2011-2020年高考數(shù)學(xué)真題分專題訓(xùn)練 專題09 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（教師版含解析）

專題導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用十年大數(shù)據(jù)*全景展示題號(hào)考點(diǎn)考查內(nèi)容年份利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒()成立與探索性問題理21算求解能力及應(yīng)用意識(shí)．2011函數(shù)的切線、證明不等式，考查分類整合思想．與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系及不等式恒成立問題，考查分類整合思想、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)．文21利用導(dǎo)數(shù)解證不等式利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒文212012能)成立與探索性問題最值，考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒2013卷1理21能)成立與探索性問題本方法，考查放縮思想、分析解決問題能力利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒卷2理21能)成立與探索性問題理11利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)卷1文12及分類整合思想，是難題．究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式，考查分類整合思想．類整合思想．卷1理21利用導(dǎo)數(shù)解證不等式2014利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)卷2文21究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解函數(shù)不等式．卷1理12利用導(dǎo)數(shù)解證不等式分類整合思想．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)卷1理212015究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解函數(shù)不等式．卷2理2利用導(dǎo)數(shù)解證不等式卷2理21利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒能)成立與探索性問題整合思想．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)卷1理21分類整合思想．利用導(dǎo)數(shù)解證不等式整合思想．2016利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒卷2文21能)成立與探索性問題究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及分類整合思想．主要考查三棱錐的展開圖與圓的內(nèi)接關(guān)系、三棱錐的體積、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值；考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．思想．卷3文21利用導(dǎo)數(shù)解證不等式卷1理16生活中的最優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)卷1理21整合思想．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒卷1文21能)成立與探索性問題等式及分類整合思想．利用導(dǎo)數(shù)解證不等式卷2理21不等式恒成立問題2017整合思想利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒卷2文21能)成立與探索性問題理11利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)卷3文12究函數(shù)零點(diǎn)問題及分類整合思想．整合思想利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒卷3理21能)成立與探索性問題整合思想卷3文21利用導(dǎo)數(shù)解證不等式卷1理21利用導(dǎo)數(shù)解證不等式用導(dǎo)數(shù)證明不等式及分類整合思想用導(dǎo)數(shù)證明不等式卷1文21利用導(dǎo)數(shù)解證不等式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題．卷2理21卷2文212018利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)主要考查常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題．明不等式、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系卷3理21利用導(dǎo)數(shù)解證不等式卷3文21利用導(dǎo)數(shù)解證不等式幾何意義求函數(shù)的切線、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)卷1理20卷2理202019究函數(shù)零點(diǎn)問題及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線．性問題，考查分類整合思想．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒卷3理20能)成立與探索性問題1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題卷1文212．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立與探索性問整合思想．題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)卷2文21的參數(shù)取值范圍問題理導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用文導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用卷12020取值范圍卷2理導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式文導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用理導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用文導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用的參數(shù)取值范圍問題卷3取值范圍大數(shù)據(jù)分析預(yù)測(cè)高考出現(xiàn)頻率考點(diǎn)2021年預(yù)測(cè)生活中的最優(yōu)化問題1/342021年高考在導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用方面，仍將以選填壓軸題或解答題壓軸題形式考查不等式恒(能)成立問題與探利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立與探索性問題11/34利用導(dǎo)數(shù)解、證不等式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題12/3410/34十年試題分類探求規(guī)律考點(diǎn)30生活中的最優(yōu)化問題．