有關(guān)線性反問題的理解

有關(guān)線性反問題的理解概述世間的事物或現(xiàn)象之間往往存在著一定的自然順序，如時間順序、空間順序、因果順序，等等。所謂正問題，一般是按著這種自然順序來研究事物的演化過程或分布形態(tài)，起著由因推果的作用。反問題則是根據(jù)事物的演化結(jié)果，由可觀測的現(xiàn)象來探求事物的內(nèi)部規(guī)律或所受的外部影響，由表及里，索隱探秘，起著倒果求因的作用。事物總是充滿著辯證關(guān)系，科學(xué)也是這樣。在各種不同的學(xué)科領(lǐng)域中，人們經(jīng)常遇到量之間的轉(zhuǎn)化以及問題的“對稱”。最常見的量的轉(zhuǎn)化是已知量與未知量的轉(zhuǎn)化，如原問題的已知量變成了新問題的未知量，我們可以把這樣一對問題稱為正、反問題。例如在初等代數(shù)學(xué)中已知方程求根若稱其為正問題的話，那么由根求方程的系數(shù)就是代數(shù)方程的反問題。在矩陣論中，由矩陣求特征值也對應(yīng)著它的反問題-已知特征值反求矩陣。數(shù)學(xué)物理中的正變換、反變換更是舉不勝舉?？梢钥闯?，正、反兩方面都是科學(xué)研究的重要內(nèi)容。關(guān)于反問題淺顯的理解可表述為:對于A(f)=g,若已知給出算子A和f,g未知,那么求g是正問題;反之,若已知A和g,f未知，求f則是其反問題。此時,f可能不連續(xù)依賴于算子A。對于此類問題，經(jīng)典的做法往往是借助于某種范數(shù)意義下A*f與g的差達到極小值的f作為f的近似。最小二乘近似便是人們常常使用的辦法,即f=argmin^g頊f)|2。反問題研究的難度一般比相應(yīng)的正問題要大。這是因為反問題的求解往往違背了物理過程的自然順序，從而使正問題中的許多良好性質(zhì)不再滿足。由于微分方程反問題通常是不適定問題，這為數(shù)值求解帶來很大困難。不適定問題是相對適定問題來說的。適定性這個概念是J.Hadamard為研究數(shù)學(xué)物理方程合理搭配初始與邊界條件而提出來的。一個數(shù)學(xué)物理方程的定解問題是適定的，是指它的解具備存在性，唯一性和穩(wěn)定性(解連續(xù)依賴于數(shù)據(jù))三個條件，如果三個條件中至少有一個不滿足，則稱這個定解問題是不適定的。舉例考慮一根2m長的細桿，細桿兩端的溫度為0,細桿中點有一處熱源。假設(shè)細桿是一維的，即對細桿上的任意一點x有xe[0,2],那么,把穩(wěn)定狀態(tài)下該細桿的熱傳導(dǎo)方程可簡化為:a2T ￡—y —J，dx2x-0=°，x—這里,f是熱源，顯然，由條件，我們可假設(shè)f（x）僅在x=1處不為零,y是熱傳導(dǎo)系數(shù),并假定它是一個不依賴溫度和位置的常數(shù)。對于這個簡單的熱傳導(dǎo)模型，下面我們可以對這個模型定義其有關(guān)的正問題和反問題了。通常情況是，對于給定的y及f,求細桿的溫度分布函數(shù)T。如果稱該問題為正問題。那么換一個思路,當(dāng)達到穩(wěn)定狀態(tài)時，在細桿上均勻布置N個觀測點，得到了N個點的溫度觀測值,f按上述假設(shè)，要求熱傳導(dǎo)系數(shù)y。此時，就可以稱該問題為前面問題的反問題，或者有一個更科學(xué)的說法叫參數(shù)識別問題。為更清晰地了解正問題與反問題的求解,我們接下來對上述問題的數(shù)值求解進行簡述。這里，假設(shè)y=5,熱源f在中點值為10。如果利用有限元求解正問題,易知所得解線性方程組即為味叫k*T=b,解此方程即得細桿上分布各點的溫度Ti用此正問題的來模擬反問題中的條件，即加上服從Gauss分布的噪聲作為測量誤差，以此作為在N個觀測點獲得的溫度測量值，反求y的值。我們將使用最小二乘法來求解y。即求優(yōu)化問題,"=argminy云認慶的解作為y的近似值。向量T'是測量值（T，-T+5（T））,即加入噪聲的有限元解,而屬）為有限元近似解。選擇節(jié)點N的個數(shù)后，在每組節(jié)點上做十次實驗。當(dāng)取N=3時，獲得的數(shù)據(jù)如下：times12345T4.96794.89235.13934.94884.9809times678910y5.07975.02624.97954.79414.8392Meanvalue4.9648

對該組實驗數(shù)據(jù)取平均，得到的估計值為4.9648,和真實值5相比，具有較高的精確度。算法D.L.Phillips和A.H.Tikhonov相繼獨立地提出了求解不適定問題的正則化方法(TheRegularizationMethod)。以后經(jīng)過許多數(shù)學(xué)工作者的努力，特別是近二十年用于解非線性不適定問題的正則化方法得到了廣泛研究，正則化方法的理論逐步完善起來。目前Tikhonov正則化方法已成為求解不適定問題的主要方法，也是解決實際反問題的首選方法。這一方法為處理反問題奠定了堅實而廣泛的理論基礎(chǔ)，后來的許多發(fā)展和推廣蓋源于此，其基本思想是：用一族與原問題相鄰近的適定問題的解去逼近原問題的解，設(shè)法構(gòu)造一個連續(xù)的算子(正則算子)去逼近不連續(xù)算子將不適定問題轉(zhuǎn)化為適定問題，從而得到原始問題的近似解。從而，如何構(gòu)造鄰近的問題而獲得正則算子和正則解、如何構(gòu)造與原問題的鄰近程度而決定與原始資料的誤差水平相匹配的正則參數(shù)以及如何實現(xiàn)上述問題，就成為正則化方法的核心問題。如用三階牛頓法，xn+1=xn-F'G)1F(xn)+F(*n*J-2y)x*n+1=xn-FG)1(F(xn)-y) 正則^化，得到新的迭代格式+ 正則^化，得到新的迭代格式+心)1F，O(FJ)+F。)一2疽2 x x z°婦yu+兇I』F45)F(5)-y5)n1 n n/F4)F4)4n)F4)其中上標(biāo)5表示迭代誤差。下面簡單介紹Tikhonov正則化方法，考慮具有如下形式的線性算子間題:Ax=y(1)其中A是由Hilbert空間X到Hilbert空間Y的有界線性算子。方程(1)的最小二乘解滿足方程A*Ax=A*y,其中A*是A的共扼算子,又因為A*A具有非負的特征值。因此對于任意正數(shù)aA*A+aI具有嚴格正的特征值，于是方程

(4*A+aI匕=&J (2)是適定的。通過適當(dāng)選取a值，我們用方程(2)的解作為原非適定間題(1)的解的近似。方程(2)稱為方程(1)的正則化形式，并稱方程(2)的唯一解(a*A+aI)】A*j為正則解。這就是經(jīng)典的Tikhonov正則化方法。程序示例Prol:⑴InputaM，x*，F(xiàn),q，C,6ComputerF'WhileJ6

ComputerF'WhileJ6

aM(-x*k6C工)k=q-iaM一1，x*=偵，Goto(2^

aM(4)Outpu