非流通股條件下的拍賣(mài)均衡

根據(jù)期望效用公式，得到：=Ev+ （10）（10）式代入（9）式并與（1）式聯(lián)立，推出：=+ （11）對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等，得到： （12）（12）式與（8）式聯(lián)立，得到： （13） （14）根據(jù)最大值存在的二階條件：，所以上述開(kāi)方取正值。并且，要使參數(shù)值表達(dá)式有意義，當(dāng)且僅當(dāng)，從而得到。（12）式代入（11）式化簡(jiǎn)后得到：+，求解結(jié)果為： （15）進(jìn)一步，該結(jié)果代入（7）式得到： （16）（16）和（13）式代入（2）式，得到： （17）（15）、（14）和（17）式代入（4）式，得到： （18）從（17）式可知， （19）因?yàn)?，x和u都服從正態(tài)分布，經(jīng)過(guò)計(jì)算可以推出： （20） （21）根據(jù)連續(xù)分布隨機(jī)變量的貝葉斯更新規(guī)則，可知（21）式中定義的驗(yàn)后均值為：連續(xù)隨機(jī)變量的貝葉斯更新法則：MaureenO連續(xù)隨機(jī)變量的貝葉斯更新法則：MaureenO’Hara,MarketMicrostructureTheory.81-84由于很多微觀結(jié)構(gòu)合理性預(yù)期的模型都使用了正態(tài)分布，這里只考慮隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的情況。假設(shè)參數(shù)u的密度函數(shù)為：g(u)；在給定u的條件下，另外一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)是：f(x|u)，那么給定x的條件下，u的后驗(yàn)概率密度為：例如：g(u)是，f(x|u)是，則g(u|x)服從。我們可以看到：第一、后驗(yàn)概率仍然服從正態(tài)分布；第二、如果我們定義方差的倒數(shù)叫做精確度，那么后驗(yàn)概率中的方差就是精確度之和的倒數(shù)，這就為計(jì)算后驗(yàn)概率提供了一個(gè)簡(jiǎn)便的方法。第三、假設(shè)T個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，則給定的條件下，u的驗(yàn)后概率是。當(dāng)T趨于無(wú)窮時(shí)，根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定律，上述方差趨于零。 （22）用同樣的方法可以得到： （23）說(shuō)明：上述計(jì)算過(guò)程中包含了線性均衡的存在性和唯一性。因?yàn)樽畲蠡淮嬖谝粋€(gè)最優(yōu)的線性解。附錄二：一期拍賣(mài)結(jié)果關(guān)于的比較靜態(tài)分析關(guān)于的比較靜態(tài)分析:（1）：（14）式對(duì)微分，得到：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此符號(hào)依賴(lài)于和的大小關(guān)系。（2）：（13）式對(duì)微分，得到：，因此，。（3）（16）式對(duì)微分，得到：因此，。（4）（15）式對(duì)微分，得到：，因此，。（5）（2）式對(duì)微分，得到：，從上面的結(jié)果很容易看出，。（6）（18）式對(duì)微分，得到：當(dāng)>0時(shí)，也即知情交易者買(mǎi)入資產(chǎn)時(shí)，。（7）由（22）式可知，在給定(x+u)的條件下，。當(dāng)時(shí)，，因此，；當(dāng)時(shí)，，因此符號(hào)不確定。（8）（18）式對(duì)微分，得到：，因此， 附錄三：多期拍賣(mài)情況下均衡的結(jié)構(gòu)我們求解滿足下面三個(gè)條件的多期拍賣(mài)均衡。（=1\*romani）知情交易者在各個(gè)時(shí)期提交的交易指令是每股利潤(rùn)（）的增函數(shù)，不妨設(shè)為：。