2011-2020年高考數(shù)學(xué)真題分專題訓(xùn)練 專題16 平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用（教師版）

16平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用十年大數(shù)據(jù)十年大數(shù)據(jù)*全景展示年 份題號考 點考查內(nèi)容2011課標(biāo)理10平面向量的綜合應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積計算向量夾角與模問題及命題真假的判定文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積處理向量垂直問題2012課標(biāo)1315平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量的定義及利用平面向量數(shù)量積處理向量模問題2013卷11313平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義平面向量數(shù)量積的概念及運算法則卷21314平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義平面向量數(shù)量積的運算法則2014卷1理15平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義中點公式的向量形式及向量的夾角的概念卷243平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積處理向量模問題2015卷1理5平面向量的綜合應(yīng)用主要與雙曲線結(jié)合考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算卷2文4平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義平面向量的坐標(biāo)運算、平面向量數(shù)量積2016卷1理13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運算及平面向量模公式卷2理3平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運算及利用平面向量數(shù)量積處理垂直問題卷3理3文3平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算及利用平面向量數(shù)量積求夾角卷1文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運算及利用平面向量數(shù)量積處理垂直問題2017卷1理13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積計算模理2理12平面向量的綜合應(yīng)用與平面圖形有關(guān)的平面向量數(shù)量積的最值問題卷1文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算及利用向量數(shù)量積處理垂直問題卷2文4平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用利用平面向量數(shù)量積的模卷3理12平面向量的綜合應(yīng)用向量的坐標(biāo)運算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)卷3文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運算及利用平面向量數(shù)量積處理垂直問題2018卷2理4文4平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義及其運算律平面向量的數(shù)量積及其運算律2019卷178平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量數(shù)量積處理垂直與夾角問題卷2理3平面向量的綜合應(yīng)用平面向量的減法運算、模公式、平面向量數(shù)量積卷3理13平面向量的綜合應(yīng)用平面向量數(shù)量積處理模與夾角問題卷3理13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用平面向量坐標(biāo)的模公式及夾角公式2020卷1理14平面向量數(shù)量積及其運算向量模長的計算文14平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量垂直充要條件的坐標(biāo)形式，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用卷2理13平面向量數(shù)量積的應(yīng)用向量夾角公式，應(yīng)用向量數(shù)量積處理垂直問題文15平面向量數(shù)量積定義及性質(zhì)平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)，應(yīng)用平面向量數(shù)量積處理向量垂直卷3理6平面向量數(shù)量積及其運算平面向量夾角公式，平面向量數(shù)量積的計算以及向量模長的計算大數(shù)據(jù)分析大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測高考考 點出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測考點51平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義7/242021年高考仍將重點單獨或與平面圖形等知識結(jié)合檔題或難題，題型為選擇或填空．考點52平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用9/24考點53平面向量的綜合應(yīng)用8/24十年試題分類*探求規(guī)律51平面向量數(shù)量積的概念、其幾何意義及其運算律1．(20206)已知向量aba5,b6ab6，則

a,ab ( )A．31

B．19

C．17 D．1935【答案】D

35 35 35 【思路導(dǎo)引】計算出aabab的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出aab的值． 2 【解析】a5，b6，ab6，aabaab52619． ab2abb2 ab

2526367，因此 aab 19 19 aaba,a aab57

D．

2．(2020山東7)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則APAB的取值范圍是 ( )A．(2,6)【答案】A

B．(6,2)

C．(2,4)

D．(4,6)【思路導(dǎo)引】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到AP在AB方向上的投影的取值范圍是(1,3)，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果．AB2APAB方向上的投影的取值范圍是APABABAPAB方向上的投影的乘積，所以APAB的取值范圍是(26，故選：A．AxyA(0,0)B(2,0),)F,)P(x,y)，則1x3(xy)(2,02x2x6APAB的取值范圍是26．a(chǎn)a(2a．(201課標(biāo)理4知量a，b足|a1，b1則 b)(aa(2aA．4 B．3 C．2 D．0【答案】B