(2017全國(guó)卷1理如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形的中心為O．D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△分別是以BC，CA，為底邊的等腰三角形．沿虛BC為折痕折起△DBCECADEF的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm)的最大值為．【答案】415【解析】如下圖，連接DO交于點(diǎn)G，設(shè)D，E，F(xiàn)重合于S點(diǎn)，正三角形的邊長(zhǎng)為(>0)，則133xx．x，32635622333SOhSG225xx55x，663113315353三棱錐的體積VShx255x5x4x．△ABC3343123533設(shè)nx5x45xx>0nx20x3x4，3x4令nx04x0x43，易知nx在x43處取得最大值．33∴48544．(2020O在水平線MN橋AB與MN為鉛垂線(O在AB)上任一點(diǎn)DMN的距離h到(米)11的距離a米)之間滿足關(guān)系式12Fh)與F(2與D到a上任一點(diǎn)的距離為B到MN的距離401hbb．己知點(diǎn)到3到的距離b()之間滿足關(guān)系式2800AB的長(zhǎng)度；計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩和EF為CE在AB上(不包括端點(diǎn))3墩EF每米造價(jià)k(萬元)，橋墩每米造價(jià)k(萬元)(k0)，2問O'E為多少米時(shí)，橋墩與EF的總造價(jià)最低？(2)OE為米時(shí)，橋墩與EF的總造價(jià)最低．【答案】橋AB的長(zhǎng)度為【解析】過A，B分別作MNB的垂線，垂足為，1AABB403640160．8001令，∴，．a(chǎn)2160a400x40080x80得0x．設(shè)OExxk11kyx)2k160(x6x)]3(x330xx0或，2160800)總造價(jià)240800800kyk3x260x)x(x20)k0，∴令y08008000xy0y，單調(diào)遞減；當(dāng)xy0y，單調(diào)遞增，∴當(dāng)xy取最小值，造價(jià)最低．考點(diǎn)31利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題與探索性問題x22ax2a,x1．(2019天津理8)已知aR，設(shè)函數(shù)f(x)xalnx,x1，若關(guān)于x的不等式f(x)0在R上恒成立，則a的取值范圍為A．．0,2．0,eD．1,e【解析】當(dāng)x1f11aa10恒成立；x2當(dāng)x1fxx2a?0a?恒成立，x11x11x221xx2x21x21x1令gxx11x2?20，11x11x1x21xagx?a0．0x當(dāng)x1fxxax??0a恒成立，x1xxx1xx令hxhx，xx22x當(dāng)xehx0，hx遞增，當(dāng)1xehx0，hx遞減，所以當(dāng)xehx取得最小值hee．a(chǎn)hx?．e綜上，a的取值范圍是0,e．．(2014遼寧)當(dāng)x[時(shí)，不等式ax3x24x30恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()9A．[B．[]C．[D．[8【答案】C【解析】當(dāng)x時(shí)，得a≥tttgt)t1111a≥)34()2tt)，xxxx323tt，t)，2t2t1tt，顯然在)gt0，則gxg(t)單調(diào)遞減，所以gt)g6，因此a≥6；同理，當(dāng)x[0)時(shí)，得a≤2．由以上兩種情況得6≤a≤2．顯然當(dāng)x0時(shí)也成立，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2]．x2．fxex．(2020全國(guó)Ⅰ理21)已知函數(shù)fx的單調(diào)性；當(dāng)a1時(shí)，討論1fxx1a的取值范圍．3當(dāng)x02x,0f'xfx單調(diào)遞減，當(dāng)xf'x0,fx單調(diào)遞增；(1)當(dāng)7e2,．4【思路導(dǎo)引】由題意首先對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；首先討論x0a的取值范圍．fxe，【解析】當(dāng)a1fxexx2x'x2x1，fxex20f'xf'00，故：?jiǎn)握{(diào)遞增，注意到x,0f'xfx單調(diào)遞減；當(dāng)當(dāng)xf'x0,fx單調(diào)遞增．11fx1eax?x2x31，其中x0，x3由22①．當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：11，顯然成立，符合題意；1exx32x1②．當(dāng)x0時(shí)，分離參數(shù)a2，?x11，xx32x1x2exx2x1e記2，23gxg'xxx12exx2x1x0h'xexx1，hxex10，hx令故由當(dāng)h'xh'xh'00，故函數(shù)hx單調(diào)遞增，hxh00，單調(diào)遞增，10,2g'x0gx，單調(diào)遞增；hx0可得：exx2x0x恒成立，故當(dāng)2xg'x0，gx單調(diào)遞減；27e27e,因此，gxg2．綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．44．(2020全國(guó)Ⅱ文21)已知函數(shù)fx2lnx1．若fx2xcc的取值范圍；fxfa設(shè)a0，討論函數(shù)gx的單調(diào)性．xa和【答案】c1；(2)g(x)在區(qū)間a)(a,)上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間．f(x)2xcf(x)2xc0，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最大【思路導(dǎo)引】(1)不等式轉(zhuǎn)化為值，進(jìn)而進(jìn)行求解即可；對(duì)函數(shù)g(x)的分子構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)m(x)(x)(x)的正負(fù)，g(x)m(x)的單調(diào)性，進(jìn)而確定g(x)的正負(fù)性，最后求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性．【解析】f(x)的定義域?yàn)椋?，f(x)2xcf(x)2xc02lnx12xc)，2x)設(shè)h(x)2lnx12xc(x0)，則有h(x)2，xxx1h(x)h(x)0x1時(shí)，h(x)h(x)當(dāng)x1h(x)當(dāng)有最大值，即h(x)h2ln1121c1c，要想不等式)在)上恒成立，只需h(x)01c0c1．2lnx1(2axa)2(xaxxxa)(x0xa)且g(x)g(x)，xaxax(xa)2設(shè)m(x)2(xaxxxa)，則有m(x)ax)，xaxa，∴m(x)0，m(x)單調(diào)遞減，因此有m(x)m(a)0當(dāng)g(x)0g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0xa時(shí)，xamg(x)在區(qū)間a)(x)0m(x)m(x)m(a)0g(x)0g(x)單調(diào)遞減，∴函數(shù)和(a,)上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間．xa．(202021)已知函數(shù)f(x)ex1．當(dāng)ae時(shí)，求曲線yf(x)1,f1處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；若f(x)1a的取值范圍．