并且當(dāng)時(shí)，知情交易者買(mǎi)進(jìn)股票；當(dāng)時(shí)，知情交易者賣(mài)出股票，因此。（=2\*romanii）各個(gè)時(shí)期的價(jià)格為，它具有線性形式，我們?cè)O(shè)為：，這里，h是以前各期總交易量的函數(shù)，b是等待確定的系數(shù)。要求在均衡時(shí)h=0，即以前各期的信息對(duì)第n期價(jià)格的影響只體現(xiàn)在第n-1期的價(jià)格中。（=3\*romaniii）每個(gè)時(shí)期的預(yù)期利潤(rùn)函數(shù)滿足一般項(xiàng)形式：，這里a是待確定的系數(shù)，中不包含v和項(xiàng)。從利潤(rùn)函數(shù)的表達(dá)式可以看出v和的關(guān)系具有完全平方的形式。我們首先從： （24）和 （25）出發(fā)，根據(jù)：第一，知情交易者追求預(yù)期利潤(rùn)最大化；第二，定價(jià)規(guī)則：=。因?yàn)椋? （26） （27）將（24）式代入（27）式，得到：＝（28）F.O.C.（29）S.O.C. （30）化簡(jiǎn)（28）式，推出： （31）由（24）式可以推出： （32）由定價(jià)規(guī)則得到：＝0，因此＝0 （33）將（31）式代入（33）式，整理化簡(jiǎn)后，得到： （34）h=0的充分必要條件是：＝0 （35）根據(jù)（30）式最大化問(wèn)題的二階條件，并將定價(jià)規(guī)則代入上式，化簡(jiǎn)后有： （36）將h=0代入的表達(dá)式，得到： （37）是知情交易者的交易指令函數(shù)，它可以大于零，也可以小于零。當(dāng)時(shí)，知情交易者買(mǎi)入資產(chǎn)；當(dāng)時(shí)，知情交易者賣(mài)出資產(chǎn)。知情交易者買(mǎi)入還是賣(mài)出資產(chǎn)是由資產(chǎn)價(jià)值和資產(chǎn)價(jià)格的大小關(guān)系決定的。當(dāng)他作為一個(gè)買(mǎi)者時(shí)，買(mǎi)入量是資產(chǎn)價(jià)值的增函數(shù)，是資產(chǎn)價(jià)格的減函數(shù)；當(dāng)他作為一個(gè)賣(mài)者時(shí)，賣(mài)出量是資產(chǎn)價(jià)值的減函數(shù)，是資產(chǎn)價(jià)格的增函數(shù)。在這里，我們不妨只考慮知情交易者買(mǎi)入資產(chǎn)的情況。知情交易者賣(mài)出資產(chǎn)的情況應(yīng)該求解下的利潤(rùn)最大化問(wèn)題。因此我們可以將看成是一個(gè)交易量的絕對(duì)值,。令 （38）同時(shí)，（30）式保證了。由此，我們可以進(jìn)一步假設(shè)： （39） （40）根據(jù)中v和的關(guān)系，可以得到： （41）將（41）式代入（38）式，得到的另外一種表達(dá)式： （42）（41）和（36）式是下面求解中要用到的的關(guān)鍵性的式子。將（41）式代入（36）式，得到： （43）進(jìn)而有， （44）我們對(duì)（44）式分成兩種情況討論：情況一：當(dāng)時(shí)代入（44）式，右端等于零，因此等式左端也等于零，即： （45）（45）式與聯(lián)立，同時(shí)因?yàn)?，，，可以推出? （46）將的結(jié)果代入（41）式，有： （47）（41）式代入中，得到。所以是存在均衡和的必要條件。若，從可以得知，（46）式成立，從而可以得到。因此，也是均衡和存在的充分條件，即當(dāng)時(shí)，必存在一個(gè)均衡和。但是，現(xiàn)在還不能說(shuō)明和是條件下的唯一的一個(gè)滿足條件的線性均衡。情況二：當(dāng)時(shí)從（44）式可以推出： （48）說(shuō)明：=1\*GB3①a、b、和均為常數(shù)，因此可以判斷是常數(shù)；=2\*GB3②根據(jù)文中對(duì)參數(shù)的設(shè)定及其經(jīng)濟(jì)含義，認(rèn)為，從而得到： （49）=3\*GB3③從（48）式，若能夠得到b關(guān)于和的顯示解，代入上式便可以得到的取值范圍。