2 a，b滿足|a1，ab1a(2ab)2aab213，故選B．331 1334．(2016新課標(biāo)，理3)已知向量BA(, 2 2

，BC( ,2 2

則ABC=(A)300 (B) 450 (C)600 (D)12003【答案】A3

BABA

1 3

31【解析】由題意，得cosABC|BA||BC|

2 2 2 211

，所以ABC30，故選A．5．(2017北京)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“mn0”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為mnmnm||n|cosmn0的充要條件是cosmn00m可知mnmn180，所以cosmn0，所以“存在負(fù)數(shù)m”可推出mn0”mn0可推出cosmn0mn的方向相反，從而不一定推得“存在負(fù)數(shù)，使得m”，所以“存在負(fù)數(shù)，使得m”是“mn0”的充分而不必要條件．6．(2013湖北)已知點A(1,1)、B(1,2)、C(2,1)、D(3,4)，則向量AB在CD方向上的投影為322【答案】A

B．3152

C．322

D．3152【解析】AB=(2，1)，CD=(5，5)，則向量AB在向量CD方向上的射影為ABcosABCD(2,1)(5,5)251532CD5252CD5252527．(2011遼寧)已知向量a(2,1)，b(1,k)，a(2ab)0，則kA．12

6

C．6 D．12【答案】D2ab2ka2ab02k02k0k12．8．(2015山東)已知菱形ABCD的邊長為a，ABC60，則BDCD＝32

34

34

3a22【答案】D【解析】由菱形ABCD的邊長為a，ABC60可知BAD18060120，BDCD(ADAB)(AB)AB

a

3a2．29．(2015四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，AB6，AD4．若點M,N滿足BM，2NC，則AMNM( )A．20 B．15 C．9 D．6【答案】CAMAB

3AD,NMCMCN

1AD

1AB，所以AMNM14 4 31 = (4AB3AD)

(4AB3AD)

1 AB

29AD)

136916=9C．4 12 48 4810．(2014天津)2，DBAD120EFBCDC，2DFμDCAEAF1CECF-3

，則λ+μ=12【答案】C

23

56

712解】為DBAD=120所以BD B Dos120=2，為E=lC所以+lAFmABADAEAF1，所以(AB+lAD)×(mABAD)1，即3 2 5l+2m-lm= ①同可得m-l-m=- ，②得l+m= ．2 3 6天津)在△ABC中，AQ1ACRBQCP2，則( )13【答案】B

23

43

D．2 【解析】如圖，設(shè)ABb,ACc

，則b1,c2,bc0，又BQ=BAAQ

=b(1)c，CPCAc， ∴

BQCP

= [b(c=(

22=4(1)2，即32,2，選B．c 3c 12．(2020全國Ⅰ文14)設(shè)向量a,1,bm1,2m4，若ab，則m．【答案】5【思路導(dǎo)引】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果．【解析】由ab可得ab0，又∵a(1,1),b(m1,2m4)，∴ab1(m1)(1)(2m4)0，即m5，故答案為：5．13．(2020全國Ⅱ理13)已知單位向量a,b的夾角為45°，kab與a垂直，則k．【答案】 22【思路導(dǎo)引】首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充分必要條件即可求得實數(shù)k的值．2 2

ab11cos45

，由向量垂直的充分必要條件可得：kaba0，2 2即：ka

222abk 0，解得：k ，故答案為： ．2222 2 214．(2020全國Ⅰ理14)設(shè)a,b為單位向量，且ab1，則ab．3【答案】3ab2ab2

ab2abab變a22aba22abb2

，問題得解．【解析】∵a,b為單位向量，∴ab1，ab2a22abb222aab2a22abb222ab3ab2a2ab2a22abb2

，故答案為： ．315．(2019?新課標(biāo)Ⅲ，文13)已知向量a(2,2)，b6)，則cosa，b．321022222222(8)262【解析】由題知，ab2()264，|a