2e1【答案】(2))【思路導(dǎo)引】先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，求出與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；先二次求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化情況，求出函數(shù)最小值，再根據(jù)基本不等式求最小值的最小值，最后根據(jù)不等式恒成立列不等式，解得結(jié)果．1Qf(x)exx1f(x)exkfe1【解析】．x2e1Qfe切線方程為ye1(ex，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(,0)，122因此所求三角形面積為|e1e1．21f(x)aex1xa，f(x)aex1，a0g(x)f(x)，Qx1Qg(x)aex1g(x)在)上單調(diào)遞增，即f(x)在)上單調(diào)遞增，x21f(x)ae010當(dāng)a1x10，00111111當(dāng)a1ef()fa(ea0，aaaa111111當(dāng)0a1ef()fa(ea0，aaaa11f(x)ae010，x10,lnax1x，0x00因此存在唯一，使得0000xx)f(x)0x(x,)f(x)0時(shí)0，當(dāng)時(shí)011f(x)f(x)ae00a1lna01lna2lna1202lna1，000f(x)aex1xa1對(duì)x0恒成立，2lnaaa1．Q．(2019全國(guó)Ⅰ文20)已知函數(shù)()=2sinxxcos－xf′()為(x)的導(dǎo)數(shù)．證明：f′(x)在區(qū)間(0π)存在唯一零點(diǎn)；若x[0，π]時(shí)，(x)≥a的取值范圍．【解析】設(shè)g(x)f(x)g(x)xxsinxg(x)xx．ππ,πππ2當(dāng)x)時(shí)，g(x)0；當(dāng)x時(shí)，在g(x)0，所以g(x))單調(diào)遞增，在,π單調(diào)222遞減．π又g(0)gg(π)2g(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn)．2f(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn)．由題設(shè)知f(π)?aπ,f(π)0，可得a≤0．x0x0,πf(x)0，(1)f(x)在(0,π)xf(x)00x,π單調(diào)遞減．0xf(x)在單調(diào)遞增，在0又f(0)f(π)0，所以，當(dāng)x[0,π]f(x0．xπ]時(shí)，≤0f(x?ax．因此，a的取值范圍是(,0]．f(x)ex(exa)ax．2．(2017新課標(biāo)Ⅰ文21)已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性；若f(x)≥0a的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,)，f(x)e2xxa2(2exaea)，x①若a0，則f(x)e2x，在(,)單調(diào)遞增．②若a0，則由f(x)0得xa．當(dāng)x(,lna)時(shí)，f(x)0；當(dāng)xa,)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(,lna)單調(diào)遞減，在a,)單調(diào)遞增．a(chǎn)③若a0，則由f(x)0得x)．2aa當(dāng)x(,時(shí)，f(x)0；當(dāng)x),)時(shí)，f(x)0，22aa故f(x)在(,))單調(diào)遞減，在(ln(),)單調(diào)遞增．22(2)①若a0，則f(x)e2x，所以f(x)≥0．②若a0，則由(1)得，當(dāng)xa時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為fa)a2a．從而當(dāng)且僅當(dāng)aa0，即a≤1時(shí)，f(x)≥0．2a③若a0，則由(1)得，當(dāng)xln()f(x)取得最小值，最小值為2a3af(ln(a[ln(．224233a從而當(dāng)且僅當(dāng)a[ln(0a2e4時(shí)f(x)≥0．24234綜上，a的取值范圍為[2e．f(x)x)ex．2．(2017新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)的單調(diào)性；當(dāng)x≥0f(x)≤ax1a的取值范圍．f(x)2xx2)ex【解析】12，x12．令f(x)0得x當(dāng)x(,12)f(x)0x(12,12)f(x)0x(12,)時(shí)，f(x)0．f(x)在(,12)，(12,)單調(diào)遞減，在(12,12)單調(diào)遞增．()fxxxex．)當(dāng)a≥1時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)xex，h(x))x0，因此h(x)在)單調(diào)遞減，而h(0)1，故h(x)≤1，所以f(x)(xh(x)≤x1≤ax1．當(dāng)0a1時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)exx，g(x)e1x10(x，所以g(x)在)單調(diào)遞增，而g(0)0e≥x1．x當(dāng)0x1f(x)xx)2，xx)2ax1xaxx)，254a1取00，xx)010，0022故f(x)1．0051當(dāng)a≤0時(shí)，取00，f(x)xx)1≥01．00022綜上，a的取值范圍是)．．(2017全國(guó)卷3理21)已知函數(shù)fxx1alnx．若fx0a的值；1設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，111mm的最小值．21122n2．【解析】fx的定義域?yàn)?21a0，因?yàn)閒=-+a20，所以不滿足題意；2axaa0f'x1x0,a時(shí)，f'x0x時(shí)，f'x0xx以fx在0,a單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故x=a是fx在的唯一最小值點(diǎn)．f10，所以當(dāng)且僅當(dāng)afx0a=1．．(2016文21)已知函數(shù)f(x)(xxa(x．a(chǎn)4yf(x)時(shí)，求曲線在f處的切線方程；Ⅰ)當(dāng)xf(x0a的取值范圍．Ⅱ)【解析】Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?a41f(x)(xx4(xfxx()3，f0.fxyf(x)在f處的切線方程為2xy2a(xⅡ)當(dāng)x)f(x)0等價(jià)于x0.x1a(xx1g(x)x令12axa)x12g(x),g0，x(x2x(x2(i)當(dāng)a2，x)x2a)x1x2x10，2；故g(x)g(x)x)上單調(diào)遞增，因此g(x)0在當(dāng)a2時(shí)，令g(x)0得1a1(a22a1(a21，由x1和xx1得x1，故當(dāng)xx)時(shí)，g(x)0g(x)在xx)單調(diào)遞減，因此，212122g(x)g0．綜上，a的取值范圍是,2.f(x)ex．2(2015新課標(biāo)Ⅱ理設(shè)函數(shù)Ⅰ)證明：f(x)在(,0)單調(diào)遞減，在)單調(diào)遞增；Ⅱ)若對(duì)于任意x，x[，都有|f(x)f(x)|≤e1m的取值范圍．1212fxm(e2x．【解析】Ⅰ)()若m≥0，則當(dāng)x(,0)e≤，f(x)0；10當(dāng)x)e≥，f(x)0．1010若m<0，則當(dāng)x(,0)e，f(x)0；10當(dāng)x)e，f(x)0．所以，f(x)在(,0)單調(diào)遞減，在)單調(diào)遞增．Ⅱ)由()知，對(duì)任意的m，f(x)在[0]單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故f(x)在x=0處取得最小值．