雖然目前尚未求出的取值范圍，但是從表達(dá)式可以看出，在多期拍賣(mài)的情況下，各期均衡對(duì)取值范圍的要求是一致的，因?yàn)椋?8）式與時(shí)期n無(wú)關(guān)。因?yàn)樵跁r(shí)，仍然存在的可能性，所以我們?cè)俜譃閮煞N情況討論。（=1\*ROMANI）當(dāng)時(shí)將的條件代入（48）式，有，并且。此結(jié)果代入（41）式得到，代入S.O.C.，得到：。這與（30）式矛盾。所以，當(dāng)時(shí)，存在唯一的滿足條件的線性均衡和，并且是這各線性均衡存在的充分必要條件。（=2\*ROMANII）當(dāng)時(shí)我們現(xiàn)在繼續(xù)討論的目的是想分析，除了和外，是否還存在其他滿足條件的線性均衡?？梢宰⒁獾?，在前面的討論中我們只使用了條件（=1\*romani）和（=2\*romanii）。下面，我們要引入條件（=3\*romaniii）。很容易證明，均衡和是滿足條件（=3\*romaniii）的。我們把的表達(dá)式和的表達(dá)式的表達(dá)式代入的表達(dá)式（27）式中，并且利潤(rùn)函數(shù)中的參數(shù)值滿足最大化的一階條件和定價(jià)規(guī)則，即（36）式和（41）式成立。 （50）應(yīng)該具有這樣的形式，其中。因此上式中的各個(gè)系數(shù)a、b、和的取值應(yīng)該滿足給定的形式。若記（50）式中前的系數(shù)為，前的系數(shù)為，前的系數(shù)為，則應(yīng)有下式成立： （51） （52）根據(jù)（50）式，可以得到、和的表達(dá)式： （53） （54） （55）其中的值由（38）式確定。根據(jù)（51）式，有：，將（53）、（55）、（38）、（42）和（41）式代入，整理化簡(jiǎn)后，得到：＝0 （56）根據(jù)（52）式，有：，將（53）、（55）、（38）、（42）和（41）式代入，整理化簡(jiǎn)后，得到： （57）（56）式移項(xiàng)有： （58）（57）式移項(xiàng)有： （59）我們考慮、的解，用（58）式與（59）式做比值。、，并且由（30）式得到，故而分母不為零。推出：，進(jìn)一步得到：1＝0，顯然不成立。這就證明了、不成立，在均衡時(shí)，滿足我們所要求的三個(gè)條件的線性均衡是唯一的，即和。附錄四：多期拍賣(mài)的序貫均衡的求解和唯一性的證明在定理三的證明過(guò)程中已經(jīng)包含了多期拍賣(mài)序貫均衡部分求解和唯一性的證明。我們已經(jīng)知道，滿足三個(gè)條件要求的線性均衡的a和b的解是唯一的，即和，并且他們成立的充分必要條件是：。下面我們?cè)诘那闆r下求解均衡解。將，和代入（38）式，得到： （60）將，和代入（24）式，得到： （61）將，和代入（25）式，得到： （62）根據(jù)利潤(rùn)最大化的求解過(guò)程，可以得到： （63）和 （64）定價(jià)規(guī)則從數(shù)學(xué)上看是一個(gè)后驗(yàn)概率：= （65）記后驗(yàn)方差為:= （66）=，因?yàn)?，由第n期的交易量引起，因此獨(dú)立于。設(shè)，則令那么從期望效用公式或者貝葉斯學(xué)習(xí)過(guò)程公式都可以求出： （67）因?yàn)椋远▋r(jià)規(guī)則（65）式可以寫(xiě)做：= （68）將（67）式的結(jié)果整理后帶入（68）式，得到： （69）其中 （70）利用貝葉斯學(xué)習(xí)過(guò)程公式計(jì)算驗(yàn)后方差： （71）因?yàn)榘眩?1）式帶入上式，化簡(jiǎn)后有： （72）從而可以得出： （73）將（73）式帶入（71）式，有： （74）根據(jù)（60）式，可以得到：，把它代入（63）式，計(jì)算化簡(jiǎn)后，有： （75）我們把上面得到的多期拍賣(mài)均衡結(jié)果總結(jié)如下：（=1\*alphabetica）其中 （60）（=2\*alphabeticb） （62）其中， （75） （64）（=3\*alphabeticc） （61）其中 （72）（=4\*alphabeticd） （74）下面需要證明的是由（60）、（75）、（72）、（74）組成的差分方程組有唯一解，它們需要滿足的值條件和最大化問(wèn)題的二階條件。