第6講高二數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽專題訓(xùn)練-等差數(shù)列（原卷版）

第6講高二數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽專題訓(xùn)練——等差數(shù)列【題型目錄】模塊一：易錯(cuò)試題精選模塊二：培優(yōu)試題精選模塊三：名校競(jìng)賽試題精選【典型例題】模塊一：易錯(cuò)試題精選1．在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列（

）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)2．?dāng)?shù)列滿足（，），，其前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．47 B．46 C．45 D．443．1934年，東印度（今孟加拉國(guó)）學(xué)者森德拉姆（Sundaram）發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”如下圖，則其第10行第11列的數(shù)為（

）A．220 B．241 C．262 D．2644．已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，如果關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解，那么以下2023個(gè)方程中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有（

）個(gè)A．1009 B．1010 C．1011 D．10125．已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為（

）A．1460 B．1472C．1666 D．16786．已知分別是等差數(shù)列與的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．7．（多選題）己知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值C．若等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為170，前10項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為9∶8，則公差為2D．若是等差數(shù)列，則三點(diǎn)、、共線8．（多選題）為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，若，且，則(

)A．B．C．對(duì)于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得D．一定存在三個(gè)正整數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，，三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列9．（多選題）設(shè)數(shù)列是公差為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，且，則（）A． B． C． D．，為的最小值10．（多選題）公差為d的等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，則下列選項(xiàng)，正確的有（

）A．d＞0 B．時(shí)，n的最大值為9C．有最小值 D．時(shí)，n的最大值為1711．（多選題）等差數(shù)列的各項(xiàng)，設(shè)其前項(xiàng)和為，且，則以下命題正確的是（

）A．的值不可能為0：B．當(dāng)時(shí)，的最小值為18C．等式恒成立D．當(dāng)值最大時(shí)，的值為912．已知數(shù)列中，，，則通項(xiàng)公式______.13．若各項(xiàng)均不為零的數(shù)列滿足，，且，則______．14．已知數(shù)列滿足，n為正整數(shù)，則____________．15．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.16．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則______．17．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所有被3除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，所有被5除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，把數(shù)列與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，則數(shù)列的第10項(xiàng)是數(shù)列的第______項(xiàng).18．已知數(shù)列的各項(xiàng)都不相同，且，，，則正整數(shù)的最大值和最小值之和為_(kāi)____．19．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和滿足，那么_________.20．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則___________.21．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．(1)求：(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．23．設(shè)是集合且中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即．將數(shù)列各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：(1)寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；(2)求．24．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前100項(xiàng)和，其中[x]表示不小于x的最小整數(shù)，如.25．設(shè)等差數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為，若數(shù)列也為等差數(shù)列，則______；的最大值是______.26．已知數(shù)列滿足，記，則_____________；_____________．27．?dāng)?shù)列與均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為與，若，則__________，使得為整數(shù)的值個(gè)數(shù)__________.模塊二：培優(yōu)試題精選1．已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16…，設(shè)N為項(xiàng)數(shù)，求滿足條件“且該數(shù)列前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪”的最小整數(shù)N的值為（

）A．110 B．220 C．330 D．4402．?dāng)?shù)列滿足，，則數(shù)列的前80項(xiàng)和為（

）A．1640 B．1680 C．2100 D．21203．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且4．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)，公差，若對(duì)任意的，總存在，使．則的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，若前2022項(xiàng)和小于零，則的值(

)A．恒為正數(shù) B．恒為負(fù)數(shù) C．恒為0 D．可正可負(fù)6．已知數(shù)列，，，，，，，，，n項(xiàng)記為，則滿足且的n的最小值為（