所以對(duì)于任意x，x[，|f(x)f(x)≤e1的充要條件是：1212ff(0)≤e1f(f(0)≤e1emm≤e1①emm≤e1設(shè)函數(shù)gt)ettegt)e1t1．當(dāng)t<0gt)0t>0時(shí)gt)0．故g(t)在(,0)單調(diào)遞減，在)單調(diào)遞增．又g=0，g(e2e01，故當(dāng)t[gt)≤0．當(dāng)m[g(m)≤g(m)≤0，即①式成立；當(dāng)m>1時(shí)，由g(t)得單調(diào)性，g(m)>0eme；m1當(dāng)m1時(shí)，g(m)0emme1綜上，m的取值范圍是[．．(2013全國(guó)卷1理已知函數(shù)f(x)＝x2axb，g(x)＝ex(d)，若曲線yf(x)yg(x)都過點(diǎn)P(02)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y4x2Ⅰ)求a，b，c，dⅡ)若x≥－2f(x)≤kg(x)k的取值范圍．【解析】Ⅰ)由已知得f(0)g(0)f(0)g(0)4，而f(x)=2xb，g(x)=e(dc)，∴a=4，b=2，c=2，d=2；……4分xf(x)x4x2，g(x)e(x，設(shè)函數(shù)F(x)=(x)f(x)=2(xx4x2(x2)，，2xⅡ)由()x2xxF(x)=2(x2x4=2(x2)(有題設(shè)可得F(0)≥k1，令F(x)x=k，x－，12若1ke22＜x0x(x)F(x)0x(x,)F(x)＞0F(x)111在(x)單調(diào)遞減，在(x,)單調(diào)遞增，故F(x)在x=x取最小值F(x)，而1111F(x)=2x2x214x2=x(x≥0，11111x≥－2F(x)≥0f(x)≤kg(x)恒成立，ke2F(x)=2e(x2)(ee)，2x2若x≥－2F(x)≥0F(x)(－2∞)單調(diào)遞增，而F(=0，x≥－2F(x)≥0f(x)≤kg(x)恒成立，ke2F(=222=2e2(ke)0，2若x≥－2f(x)≤kg(x)不可能恒成立，綜上所述，k的取值范圍為[1，e2]．．(2012全國(guó)課標(biāo)文設(shè)函數(shù)(x)=exax2Ⅰ)求(x)的單調(diào)區(qū)間Ⅱ)若=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x時(shí)，(－k)′(xx+1>0k的最大值,x【解析】(Ⅰ)fx的定義域?yàn)?，fxea．若a0，則fx0fx的增區(qū)間為,，無減區(qū)間；若a0x,lnafx0；當(dāng)x,fx0,lna，．增區(qū)間為,(Ⅱ)a=1，所以xkfxx1xke1x1．xx0時(shí)，(xk)f′xx+1>0等價(jià)于x1kxx0，xe1exx2xx11xe令gxxgx12．ex1exex12hxehxx2在h20hx在(Ⅰ)上存在唯一的零點(diǎn)，故gx在上存在唯一零點(diǎn)．設(shè)此零點(diǎn)為1,2．當(dāng)x時(shí)，gx0x,時(shí)，gx0gx在上的最小值為g由gk，可得x112,3．2，所以gxx0等價(jià)于kg，故整數(shù)k的最大值為2．xe1axbx1x14．全國(guó)課標(biāo)理21)已知函數(shù)f(x)=，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f)處的切線方程為x2y30．Ⅰ)求a，b的值；xkx1xⅡ)如果當(dāng)x0x1f(x)＞k的取值范圍．x1a(x)2bx2【解析】Ⅰ)f(x)=，(x2x112x2y3的斜率為，且過點(diǎn)(11)，∴f且f=，2b1即a1，解得a=1，b=1；b22xx1x1Ⅱ)由()知f(x)=，1(k)x2)(kxxk∴f(x)()=(2x2x1x1xx(k)x222x設(shè)h(x)=2lnx(x0)h(x)=xx2k(x2(x2x1h(x)0h=0x∈(01)h(x)k≤0h(x)=x211x0，可得h(x)0；211x當(dāng)x∈，+)h(x)＜0，可得h(x)0，2xkx1xxk；x1x從而當(dāng)x＞0x1f(x)(0＜k＜1x∈(1，)0f(x)＞11k)(kx22x＞h(x)＞h=0x(1，11k11x)h(x)＞0，可得h(x)0與題設(shè)矛盾；211xh(x)0，與題設(shè)③當(dāng)k≥1時(shí)，此時(shí)h(x)＞0，而h=0，故當(dāng)x(1，+∞)時(shí)，h(x)＞0，可得2矛盾，綜上所述，k的取值范圍為(—∞，0]．f(x)2x3b．2．(2019全國(guó)Ⅲ理20)已知函數(shù)f(x)是否存在不存在，說明理由．的單調(diào)性；a,b，使得f(x)在區(qū)間的最小值為1且最大值為？若存在，求出a,b的所有值；若222x(3xa)．【解析】f(x)6xaf(x)0x令或．3a3,ax若a，則當(dāng)x(,0)f(x)0；當(dāng)f(x)0．故f(x)在時(shí)，時(shí)，3a,a(,0),3單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；3f(x)在(,)若a=0，單調(diào)遞增；a3ax,0x,)時(shí)，f(x)0f(x)0f(x)．故在若，則當(dāng)；當(dāng)時(shí)，3a3a3,,(0,)單調(diào)遞增，在,0單調(diào)遞減．滿足題設(shè)條件的ab存在．f(x)f(x)fb在區(qū)間[0，l]的最小值為(i)當(dāng)a≤0時(shí)，由(1)知，在[0，1]單調(diào)遞增，所以，最大值為，最小值為f2abab滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b1，2ab1a=0，b1．f(x)f(x)fb(ii)當(dāng)a≥3時(shí)，由(1)知，在[0，1]單調(diào)遞減，所以在區(qū)間[0，1]的最大值為f2ab．此時(shí)ab滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2ab1，b=1a=4，b=1．a(chǎn)3a3f(x)fb，最大值為b或2ab．(iii)當(dāng)0<a時(shí)，由(1)[0，的最小值為27a3若b1，=1a3320<矛盾．a(chǎn)3若b1，2ab1a33或a33或a=00<a矛盾．．(201922)已知實(shí)數(shù)a0，設(shè)函數(shù)f(x)=axxx0.3當(dāng)a時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；41x對(duì)任意x[,)f(x),求a的取值范圍．e22a343【解析】當(dāng)af(x)x1x,x0．431(1x2)(21x4x1xf'(x)，4x21x所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(03)，單調(diào)遞增區(qū)間為(3，+)．12由f0a．2a42xx21x當(dāng)0af(x)等價(jià)于2lnx0．42aa2a1令tt22．a(chǎn)gt)t2xt1x2lnx,t22設(shè)gt)g(22)8x421x2lnx．171(i)當(dāng)x,122xgt)g(22)8x421x2lnx．1記p(x)4x221xx,x72212xx12xx1xx1(x)．xx1x故171x()+17(x)p(x)01p()極小值p單調(diào)遞減單調(diào)遞增7所以，p(x)p0．因此，gt)g(22)2p(x)0．1112xx(x2x當(dāng)x,gt?g1．e27x11x2令q(x)2xx(xxe,q'(x)10，27x1117故q(x)在,上單調(diào)遞增，所以q(xq．e27172717277(i)得qp7p0．所以，qx．1q(x)2xgt?g10．x1(i)(ii)得對(duì)任意x,，t[22,gt0，e21x即對(duì)任意x,，均有f(x?．e22a2綜上所述，所求a的取值范圍是4考點(diǎn)32利用導(dǎo)數(shù)解、證不等式問題．(2020全國(guó)Ⅱ理21)已知函數(shù)fxsin2xsin2x．