對(duì)這個(gè)結(jié)論我們只進(jìn)行簡(jiǎn)單的說(shuō)明，里面的思想與Kyle（1985）中的相應(yīng)證明十分類(lèi)似。從（72）式中解出的表達(dá)式并將其帶入（60）式，得到：，進(jìn)一步變形，有： （76）在（76）式的兩側(cè)同時(shí)加1，移項(xiàng)化簡(jiǎn)整理后，得到： (77)給定、（77）式是關(guān)于的三次方程，該方程應(yīng)該有三個(gè)根，但是最大的根和最小的根都不能滿足最大化的二階條件，只有中間的根符合二階條件的要求。這樣從（77）是就得到了的唯一解，將這個(gè)階代入微分方程組，用倒推法可以求出其他參數(shù)各個(gè)時(shí)期的解。從邊值條件出發(fā)用倒推法得到的微分方程組中只有一個(gè)解滿足資產(chǎn)真實(shí)價(jià)值的方差。這就完成了多期拍賣(mài)的序貫均衡唯一性的證明。附錄五：多期拍賣(mài)均衡與Kyle（1985）模型多期拍賣(mài)均衡的比較為了便于與Kyle（1985）的模型作比較，我們用下劃線表示Kyle模型中的系數(shù)，以示區(qū)別。在Kyle模型中有與（77）式相對(duì)應(yīng)的式子： （78）若，和滿足（78）式，令，和代入（78）式中，可以得到,即，（84）式成立。所以若，和是（78）式的解，則（77）式必存在一組解，和，使得，和。根據(jù)（77）式和（78）式的解的關(guān)系，我們猜測(cè)Kyle（1985）模型的均衡解與我們這里得到的均衡解之間的關(guān)系如下：；；；；。（79）下面驗(yàn)證這個(gè)猜想：將上述關(guān)系代入（60）式，化簡(jiǎn)后得到：，因此成立；代入（75）式，化簡(jiǎn)后得到：，因此成立。代入（72）式，化簡(jiǎn)后得到：，，因此成立。代入（74）式，化簡(jiǎn)后得到：，因此成立。Kyle（1985）在他的文章中分析，方程（78）是一個(gè)三次方程，應(yīng)該有三個(gè)根。但是根據(jù)最大化問(wèn)題的二階條件，最大的根和最小的根都不能滿足二階條件，因此唯一的均衡解是三個(gè)根中的中間值。由此，我們也可以推出（77）這個(gè)三次方程的三個(gè)根中，滿足最大化問(wèn)題二階條件的根只有一個(gè)，即中間值得根是唯一的均衡。然后將上述參數(shù)之間的關(guān)系代入知情交易者交易指令函數(shù)、做市商定價(jià)函數(shù)以及知情交易者利潤(rùn)函數(shù)，得到下面的結(jié)果：在給定總交易量的情況下 （80）將（80）式代入中，有： （81）將（81）代入中，有：（82）附錄六：b的取值與取值范圍的關(guān)系這里，我們只考慮的情況。根據(jù)b的取值確定的取值范圍：從（48）式和（40）式可以推出： （83）（83）式等價(jià)于下面兩個(gè)方程組： （84）或 （85）求解（84）式得到： （86）求解（85）式得到： （87）也就是說(shuō)，在的情況下，要求，而是大于的，因此一定要大于；在的情況下，要求，而是小于的，因此一定要小于。而事實(shí)上，和都是外生給定的，也就是我們是在和大小關(guān)系給定的情況下討論問(wèn)題。所以，下面我們分為和，討論b的取值范圍?