22，|b|

10，cosa，b

4 ．221022102

116．(201415)OAO為 ．【答案】900

(ABAC)，則AB與AC的夾角2AO

1(ABAC)，∴O為線段BC中點，故BC為O的直徑，2∴BAC900，∴AB與AC的夾角為900．17．(2013新課標(biāo)Ⅰ，理13文13)已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，則t= ．【答案】2【解析】c=bta1t)b]=ab1tb2=1t1t=11t0，解得t=2．2 28．(2013課Ⅱ理13文14)知方形AC邊為2E為D中，則AEBD= ．【答案】2

1

2

121AEBD=(AD2

AB)(ADAB)=|AD

|AB2

=4-2=2．江蘇)已知e，e2的兩個單位向量，ae2e，b

e，若ab0k1 2 3的值為 ．5

1 2 1 2【答案】4【解析】由題意知ab(e2e)(kee)0，即

ke2ee2kee2e20，即1 2 1 25kcos2kcos20，化簡可求得k ．5

1 12 12 23 3 420．(2017天津)在△ABC中，∠A60，AB3，AC2．若BD2DC，AEABR)，且ADAE4，則的值為 ．3【答案】11

0

12【 解 析

ABAC32cos603 ， AD

AB 3 3

， 則 ADAE1AB21AB2AB)=32419234，解得333333311天津)的邊長為2EBC3BE，．若AEAF1，則的值為 ．【答案】2【解析】因為

DBAD=120，菱形的邊長為2，所以

AB×AD=-2

．因為

1

1

4 4 1AE×AF=AB

AD×AD+ AB，由AE×AF=1，所以 2(1 )1，解得2．3 3 考點52平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用1．(2020全國Ⅱ文5)已知單位向量a,b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是 ( )a2b

2ab

a2b

2ab【答案】D【思路導(dǎo)引】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可．a(chǎn)babcos601111．2 2A：∵(a2b)bab2b212150，∴本選項不符合題意；2 2B：∵(2ab)b2abb221120，∴本選項不符合題意；2C：∵(a2b)bab2b212130，∴本選項不符合題意；2 2D：∵(2bb)b2abb22110，∴本選項符合題意．故選D．(a(a|a2．(201978)a|a

2|b|

b)b，則a與b的夾角為( )A． B． C．D．6【答案】B

3

3

6 |b|

2|b| 1(ab)b(ab)bab

|ab|cosa,b

0a,b2

，，B．

|ab

2|b|a,b

a,b|||3．(20174)ab|

b|b|則( )aA．ba

B．|a||b|

C． C．

|a||b|【答案】A【解析】ab滿足b|b|

b)2b)22b2

2b2

，∴|a |aaab0，bA．a(chǎn)a

(a (a

a 2ab a

2ab4．(2016新課標(biāo)，理3)已知向量a2)，且(a+b，則m=( (A)－8 (B)－6 (C)6 (D)8【答案】D【解析】由題知a+b=(4,m2)，所以(a+b)b=432(m2)=0，解得m8，故選D． 1065．(2014新課標(biāo)Ⅱ，理3文4)設(shè)向量a,b滿足|ab| ，|ab| ，則ab( )106A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【解析】ab

10，ab

，∴(ab)210……①，(ab)26……②．6由①②得：ab=1，故選A．66．(2018北京)設(shè)a，b均為單位向量，則“a3b3ab”是“a⊥b”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】∵a3b3ab，∴(a3b)2(3ab)2，∴a26ab9b29a26abb2，又|a||b|1，∴ab0，∴ab；反之也成立，故選C．年山東)m,n滿足4|m|3|n|，cosmn1ntmnt的值3為( )A．4 B．–4 C．94

–94【答案】B【 解 析 】

n(tmn) 可

n(tm

， 即 tmnn2

， 所 以n2 n2

|n|2

|n| 4t mn |m||n|cos<m,n>

|m||n|13

3 3 4B．|m| 32238．(2015重慶)若非零向量a，b滿足a b，且(ab)2b)，則a與b的夾角為( )223 A． B．4 2

C．D．4【答案】A

2 2(ab2b3a

ab

0，即3a

ab2b

0，所以3(22)22220cos 2，A．3 3 2 49．(2015陜西)對任意向量a,b，下列關(guān)系式中不恒成立的是A．|ab|≤|a||b|C．(ab)2ab