fx在區(qū)間0,的單調(diào)性；33證明：fx；83nn設(shè)nN*，證明：sin2xsin22xsin24xsin22nx．4x33單調(diào)遞減，f'xfx時(shí)，3f'x0,fxx,(1)當(dāng),x單調(diào)遞增．證明見解析；(3)證明見解析．f'x0,fx當(dāng)3【思路導(dǎo)引】首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定其在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)首先確定函數(shù)的周期性，然后結(jié)合(1)中的結(jié)論確定函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的最大值和最小值即可證得題中的不等式；(3)對(duì)所給的不等式左側(cè)進(jìn)行恒等變形可得2fxn1(2)的結(jié)論和三角sinxsinxsin2xsin2xsin4xsin2xsin2xsin2x222n2n3函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮即可證得題中的不等式．fx2sinxx，則：【解析】由函數(shù)的解析式可得：3f'x23sinxxsinx2sinx3cosxsinx224222xx2x12x12sin2x422sin2，在上的根為：f'x0x，1,2333xf'x0,fx單調(diào)遞增；當(dāng)當(dāng)當(dāng)x33,f'xfx單調(diào)遞減；,x單調(diào)遞增．f'x0,fx3fxsin注意到2xsin2xsin2xsin2xfx，fx是周期為的函數(shù)，結(jié)合的結(jié)論，計(jì)算可得：(1)f0f0，故函數(shù)2233333383333f，f，22228338338338fxfx據(jù)此可得：fx，．結(jié)合(2)的結(jié)論有：22x22x24x222nx3333nsinxsin2xsin4xsin2x323sinxsinxsin2xsin2xsin4xsin22n1xsin2xsin2x2n2n223338n33n333333sinxsin22nx．4888113．(2020全國(guó)Ⅲ理21)設(shè)fxxc,xR，曲線fx,f處的切線與y軸垂直．22求b；若fx有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：fx的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【答案】1f'()0【思路導(dǎo)引】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；231111112f'(x)3x22(x)(x)f(x)(,)在(,)(,)由(1)，422222111111f(c,f()c,f()c,fc424244122134【解析】(1)f(x)3xb，2f()3b即b．23解法一：設(shè)x為f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意，()fxx3xc0x14334121122cx在，,，cxx31，c32，顯然41211142114211141，易得c,c,c,cc4443131設(shè)x為f(x)的零點(diǎn)，則必有f(x)x31xc0cxx3，1111144443124x3x1x12x101111x1x1f(x)的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．114x3x1x2x03211113311f(x)x3xcf'(x)3x2x)(x)解法二：由(1)，，414122112x'x令∴且若f'(x)0x或f(x)0，22211上單調(diào)遞減，在(,11在(,)22(,))，上單調(diào)遞增，f(x)22111111f(c,f()c,f()c,fc，4242441414f(0f0c或或cf(x)所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)x0．14111111當(dāng)cf(cf()cf()cfc0，424244f(4c)64c3cc4c16c)0，由零點(diǎn)存在性定理知f(x)在(4c,上存在唯一一個(gè)零2又f(x)在(,上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在()點(diǎn)0上不存在零點(diǎn)，f(x)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；14111111當(dāng)cf(cf()cf()cfc0，424244f(4c)64c3cc4c16c2)0，由零點(diǎn)存在性定理知f(x)在4c)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)又xf(x)在)(f(x)不存在絕對(duì)值不大于1的0零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾．綜上，f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．．(202019)已知關(guān)于x的函數(shù)yf(x)，yg(x)與h(x)b(k，bR)在區(qū)間Df(x)h(x)g(x)．f(x)xf(x)x22x，g(x)x2x，D(,)h(x)的表達(dá)式；2若若若2x1g(x)kxh(x)kD(0,)的取值范圍；k，，，f(x)x42x2g(x)4x28，h(x)t，3t)xt4t2(0t2)，D[,n][2,2]，求證：nm7．【解析】由f(x)g(x)得x0．2x2f(0)g(0)2，∴函數(shù)h(x)的圖像為過原點(diǎn)，斜率為2的直又f(x)2x2，g(x)線，∴h(x)2x．經(jīng)檢驗(yàn)：h(x)2x符合題意．1x1(2)h(x)g(x)k(x1x)，設(shè)(x)x1x，則(x)1，xx(x)0，∴當(dāng)h(x)g(x)0時(shí)，k0由(x)f(x)(x)x2x1(k)x(kxk)02當(dāng)xk10時(shí)，m(x)在)上遞增，∴m(x)m(0)1k0k1．當(dāng)k10時(shí)，0(k綜上，k[0,3]．2k0，(kk0，1k3．f(x)x42x2f(x)4x34x4x(xx∵yf(x)的圖像在y(40204x)(xx)(x0，xx0342)(40340)x304202，00可見直線yh(x)yf(x)的圖像在xt(0t2)處的切線，yf(x)的圖像可知，當(dāng)f(x)h(x)D上恒成立時(shí)，t2]，g(x)h(x)0得4x2t3t)xt4t80，2t4t28設(shè)方程g(x)h(x)0的兩根為1，xxxxt3txx，，21212424xxt3t)2t4t2t3，6t4t28，∴xx(xx)121212令t22]，由圖像可知nmxx328．12設(shè))328)22]()0，()單調(diào)遞減，∴()7，故(nm)1x2()7，即nm7．f(x)xkx(kR)，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．3．(202020)已知函數(shù)(Ⅰ)當(dāng)k6yf(x)f處的切線方程；(i)求曲線求函數(shù)9的單調(diào)區(qū)間和極值；g(x)f(x)f(x)xfxfx12fxfx當(dāng)k?3時(shí)，求證：對(duì)任意的1,x)xx12．212xx122【答案】(Ⅰ)(i)y9x8；g(x)的極小值為g1，無極大值；(Ⅱ)證明見解析．