；?jiǎn)（83）式得到： （88）當(dāng)時(shí)，求解（88）式，結(jié)果為： （89）當(dāng)時(shí)，求解（89）式，結(jié)果為： （90）（可以進(jìn)一步分析b大于或者小于1的經(jīng)濟(jì)含義）附錄七：多期拍賣(mài)的序貫均衡的極限從（68）式可以推出： （91）把的表達(dá)式（70）式代入（91）式，得到： （92）令，因?yàn)椋?2）式左側(cè)與（91）式左側(cè)是相同的因子，所以（89）式的右側(cè)與（88）式的右側(cè)相等，將，代入這個(gè)等式，得到：，由此推出：，即： （93）把（74）式代入（60）式，得到： （94）從（74）式，計(jì)算，結(jié)果為： （95）利用（93）式和（94）式消去得到： （96）令 （97）將（97）式代入（96）式，化為： （98）在（71）式的兩側(cè)同時(shí)除以，并將（98）式代入所得的商中，有： （99）將（98）式代入（95）式中，得到： （100）從（97）式可以推出，作比值，則，將（99）式和（100）式代入，得到： （101）進(jìn)一步有： （102）（101）式是關(guān)于的差分方程。由＝0和＝0的邊值條件，代入（97）式可知，。從邊值出發(fā)利用倒退法，可以得到的差分方程的解。需要注意的是，在每一步都要求解一個(gè)三次方程，所以在理論上可以得到三個(gè)根。但是只有一個(gè)根具有經(jīng)濟(jì)含義，并且滿足條件：，并且滿足：當(dāng)時(shí)，，由此得到： （103）（=1\*alphabetica）求解的表達(dá)式從（99）式，得到：。當(dāng)時(shí)，上式化為一個(gè)微分方程：，這個(gè)微分方程的解為： （104）（=2\*alphabeticb）求解的表達(dá)式從（100）式，得到：。當(dāng)時(shí)，上式化為一個(gè)微分方程：，因此有：＝常數(shù) （105）（=3\*alphabeticc）求解的表達(dá)式將（91）式的形式做少許變化，得到：，并將（98）式代入，得到：。當(dāng)時(shí)，上式化為一個(gè)微分方程：，因此： （106）（=4\*alphabeticd）求解的表達(dá)式根據(jù)（72）式，我們推測(cè)極限情況下和應(yīng)具有類(lèi)似的關(guān)系： （107）（106）式和（107）式聯(lián)立，可以求出： （108）（108）代入（106）得到： （109）同樣的，根據(jù)（75）式，我們推測(cè)極限情況下的類(lèi)似于（75）式的表達(dá)式為：，從而可以解出： （110）由（64）式，可以得到：。當(dāng)時(shí)，上式化為一個(gè)微分方程：。求解這個(gè)微分方程，并且根據(jù)的邊值條件，得到： （111）附錄八：連續(xù)拍賣(mài)均衡的求解定義： (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118)由（115）式，可知： （119）將（113）式代入（112）式，得到： （120）（120）式與（117）式相比較，可以看出： （121） （122）將（113）式代入（114）式，推出： （123）用（123）式代替（121）式中的相應(yīng)因子，得到： （124）從而有： （125）進(jìn)一步推出： （126）（126）式代入（119）式中，有：（127）下面的求解分為兩步這里的分析與Kyle（1985）相應(yīng)部分的分析是完全一樣的，因而比較簡(jiǎn)略。有興趣的讀者可以參考Kyle,A.S.,1985,這里的分析與Kyle（1985）相應(yīng)部分的分析是完全一樣的，因而比較簡(jiǎn)略。有興趣的讀者可以參考Kyle,A.S.,1985,“ContinuousAuctionsandInsiderTrading”,Econometrica53,1328-1330.第一步：證明是常數(shù)并且。首先可以看到，如果知情交易者達(dá)到（127）式的最大化，一定有，這就意味著在交易結(jié)束的時(shí)候，知情交易者的私人信息完全反映在價(jià)格中。如果在某段時(shí)間內(nèi)減小，那么在增加之前，知情交易者就可以通過(guò)使大幅增加，而使利潤(rùn)無(wú)窮大。但是這個(gè)結(jié)果與我們均衡的定義相矛盾。故不可能是遞減函數(shù)。而在另外一方面，從最大化（127）式的角度考慮，當(dāng)取到最小值時(shí)，一定有在那個(gè)時(shí)刻的＝0，如果是遞增的函數(shù)，那么＝0的t值一定小于1，這就意味著交易雖然還沒(méi)有結(jié)束，但是知情交易者就完全喪失了私人信息優(yōu)勢(shì)，從這以后，價(jià)格的波動(dòng)為零。