）A．47 B．48 C．57 D．587．已知等差數(shù)列滿足，若，則k的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．118．（多選題）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為.將數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新的數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．9．（多選題）滿足，，則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為10．（多選題）已知兩個(gè)等差數(shù)列和，其公差分別為和，其前項(xiàng)和分別為和，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，則 B．若為等差數(shù)列，則C．若為等差數(shù)列，則 D．若，則也為等差數(shù)列，且公差為11．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知對(duì)任意的，，且存在，，則的取值集合為_(kāi)_____（用列舉法表示）12．若三邊長(zhǎng)為等差數(shù)列，則的取值范圍是___________.13．若集合，則集合中元素有______個(gè).14．已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，證明是等差數(shù)列；(3)證明：.15．已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足：①；②．若存在一個(gè)非零常數(shù)，對(duì)任意，都成立，則稱數(shù)列為周期數(shù)列．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)求證：存在正整數(shù)，使得；(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)滿足：①數(shù)列為周期數(shù)列；②存在正奇數(shù)，使得．若存在，求出所有的可能值；若不存在，說(shuō)明理由．16．已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，對(duì)任意的，定義.(1)若，求；(2)若，且.（i）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（ii）當(dāng)時(shí)，求證：數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均不會(huì)在該數(shù)列中出現(xiàn)無(wú)數(shù)次.17．已知{}是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列．若對(duì)于{}中任意兩項(xiàng)，，在{}中都存在一項(xiàng)，使得，則稱數(shù)列{}具有性質(zhì)P．(1)已知，判斷數(shù)列{}，{}是否具有性質(zhì)P；(2)若數(shù)列{}具有性質(zhì)P，證明：{}的各項(xiàng)均為整數(shù)；(3)若，求具有性質(zhì)P的數(shù)列{}的個(gè)數(shù)．18．在數(shù)列中，，，，則_______；的前2022項(xiàng)和為_(kāi)______．19．有名同學(xué)在玩一個(gè)數(shù)字哈哈鏡游戲，這些同學(xué)編號(hào)依次為：1，2，…，，在游戲中，除規(guī)定第位同學(xué)看到的像用數(shù)對(duì)（其中）表示外，還規(guī)定：若編號(hào)為的同學(xué)看到的像為，則編號(hào)為的同學(xué)看到的像為，，已知編號(hào)為1的同學(xué)看到的像為，則編號(hào)為5的同學(xué)看到的像是______，編號(hào)為的同學(xué)看到的像為_(kāi)_____．20．若正項(xiàng)數(shù)列滿足，且對(duì)任意的正整數(shù)，有，則___________，___________.模塊三：名校競(jìng)賽試題精選1．（2022·四川·樹(shù)德中學(xué)高一競(jìng)賽）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則使得成立的最小正整數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）數(shù)列{an}滿足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1對(duì)任何的正整數(shù)n都成立，則的值為（）A．5032 B．5044 C．5048 D．50503．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)之和,若不等式對(duì)任何等差數(shù)列及任何正整數(shù)n恒成立，則的最大值為（

）A．0 B． C．2 D．14．（2007·吉林·高三競(jìng)賽）等差數(shù)列{an}中，a1＝－5，它的前11項(xiàng)的平均值是5，若從中抽取1項(xiàng)，余下的10項(xiàng)的平均值是4，則抽取的是()A．a(chǎn)11 B．a(chǎn)10 C．a(chǎn)9 D．a(chǎn)85．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，的第1000項(xiàng)的值是

（

）A．42 B．45 C．48 D．516．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）若橢圓上有個(gè)不同的點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，組成公差的等差數(shù)列，則的最大值為（

）A．199 B．200 C．99 D．1007．（2015·黑龍江·高三競(jìng)賽）設(shè)等差數(shù)列滿足：，公差．若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是A． B． C． D．8．（2011·遼寧大連·高二競(jìng)賽（文））在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)有條弦的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為，若公差，那么的取值集合為（

）A． B． C． D．9．（2022·江蘇蘇州·高二競(jìng)賽）若等差數(shù)列滿足，則的值為_(kāi)__________.10．（2022·四川·樹(shù)德中學(xué)高一競(jìng)賽）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則______．11．（2018·陜西·高三競(jìng)賽）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，成等差，則的值為_(kāi)__________.12．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)數(shù)列中，（a為非零實(shí)數(shù)），則數(shù)列的通項(xiàng)為_(kāi)_______．13．（2020·江蘇·高三競(jìng)賽）從集合中取出225個(gè)不同的數(shù)，組成遞增的等差數(shù)列，滿足要求的數(shù)列共有_________個(gè)．14．（2019·新疆·高三競(jìng)賽）設(shè)n為正整數(shù).若1+2+…+n的和恰好等于一個(gè)三位數(shù)且該三位數(shù)的每個(gè)數(shù)字均相同，則所有可能的n值為_(kāi)___________.15．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)，且對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得.這樣的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.16．（2017·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一競(jìng)賽）將正整數(shù)，，，，按第組含個(gè)數(shù)分組：，，，.那么在第__________組.17．（2019·貴州·高三競(jìng)賽）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若,均為公差為d的等差數(shù)列，則________.18．（2019·浙江省余姚市第四中學(xué)高一競(jìng)賽）已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則_____．19．（2019·浙江省余姚市第四中學(xué)高一競(jìng)賽）等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，若,則______;20．（2017·河南·高三競(jìng)賽（理））在數(shù)列中，，，且（），則的值是__________．21．（2015·福建·高三競(jìng)賽）已知函數(shù)，數(shù)列中，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和____．22．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知連續(xù)個(gè)正整數(shù)總和為，且這些數(shù)中后個(gè)數(shù)的平方和與前個(gè)數(shù)的平方和之差為．若，則的值為_(kāi)______．23．（2015·江蘇·高三競(jìng)賽（文））已知命題：“在等差數(shù)列中，若