B．|ab|≤||a||b||D．(ab)a2b2【答案】BA選項，設(shè)向量a、b的夾角為aba||b|||b|，∴A選項正確；對于B選項，∵當(dāng)向量a、b反向時，|aba||b||，∴BCD選項，根據(jù)向量的運算法則，可推導(dǎo)出(ab(aba2b2，故D選項正確，綜上選B．10．(2015安徽)ΑΒC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足ΑΒ2a，ΑC2ab，則下列b1

ab C．a(chǎn)b

D．4abΒC【答案】DBCACAB2abb，故|b|2A錯誤；|2a|2|a|2，所以|a|1ABAC2a2ab4|a|22ab22cos602ab1BCBCDABAC2ADADBC，所以

4a

C，故選D．11．(2014山東)已知向量a3),bm)．若向量a,b的夾角為，則實數(shù)m( )336333A．2 B．3

C．0 D．【答案】B

3cos2 6

，兩邊平方化簡得63m18，133m2133m29m2312．(2014重慶)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實數(shù)kA．92

B．0 C．3 D．152【答案】C2a2k6(2a3bc，所以(2a3bc2(2k60k3C13．(2012陜西)設(shè)向量a=(1，cos)與b=(1，2cos)垂直，則cos2等于212A． B．2 2

C．0 D．－1【答案】C【解析】ab,ab0,12cos20,cos22cos210.正確的是C．14．(2012浙江)設(shè)a，b是兩個非零向量A．若|aba||b|，則abB．若ab，則|aba||b|若|aba||b|，則存在實數(shù)，使得b若存在實數(shù)，使得b，則|aba||b|【答案】C|aba||ba|22ab|b|2a|22|a||b||b|2|a||b|0ab不Bab|a||b|，則cosab1，所以ab，使得ba，C正確；若ba，則1，此時|ab|2|a|0|a||b|，所以D不正確．5．(20113)a，bb0，若

，則cosa，c．【答案】23

2

a2

c 2 2

5b 2aca(a

b)aab2，

(2a

5b)

4ab

9，cc|3，cosa，c

ac 2 ．|a||c| 316．(201713)ab的夾角為60|a|2，|b1，則

|a|．3【答案】23ab60，且|a|2，|b1，

b)22bb22 2

(a a 4a332421cos604112，|a2 ．a(chǎn)17．(2017?新課標(biāo)Ⅰ，文13)已知向量a2)，b，若向量b與a垂直，則m．a(chǎn)【答案】7【解析】向量a(1,2)，b(m,1)，b(1m,3)，向量b與a垂直，a a(aab)(1)()320，解得m7(aaa18．(2017?新課標(biāo)Ⅲ，文13)已知向量a(2,，bm)，且b，則m．a(chǎn)【答案】2aa【解析】a(,)，b,m)b，b6m0，解得m2．a(chǎn)a19．(2016新課標(biāo)，理13)設(shè)向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，則m= ．【答案】-2【解析】由|a+b|2=|a|2+|b|2得，ab=0，所以m20，解得m2．a(chǎn)20．(2016?新課標(biāo)Ⅰ，文13)設(shè)向量a(x,x，b，且b，則x．a(chǎn)【答案】23【解析】b，b0，即x2(x)0，∴x2．a(chǎn) a321．(201213)已知向量ab夾角為450，且|a|=1，|2ab|=222【答案】．3222