發(fā)生這樣的情況，要么是t＝0，即交易剛開(kāi)始，知情交易者的私人信息就完全暴露出來(lái)，其利潤(rùn)為零，但這顯然不是最大化問(wèn)題的解；要么是t是小于1大于0的某個(gè)值，而這又與非減的性質(zhì)相矛盾。綜上所述，是一個(gè)常數(shù)。從（123）和（124）式可以得到，價(jià)格變化的即時(shí)方差為：，也就是價(jià)格的波動(dòng)主要是由噪聲交易者的交易量引起的。同時(shí)，要滿足和有效市場(chǎng)條件就必須要求即時(shí)方差的積分等于資產(chǎn)的方差，即： （128）從而得到： （129）=2\*GB2⑵求解各個(gè)變量。求解（125）的微分方程，并代入的邊值條件和（129）式的結(jié)果，從而解出： （130） （131）（116）式0－t積分，可以解出： （132） （133）參考文獻(xiàn)Admati,A.,andPfleiderer,P.1988,“ATheoryofIntradayPatterns:VolumeandPriceVariability”,ReviewofFinancialStudies1,Spring:3-40.Admati,A.,andPfleiderer,P.1989,“DividandConquer:ATheoryofIntradayandDay-of-the-WeekMeanEffects”,ReviewofFinancialStudies2,189-224.Back,K.,1992,“InsiderTradinginContinuousTime”,ReviewofFinancialStudies5,387-410.Bagehot,W.[pseud.]1971,“TheOnlyGameinTown”,FinancialAnalystsJournalVol.27,12-14.Demsetz,H.1968,“TheCostofTransacting”,QuarterlyJournalofEconomicsVol.82,33-53.Easley,D.andO’Hara,M.,1987,“Price,TradeSize,andInformationinSecuritiesMarkets”,JournalofFinancialEconomics,19,69-90.Easley,D.andO’Hara,M.,1992,“TimeandtheProcessofSecurityPriceAdjustment”,JournalofFinance,47,577-606.Foster,F.D.,andS.Viswanathan,1990,“ATheoryoftheIntradayVariationinVolume,VarianceandTradingCostsinSecuritiesMarkets”,ReviewofFinancialStudies3:593-624.Glosten,L.R.andMilgrom,P.R.,1985,“Bid,AskandTransactionPricesinaSpecialistMarketwithHeterogeneouslyInformedTraders”.JournalofFinancialEconomics,14,71-100.Holden,C.W.,andA.Subrahmanyam,1992,“Long-livedPrivateInformationandImperfectCompetition”,JournalofFinance47,247-270.Kyle,A.S.,1984,“MarketStructure,Information,FutureMarkets,andPriceFormation”,inInternationalAgriculturalTrade:AdvancedReadingsinPriceFormation,MarketStructure,andPriceInstability,ed.ByG.Story,A.Schmitz,andA.Sarri