【思路導(dǎo)引】(Ⅰ)(i)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；首先求得的解析式，然后利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值即可；gx12tt，將原問題轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的函數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用新首先確定導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后令函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論．6【解析】(Ⅰ)當(dāng)fxx36lnx，f'x3x．可得，，f11f'192xyfxf1y19x1y9x8．處的切線方程為33xx326lnx,x．gx依題意，x63x32(xg'x3x26xg(x)從而可得，整理可得：，xx2xg'x0，解得x1．令g'x,gx當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：xx10g'xgx單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(01)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1+∞)；g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值．kxf(x)xkx3f(x)3x2證明：由．x12x,x)xxtt對(duì)任意的121212kk222xxk33xxfxfx2fxfxxx121212121212x1212111323312x3xxk1222k23t3t2t1kt2lnt．①2212t1令(x)x2ln,x)．x2121xx0，當(dāng)x>1h(x)11x21由此可得在單調(diào)遞增，∴當(dāng)hth1hxt2lnt0．tx1t3t2t1t30，k3，∵∴，2113t3tt1kt2lntttt13t2lnttx32323t6lnt12②2ttt33gtg1tt6lnt1(I)(ii)可知，當(dāng)t132t3t6lnt210③ttfx2fxfx0．212xxfx由①②③可得121fxfx12fxfxk3時(shí)，任意的x,x11x12．22xx122．(202022)已知1a2fxxexa，其中e=2．71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(0)Ⅰ)證明：函數(shù)yfx在上有唯一零點(diǎn)；(0)Ⅱ)記0為函數(shù)yfx在上的零點(diǎn)，證明：ⅰ)a1x2(a；0ⅱ)x0f(ex)(e1)(aa．0【答案】(I)證明見解析，(II)(i)證明見解析，(ii)證明見解析．【思路導(dǎo)引】(I)先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明結(jié)論；(II)(i)先根據(jù)零點(diǎn)化簡(jiǎn)不等式，轉(zhuǎn)化求兩個(gè)不等式恒成立，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最值，即可證得不等式；x0先根據(jù)零點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化：xfe)xf(xa)，再根據(jù)1a2放縮，轉(zhuǎn)化為證明不等式0004(ea2(e(a，最后構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明．2xxfx)上單調(diào)遞增，f(x)在【解析】(I)Qf(x)eQxe()Q1af(2)e22ae4f(0)1a0，2∴由零點(diǎn)存在定理得f(x)在)上有唯一零點(diǎn)；(II)(i)f(x)eQxxa0，000a1x2(aex1xx2ex，0x00000x2g(x)exx1x2(0x2),h(x)ex1(0x2),x令2hxexhxx一方面：()1(h(x)e10x，11h(x)hh(x)在單調(diào)遞增，h(x)h0，x2exx12(exxx2，2另一方面：Q1a2a11，x1a1x0成立，g(x)e0因此只需證明當(dāng)0x1時(shí)xx1x02，∵g(x)ex12xg(x，g(x)e20x2x11xxg(x)0，1g(x)0當(dāng)∴1，g(x)max{g(0),gQg(0)ge3g(x)0g(x)在單調(diào)遞減，g(x)g0，exx1x2，x10ex2exa．xa1x0綜上，0000(ii)t(x)xf(e)xf(xa)x[(exa(e，xa0a000000aaQt(x)2(exa(e0，a1x2(a，000t(0)t(aae,a2(a，t(x0)(e1)(a2(aa1(e只需證明2(aa1(e2)(ea2，即只需證明4(e令s(a)4(e(e(aa，aa1aeaeaaaae，a∵1a2，∴aea2)．a(chǎn)a2(e(a，2a22aa(e2e(e(e0，2則s(a)e(e(eaa．s(a)s4(e204(ea2(e2(axfex006．(2015新課標(biāo)Ⅰ理12)設(shè)函數(shù)()fxex(2xa，其中a1，若存在唯一的整數(shù)x，使得0f(0)0a的取值范圍是333B．[,)e433．[,)2e43A．[D．[e2e【答案】D0(2e0xaxag(x)ex(2x，h(x)axa，0011g(x)ex(2xg(x)在(,)(,)g(x)與h(x)的由22a1h(0)g(0)h(≤g(3大致圖象如圖所示，故3，所以≤a<1．2e2a≤e7．(2015新課標(biāo)Ⅱ理12)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(0，當(dāng)x0時(shí)，x)f(x)0，則使得f(x)0成立的x的取值范圍是,1．A．．,1D．【答案】Af(x)【解析】令h(x)=，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以h(x)為偶函數(shù)，由于x(x)f(x)h(x)x>0x)f(x)0，所以h(x)在)x2上單調(diào)遞減，根據(jù)對(duì)稱性h(x)在(,0)上單調(diào)遞增，又f(0，f=0，數(shù)形結(jié)合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是,1．．(2018全國(guó)卷3理21)已知函數(shù)fx2x21x2x．若a0，證明：當(dāng)1x0fx0x0fx0；若x0是fx的極大值點(diǎn)，求．a(chǎn)【解析】若a0f(x)(2x)x)2x(x，11x1x12ln(x1．∴f(x)x)(2x)1x1令(x)ln(x1，11x2∴h(x)．x1(x(x2x0h(x)0，h(x)在)上單調(diào)遞增，當(dāng)1x0h(x)0，h(x)在(0)上單調(diào)遞減．∴h(x)h(0)ln1110，∴f(x)0恒成立，∴f(x)在()上單調(diào)遞增，又f(0)2ln100，1x0f(x)0x0f(x)0．121，(2)f(x)(2xx11(x210，f(x)aln(xx1(x22a(x2ln(x(2axx22ax0，2a(x2ln(xln(x3x24axx0，4x]x．[2(x22設(shè)h(x)2(x2x)3x24x，∴h(x)4(xx)2(x6x4，h(0)60，h(0)0，x0鄰域內(nèi)，x0h(x)0，x0h(x)0．x1x0ax0a，由洛必達(dá)法則得a，2(x22x)3x224x4x6x1，由洛必達(dá)法則得a，2(xx)3x61綜上所述，a．6x12．(2018全國(guó)卷3文21)已知函數(shù)f(x)．exyf(x)求曲線處的切線方程；證明：當(dāng)a1f(x)e0．(2ex(e2xexx22x12f(x)【解析】由題意：fx得，exx)2ex22yfx1處的切線斜率為2y(2(x0)2xy10；∴f1x1ax2x10恒成立；令g(x)ex1ax2證明：由題意：原不等式等價(jià)于：ex1，g(x)ex121，g(x)ex12aa1g(x)0g(x)在(,)上單調(diào)∴,0012010e20101遞增，∴g(x)在()上存在唯一x使g(x)0e0g(x)在(,x)上單調(diào)遞減，在(x,)上單調(diào)遞增，∴g(x)g(x)．