，則|b|= ．【解析】∵|2ab|=2 (舍)2

，平方得4a24ab+b210，即|b2

|b|60，解得|b|=3 或新課標(biāo)文13)已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)若向量a+b與向量-b垂直，則k= ．【答案】1解∵a與b為個共的位量∴|a=1|b=1且a與b為0不為∴1，又 ∵ 向 量 a+b 與 向 量 -b 垂 直 ， ∴(a+b)(ka-b)=ka2+(kb-b2=k1(k1)cos=(k1)(1=0，∴k1=0，∴k=1．23．(2017山東)已知e，e是互相垂直的單位向量，若3ee與ee的夾角為60，則實數(shù)的值1 2 1 2 1 2是 ．3【答案】333【解析】(3ee)(e) 3e2 eee2 31 2 1 2 1 1 2 1 2 2(3ee)21 23e223ee(3ee)21 23e223eee211 2 21 2(ee)21 2e2e(ee)21 2e2ee2e211 22121 2312 312

cos

，解得：3．112

24．(2015湖北)已知向量OAAB，|3，則OAOB．【答案】9ABOA|3OAOB

OA(OAAB)|OA|2OAOB|OA|2329．25．(2014四川)平面向量a2)，b(4,2)，cb(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m．【答案】2 ca

c

ca cb1cm42m2)cos

c,

c,

所以

，|c||a|

|c||b

|c||a| |c||b|又|b|2|a|，所以2cacb，即2[(m4)2(2m2)]4(m4)2(2m2)m21026．(2013北京)已知向量ab夾角為45o，且|a|1，|2ab|1022【答案】b3

，則|b|． 2 102【解析】2ab (2ab)2104b4b10b310227．(2012湖北)已知向量a=(1，0)，b=(1，1)，則(Ⅰ)與2ab同向的單位向量的坐標(biāo)表示為 ；(Ⅱ)向量b與向量a夾角的余弦值為 ．310103101025【答案】(Ⅰ)10

,10

(Ⅱ)5 【解析】a0b2ab3,12ab同向的單位向量為cxyx310,31010x2y2310103yx

xy0，解得

1010

故c=10

,10．即與2ab同向的單位向量的坐標(biāo)為310310

10,10．10

y . 10 (Ⅱ)由

a=0,b=

b

b3a與向量a的夾角為，則25baa ,,0255cos ．5ba 528．(2012安徽)若平面向量a，b滿足：2ab≤3；則ab的最小值是 ．9

8 2 2 2ab34ab94ab，2 ∴4ab

94ab4ab94ab4abab829．(2011安徽)已知向量a,b滿足(ab)(ab)，且a1，b2，則a與b的夾角為 ．【答案】3【解析】設(shè)a與b的夾角為，由題意有(ab)(ab)aabbcos，所以1 cos ，因此0所以 ．253

3

．(201課標(biāo)理3知B(,)，C,t)，|C1則BC( )3

2

C．2 D．3【答案】C

【解析】2,3AC3,t，|1，t30BC0，則ABBC2故選C．(20112)已知C是邊長為2P為平面C(BC)的最小值是( 2【答案】B

32

43

1【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點為坐標(biāo)原點，則A(0,3)，B(1,0)，C(1,0)，設(shè) P(x,y) ，

3PA(x,3

y)

(1y)

xy) ， 則(BC

2x223y2y22[x2(y

32 )32

當(dāng)x0，y 時取得最小值2(3)3，32 4 2 4 23故選B．3．(201712)ABCDAB1AD2P在以點CBD相切的圓上．若AP，則的最大值為( )25A．3 B．2 C．25【答案】A

D．222125AABADxy軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，A(0,00)D(02)2，P在以點22125r，BC2CD1，BD

，1BCCD1BDr，r2，2 2 5圓的方程為(x1)2(y2)24，設(shè)點P的坐標(biāo)為(25cos1，25sin2)，5 5 525252525AP，( 1，5

sin2)，0)，2)，525125sin22，25522，其中tan2，5 5 5 5∵1sin()1，∴13，故的最大值為3，故選A．4．(2015新課標(biāo)Ⅰ，理5)已知(x0，y0)是雙曲線

