(nèi)切圓半徑；外接圓直徑2第四部分立體幾何1．三視圖和直觀圖：=1\*2⑴畫三視圖要求：正視圖和俯視圖長對正；正視圖和側(cè)視圖高平齊；側(cè)視圖和俯視圖寬相等。=2\*2⑵斜二測畫法畫水平放置幾何體的直觀圖的要領(lǐng)。2．表（側(cè)）面積和體積公式：⑴柱體：①表面積：側(cè)+2S底；②側(cè)面積：S側(cè)=；③體積：底h⑵錐體：①表面積：側(cè)底；②側(cè)面積：S側(cè)=；③體積：底h：⑶臺體：①表面積：側(cè)下底;②側(cè)面積：S側(cè)=;③體積：（）h；⑷球體：①表面積：；②體積：.3．位置關(guān)系的證明（主要方法）：⑴直線和直線平行：①公理4；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定理。⑵直線和平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行線面平行。⑶平面和平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同始終線的兩平面平行。⑷直線和平面垂直：①直線和平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質(zhì)定理。⑸平面和平面垂直：①定義兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。注：以上理科還可用向量法。4.求角：（步驟Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）⑴異面直線所成角的求法：①平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；②用向量法⑵直線和平面所成的角：①干脆法（利用線面角定義）；②用向量法5.結(jié)論：⑴棱錐的平行截面的性質(zhì)假如棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面和底面相像，截面面積和底面面積的比等于頂點到截面距離和棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相像多邊形，相像多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐和小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點到截面距離和棱錐高的平方比．⑵長方體從一個頂點動身的三條棱長分別為a，b，c，則體對角線長為，全面積為222，體積。⑶正方體的棱長為a，則體對角線長為，全面積為，體積。⑷球和長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.球和正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.⑷正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長為，則正四面體的：高：；②對棱間距離：；③內(nèi)切球半徑：；④外接球半徑：。第五部分直線和圓1．斜率公式：，其中、.直線的方向向量，則直線的斜率為=.2.直線方程的五種形式：(1)點斜式：(直線過點，且斜率為)．(2)斜截式：(為直線在軸上的截距).(3)兩點式：(、，).(4)截距式：(其中、分別為直線在軸、軸上的截距，且).(5)一般式：(其中A、B不同時為0).3．兩條直線的位置關(guān)系：（1）若，,則：①∥,；②.（2）若,,則：①且；②.4．求解線性規(guī)劃問題的步驟是：（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標函數(shù)；（3）確定目標函數(shù)的最優(yōu)解。5．兩個公式:⑴點P（x0，y0）到直線0的距離：；⑵兩條平行線1=0和2=0的距離6．圓的方程：⑴標準方程：①；②。⑵一般方程：（注：220表示圓≠0且0且D22－4>07．圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法；⑵幾何法。8．點、直線和圓的位置關(guān)系：（主要駕馭幾何法）⑴點和圓的位置關(guān)系：（表示點到圓心的距離）①點在圓上；②點在圓內(nèi)；③點在圓外。⑵直線和圓的位置關(guān)系：（表示圓心到直線的距離）①相切；②相交；③相離。⑶圓和圓的位置關(guān)系：（表示圓心距，表示兩圓半徑，且）①相離；②外切；③相交；④內(nèi)切；⑤內(nèi)含。9．直線和圓相交所得弦長第六部分圓錐曲線1．定義：⑴橢圓：；⑵雙曲線：；⑶拋物線：2．結(jié)論：⑴直線和圓錐曲線相交的弦長公式:若弦端點為,則,或,或.注：①拋物線：＝x12；②通徑（最短弦）：?。E圓、雙曲線：；ⅱ）拋物線：2p.⑵過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設(shè)為：（同時大于0時表示橢圓；時表示雙曲線）；當點和橢圓短軸頂點重合時最大；⑶雙曲線中的結(jié)論：①雙曲線（a>0>0）的漸近線：；②共漸進線的雙曲線標準方程可設(shè)為為參數(shù)，≠0）；③雙曲線為等軸雙曲線漸近線相互垂直；⑷焦點三角形問題求解：利用圓錐曲線定義和余弦定理聯(lián)立求解。3．直線和圓錐曲線問題解法：⑴干脆法（通法）：聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。留意以下問題：①聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程？②直線斜率不存在時考慮了嗎？③判別式驗證了嗎？⑵設(shè)而不求（點差法代點作差法）：處理弦中點問題步驟如下：①設(shè)點A(x1，y1)、B(x22)；②作差得；③解決問題。4．求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義；（2）干脆法（列等式）；（3）代入法（又稱相關(guān)點法或坐標轉(zhuǎn)移法）；⑷待定系數(shù)法；（5）消參法；（6）交軌法；（7）幾何法。第七部分平面對量1.平面上兩點間的距離公式:，其中A，B.2.向量的平行和垂直：設(shè)，且，則：①∥=λ；②()·=0.3·<>21y2；注：①<>叫做a在b方向上的投影；<>叫做b在a方向上的投影；=2\*3②a·b的幾何意義：a·b等于和在a方向上的投影<>的乘積。