000g(x)e010210x22a)x2(ax02)，又000011111e1，∴x0g()ea1，∵a10ea，∴g(x)0，得證．0aa綜上所述：當(dāng)a1fxe0．1f(x)xax．(2018全國(guó)卷1理已知函數(shù)．xf(x)的單調(diào)性；fxfx若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，證明：12a2．1212xx1xax12f(x)xaxfx)2a20，fx)0(1)，xx2f(x)在)上為單調(diào)遞增．a(chǎn)a24aa2440a2或a2，此時(shí)方程x10兩根為x2,2122a2時(shí)，此時(shí)兩根均為負(fù)，∴fx)在)上單調(diào)遞減．當(dāng)a20，此時(shí)f(x)在aa24)f(x)aa24aa24)f(x)aa2在(,在(,)2222aa24)，f(x))在上單調(diào)遞減；a2f(x)上單調(diào)遞減．∴綜上可得，a2在2aa24aa24aa24)上單調(diào)遞增．,)上單調(diào)遞減，f(x)在(,(2221x,xa2xx,xx101xx1由(1)可得，x210得，，∴，1212122211f(x)f(x)xax(xax)2(xx)axx)．∴2121122211x1x2f(x)f(x)1xf(x)f(x)1x122a212a2成立，即要證21，要證成立，∴1212121212xx1122ln2221x2，0(x021212ln2201)x(2即要證2121g(x)在)g(x)g01g(x)2lnxx(x令12xf(x)f(x)12a2成立．成立，即12(2018全國(guó)卷1文已知函數(shù)fxaexx．1設(shè)x2是fx的極值點(diǎn)，求a，并求fx的單調(diào)區(qū)間；1證明：當(dāng)a≥fx≥0．e1f(x)定義域?yàn)?f(x)aex【解析】(1)，．x11x2是f(x)極值點(diǎn)，∴ae20a．f(2)0∵22e2∵ex在)上增，a0在)上增．x1)f(x)在)f(2)0上增．又，又在上減，∴xx2)f(x)0f(x)，x(2,)f(x)0f(x)減；當(dāng)，1綜上，a，單調(diào)增區(qū)間為(2,)，單調(diào)減區(qū)間為．2e211ex0，∴當(dāng)aaexexex1∵，eef(x)xx1exx1．1∴令g(x)ex1x1，x)．11g(x)ex1g(x)在)1ge0，，同(1)上增，又x1xg(x)0g(x)，x)g(x)0g(x)減；當(dāng)，g(x)g11ln111010∴，1af(x)g(x)0．ef(x)xxf(x)≥0．2．(2017新課標(biāo)Ⅱ理已知函數(shù)求a；e2f(x)22．證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)0【解析】f(x)的定義域?yàn)?．0設(shè)g(x)axaxf(x)(x)，f(x)≥0等價(jià)于g(x)≥0．1g0，g(x)≥0g0g(x)a，ga1a1．x1若a1g(x)10x1g(x)0，g(x)x1時(shí)，g(x)0，g(x)單x調(diào)遞增．所以x1是g(x)的極小值點(diǎn)，故g(x)≥g0．綜上，a1．f(x)x2xxx，f(x)2x2x．由(1)知1設(shè)h(x)2x2xh(x)2．x1111當(dāng)x)時(shí)，h(x)0x(,)時(shí)，h(x)0h(x)在)(,)單調(diào)2222遞增．11212h(e2)0，h()0，h0，所以h(x)在)有唯一零點(diǎn)x，在[,)有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)又02xx)h(x)0x(xh(x)0x)h(x)0．000f(x)h(x)，所以xx是f(x)的唯一極大值點(diǎn)．0由f(x)0得x2(0f(x)xx)．000014由xf(x)．00x0是f(x)在的最大值點(diǎn)，由e1，f(e)0得1f(x)f(e1)e2．0e2f(x)22．0f(x)x(2ax．2．(2017新課標(biāo)Ⅲ文已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性；3當(dāng)a0時(shí)，證明f(x)≤2．4a1(xax【解析】f(x)的定義域?yàn)?，f(x)2ax2a1．xx若a≥0，則當(dāng)x)f(x)0f(x)在)單調(diào)遞增．111若a0，則當(dāng)x(0,)f(x)0x(,)f(x)0f(x)在(0,)2a2a2a1遞增，在(,)單調(diào)遞減．2a1由(1)知，當(dāng)a0f(x)在x取得最大值，最大值為2a111f()ln()1．2a2a4a3113f(x)≤2等價(jià)于ln()1≤2，4a2a4a4a11即ln()2a2a1≤0．1設(shè)g(x)xx1g(x)1．x當(dāng)xg(x)0x)g(x)0．所以g(x)在單調(diào)遞增，在)單調(diào)遞減．故當(dāng)x1g(x)取得最大值，最大值為g0．所以當(dāng)x0g(x)≤0．從而當(dāng)a0時(shí)，113ln()1≤0f(x)≤2．2a2a4a．(2016卷)設(shè)函數(shù)f(x)xx1．Ⅰ)f(x)的單調(diào)性；x1Ⅱ)證明當(dāng)x)時(shí)，1x；x(III)設(shè)c1，證明當(dāng)x時(shí)，1(cxcx．1【解析】(Ⅰ)由題設(shè)，f(x)的定義域?yàn)?，f(x)1f(x)0x10x1時(shí)，xf(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x1f(x)0，f(x)單調(diào)遞減．Ⅱ)由()f(x)在x1處取得最大值，最大值為f0．所以當(dāng)x1xx1．11x1xx)xx1，1，即1xxx．Ⅲ)由題設(shè)c1g(x)1(cxcxg(x)c1cxlnc，c1cc令g(x)0，解得x．0當(dāng)xxg(x)0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xxg(x)0，g(x)單調(diào)遞減．00c1c()知，1c001g(0)g0，0x1g(x)0．所以當(dāng)x時(shí)，1(cxcx．2xax．．(20151文21)設(shè)函數(shù)fxe(I)fx的導(dǎo)函數(shù)fx的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；2(II)證明：當(dāng)a0時(shí)fx2aa．a(chǎn)ax【解析】Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?0+)，f(x)=2e2xx0．當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)0，f(x)沒有零點(diǎn)；a當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閑2x單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以f(x)在(0+)單調(diào)遞增．又f(x)0，當(dāng)b滿足xa10b且bfb)0，故當(dāng)a0f(x)存在唯一零點(diǎn)．44Ⅱ)由()，可設(shè)f(x)在(0+)的唯一零點(diǎn)為xx(0，x)f(x)0；00當(dāng)x(x)f(x)0．0故f(x)在(0，x)單調(diào)遞減，在(x)單調(diào)遞增，00所以當(dāng)xxf(x)取得最小值，最小值為f(x)．00aa222e20=0，所以f(0)=2axa≥2aa．0020aa2a0f(x)≥2aa．a(chǎn)bex1x16．(2013全國(guó)卷1理12)設(shè)函數(shù)()fxxx，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f處的切線為ye(x2．(Ⅰ)求a,b；Ⅱ)證明：f(x)1．a(chǎn)xbbxxx1x1【解析】Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?，f(x)aexexe2exab2……………6分由題意可得ffe2ex12Ⅱ)由()f(x)exx，從而f(x)1等價(jià)于xxxexxe1e1e設(shè)函數(shù)g(x)xxg(x)xxxg(x)0x,g(x)0，1ee1故g(x)在單調(diào)遞減，在,單調(diào)遞增，從而g(x)在的最小值為11g()．……………8分ee2hxxex(x)ex1xx時(shí)，h(x)0xh(x)0，設(shè)函數(shù)()e1單調(diào)遞減，從而h(x)在的最大值為h故h(x)在單調(diào)遞增，在．e綜上：當(dāng)x0g(x)h(x)f(x)1．xm．……………12分．(2013全國(guó)卷2理已知函數(shù)f(x)=ex)Ⅰ)設(shè)x是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；Ⅱ)當(dāng)m2時(shí)，證明：f(x)0．1【解析】Ⅰ)f(x)=ex，xm1x是f(x)的極值點(diǎn)，∴f(0)=1=0，解得m=1，m1x11x，∴f(x)=ex∴f(x)的定義域?yàn)椋?+)，f(x)=e0，(x2∴f(x)(－，+)上是增函數(shù)，x(-10)f(x)＜f(0)=0x(0∞)f(x)＞f(0)=0，∴f(x)的增區(qū)間為，∞)，減區(qū)間為(-10)．Ⅱ)當(dāng)m2，x(m，∞)ln(xm)≤ln(x2)，故只需證明當(dāng)mf(x)0，1當(dāng)m時(shí)，函數(shù)f(x)=ex(-2，)單調(diào)遞增．x2又f(0，f(0)＞0f(x)在(-2+)有唯一實(shí)根xx∈(-10)，00當(dāng)x(-2，x)f(x)0x(x，+)f(x)0，00x=0f(x)取得最小值．1000，由f(x)得e=002(021∴f(x)≥f(0)=0=0，0202綜上，當(dāng)m2f(x)0．a(chǎn)xbx1x18．全國(guó)課標(biāo)文21)已知函數(shù)f(x)=，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f)處的切線方程為x2y30．Ⅰ)求a，b的值；xx1Ⅱ)證明：當(dāng)x＞0x1f(x)＞．x1()bx【解析】(Ⅰ)fx)(x2x2f1由于直線x2y30的斜率為，且過點(diǎn)1即f,22ba1，b1．a(chǎn)1b,22xx1x1由(Ⅰ)知f(x)，所以xx11x1(2x)x2f(x)2xx12考慮函數(shù)h(x)2lnx(x0)(xx2x(x2222h(x)xx2x2所以當(dāng)x1h(x)故11x當(dāng)x(h(x)當(dāng)x)h(x)h(x)21h(x)1x2xx1xx1從而當(dāng)x且xf(x)0,即f(x).．(2010全國(guó)課標(biāo)文設(shè)函數(shù)f(x)=xe1ax2．x1Ⅰ)若a=f(x)的單調(diào)區(qū)間；2Ⅱ)若x0時(shí)f(x)0a的取值范圍11【解析】(Ⅰ)a時(shí)，f(x)x(exx2，fx)ex1xxx(exx,122時(shí)fx)xfx)0xfx)0f(x)在,單調(diào)增加，在，0)單調(diào)減少．Ⅱ)f(x)xx(a1ax)．令g(x)xagx)ea．1x若a1xgx)g(x)g(0)0x0時(shí)g(x)0f(x)0．若ax0,lnagx)，g(x)g(0)0x0,lna時(shí)g(x)＜0，即f(x)＜．綜合得a的取值范圍為,1．f(x)2ax，其中aR．．(2016年四川)設(shè)函數(shù)(I)f(x)的單調(diào)性；1(II)確定a的所有可能取值，使得f(x)在區(qū)間)內(nèi)恒成立(e=2．718…為自然對(duì)數(shù)的底e1xx)．121,x0【解析】(I)由題意，f'xxxa?02ax2f'x0，10，fx在上單調(diào)遞減．11f'x0；a0時(shí)，令f(x)0xx(0,)2a2a1當(dāng)x(,)f'x0．2a11在fx(,)上單調(diào)遞增．故)上單調(diào)遞減，在2a2ag(x)11(II)令，s(x)ex1xs(x)ex11．而當(dāng)x1xex1，所以S0s(x)0，s(x)0s(x))在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．又由從而當(dāng)x1g(x)0．當(dāng)a?0，x1f(x)a(xx0．2f(x)g(x)在區(qū)間)內(nèi)恒成立時(shí)，必有a0．121當(dāng)0a1．2a11f()f0g()0，(I)有2af(x)g(x)在區(qū)間)2a所以此時(shí)內(nèi)不恒成立．1當(dāng)a?時(shí)，令h(x)f(x)g(x)(x?．211111當(dāng)x1h(x)2exx2xx2xxxx32x1x22x10，x2x2因此，h(x)在區(qū)間)內(nèi)單調(diào)遞增．又h0，所以當(dāng)x1h(x)f(x)g(x)0f(x)g(x)恒成立．1綜上，a[,)2f(x)ln(xa(xx)，其中aR．2．(2015山東)設(shè)函數(shù)Ⅰ)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；Ⅱ)若x0，f(x)≥0成立，求a的取值范圍．(Ⅰ)由題意知f(x)的定義域?yàn)?，1x122a1x1f(x)a(2x，g(x)22a1，x()，令當(dāng)a0g(x)1，f(x)0，函數(shù)f(x)在()單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)a0a2aaaa)(9，80a0，g(x)0，9f(x)0，函數(shù)f(x)在()單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；8a0，9a10的兩根為x,x(xx)，設(shè)方程2121221xx，12211x，x，12441由g(10，可得1x，14所以當(dāng)x(x)g(x)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；1當(dāng)x(x,x)g(x)0，f(x)0f(x)單調(diào)遞減；12x(x2,)g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．當(dāng)a00，由g(10，可得11，當(dāng)x(x)g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；2x(x2,)g(x)0，f(x)0f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0a時(shí)，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，函8899數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)．(II)(I)8當(dāng)0a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，9f(0)0，所以x(0,)f(x)0，符合題意；8ag(0)020，1時(shí)，由當(dāng)9f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，又f(0)0，所以x(0,)f(x)0，符合題意；當(dāng)a1時(shí)，由g(0)0，可得20，xx)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；2f(0)0，所以x2)f(x)0，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，設(shè)h(x)xx，1xx(0,)h(x)10x1x1h(x)在(0,)上單調(diào)遞增．因此當(dāng)x(0,)h(x)h(0)0xx