4<>=；5.三點共線的充要條件：P，A，B三點共線。第八部分數(shù)列1．定義：⑵等比數(shù)列2．等差、等比數(shù)列性質(zhì)：等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式前n項和性質(zhì)①(n－m)d,①;②時②時③成③成④成,④成,3．常見數(shù)列通項的求法：S1(1)－S1(1)－1(n≥2)4．前項和的求法：⑴分組求和法；⑵錯位相減法；⑶裂項法。5．等差數(shù)列前n項和最值的求法：⑴最大值；⑵利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。第九部分不等式1．均值不等式：留意：①一正二定三相等；②變形：。2．極值定理：已知都是正數(shù)，則有：(1)假如積是定值，那么當時和有最小值；(2)假如和是定值，那么當時積有最大值.3.解一元二次不等式:若,則對于解集不是全集或空集時,對應的解集為“大兩邊，小中間”.如:當,；.4.含有肯定值的不等式：當時，有：①；②或.5.分式不等式：（1）；（2）；（3）；（4）.6.指數(shù)不等式和對數(shù)不等式(1)當時,；.(2)當時,；3．不等式的性質(zhì)：⑴；⑵；⑶；；⑷；；;⑸;⑹第十部分復數(shù)1．概念：⑴∈0(∈R)z2≥0；⑵是虛數(shù)b≠0(∈R)；⑶是純虛數(shù)0且b≠0(∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；⑷且(∈R)；2．復數(shù)的代數(shù)形式及其運算：設(shè)z1=a+,z2=c+(∈R)，則：（1）z1±z2=(a+b)±(c+d)i；⑵z12=()·()＝（）+()i；⑶=(z2≠0);3．幾個重要的結(jié)論：=1\*3①；=2\*3②=3\*3③性質(zhì)：4；；4．模的性質(zhì)：⑴；⑵；⑶。5.實系數(shù)一元二次方程的解：①若,則;②若,則;③若，它在實數(shù)集內(nèi)沒有實數(shù)根；在復數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個共軛復數(shù)根.第十一部分概率1．事務的關(guān)系：⑴事務B包含事務A：事務A發(fā)生，事務B肯定發(fā)生，記作；⑵事務A和事務B相等：若，則事務A和B相等，記作；⑶并（和）事務：某事務發(fā)生，當且僅當事務A發(fā)生或B發(fā)生，記作（或）；⑷并（積）事務：某事務發(fā)生，當且僅當事務A發(fā)生且B發(fā)生，記作（或）；⑸事務A和事務B互斥：若為不行能事務（），則事務A和互斥；=6\*2⑹對立事務：為不行能事務，為必定事務，則A和B互為對立事務。2．概率公式：⑴互斥事務（有一個發(fā)生）概率公式：P()(A)(B)；⑵古典概型：；⑶幾何概型：；第十二部分統(tǒng)計和統(tǒng)計案例1．抽樣方法：⑴簡潔隨機抽樣：一般地，設(shè)一個總體的個數(shù)為N，通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本，且每個個體被抽到的機會相等，就稱這種抽樣為簡潔隨機抽樣。注：①每個個體被抽到的概率為；②常用的簡潔隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數(shù)表法。⑵系統(tǒng)抽樣：當總體個數(shù)較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然后依據(jù)預先制定的規(guī)則，從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。注：步驟：①編號；②分段；③在第一段采納簡潔隨機抽樣方法確定起始的個體編號；④按預先制定的規(guī)則抽取樣本。⑶分層抽樣：當已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的狀況，將總體分成幾部分，然后依據(jù)各部分占總體的比例進行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。注：每個部分所抽取的樣本個體數(shù)=該部分個體數(shù)注:以上三種抽樣的共同特點是：在抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等2．頻率分布直方圖和莖葉圖：=1\*2⑴用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖。=2\*2⑵當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即其次個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖。3．總體特征數(shù)的估計：⑴樣本平均數(shù)；⑵樣本方差；⑶樣本標準差=3．相關(guān)系數(shù)（判定兩個變量線性相關(guān)性）：注：⑴>0時，變量正相關(guān)；<0時，變量負相關(guān)；⑵當越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)性越強；當越接近于0時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。4．回來直線方程，其中第十三部分算法初步1．程序框圖：⑴圖形符號：①終端框（起止框）；②輸入、輸出框；③處理框（執(zhí)行框）；④推斷框；⑤流程線；⑵程序框圖分類:①依次結(jié)構(gòu)：②條件結(jié)構(gòu)：③循環(huán)結(jié)構(gòu)：r=0?否求n除以i的余數(shù)輸入n是n不是質(zhì)數(shù)n是質(zhì)數(shù)12或0?否是注：循環(huán)結(jié)構(gòu)分為：Ⅰ．當型（型）——先推斷條件，再執(zhí)行循環(huán)體；Ⅱ．直到型（型）——先執(zhí)行一次循環(huán)體，再推斷條件。2．基本算法語句：⑴輸入語句“提示內(nèi)容”；變量；輸出語句：“提示內(nèi)容”；表達式賦值語句：變量=表達式⑵條件語句：①②條件條件語句體語句體1語句體2⑶循環(huán)語句：①當型：②直到型:條件