x2y2y

1上的一點，F(xiàn)1、F2C上的兩個焦點，若

＜0，則y0的取值范圍是( )33(A)(- ，333

) (B)(- ， )336 633(C)(22，3

) (D)(23， )22323322323333【答案】A33x2x【解析】由題知F(3,0),F(3,0)，0y21，所以MFMF=

( x,y)( x,y)1 2=x2y233y210，解得

23y

0 1 23 A．3

0 0 0 00 0 0

3 0 35．(201110)已知a與b均為單位向量，其中夾角為p：|ab|1p：|ab|11 3 2 3p：|ab|1) p：|ab|1，]3，p4

，

3

4p2，p3

3p3，p4【答案】A2 2

1 ab 1【解析】由|ab|1a+2ab+b2

1，即ab＞ ，即2

|a||b|

＞ ，2)，3由|ab|1得，a2-2ab+b21，即ab＜1，即cos=ab＜1，∵∈[0，]，∴∈(，]，2 |a||b| 2 3故選A．6．(2016年天津)已知ΔABC是邊長為1的等邊三角形，點D,E分別是邊AB,BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE2EF，則AFBC的值為A．5 B．1 C．1 D．8 8【答案】B

4

811

33 【解析】設(shè)BAa，BCb，∴

DE

AC2

(b

，DF

DE2

(ba)，1AFADDF a

3 5 3(ba) a b，2 4 4 4∴AFBC

5ab

3b

53

，故選B．4 4 8 4 87．(2014安徽)設(shè)a,b為非零向量，b2a，兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個a和2個b排xyxyxyxy

4a2，則a與b的夾角為1 1 2 2 3 3 4 4A．23

B．3

C． D．06【答案】B

2 2Sy2y4S0abS2a

，記為S1，2S2abS2a

2 2b2abS2S4abS4ab，S，又|b|2|a|SS

22a

22b

4ab2(ab)20，3SS

2 ab

1 3 2ab(ab)20，1 2SSab)20SSSS

S4ab，設(shè)a,b的夾角為，2 3 3 2 12 2

31 Smin4ab8|a|cos4|a|

，即cos ，又，所 ．2 38．(2014浙江)設(shè)為兩個非零向量a，b的夾角，已知對任意實數(shù)t，|bta|是最小值為1A．若確定，則|a|唯一確定 B．若確定，則|b|唯一確定C．若|a|確定，則唯一確定 D．若|b|確定，則唯一確定【答案】B【解析】由于|ba2b2ata2t2ft)b2ata2t2，而tft)4a2b2(2ab)2

4a2b24a2b2cos24b2sin2小值為

1，4a2 4a2 4即|b|2sin21，則知若確定，則|b|唯一確定．9．(2013福建)在四邊形ABCD中，AC(1,2),BD(4,2)，則該四邊形的面積為55A． B．2 C．5 D．1055【答案】C【解析】 因

ACBD1(4)22

ACBC

，所以四邊形的面積為|AC||BD|2

5，故選C．121222(4)222110．(2013浙江)設(shè)，P是邊AB上一定點，滿足PB AB，且對于邊AB上任一點P，恒有10 0 4PBPC≥P0BP0C．則ABC900【答案】DBAC900ABACACBC【解析】由題意，設(shè)|AB|4，則|B1，過點CABH，ABPa，則由數(shù)量積的幾何意義可得，PBPCPH||PB||PB|(a1|PB|B|H||Ba，PBPCB恒成立，相當(dāng)于(|PB|(a1|PBa恒成立，整理得|PB|2(a1|PB|a0恒成立，只需a1)24aa1)20aHB2HAB．11．(2013湖南)已知a,b是單位向量，ab=0．若向量c滿足cab1，則c的最大值為221 B．22

222【答案】C22ab的坐標(biāo)a0b0,1cxycab1x2y2得 1，又c的最大值為圓x2yx2y22圓心(1，1)到原點的距離加圓的半徑，即 1．2

1 12．(2013重慶)值范圍是

OB2

1，APAB1AB2．若OP2，則OA的取 50,

B． 5, 7

C． 5,2 D． ,27 27

2 2

2 2 【答案】D

Ax軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)B(0)，2(0b)O(，y)，則AP＝1＋2(ab)，即Pab)．由|1＝|2＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1，所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0，由|OP|1(x－a)2＋(y－b)2222x2y2＜1，即0≤1－x2＋1－y2＜1，所以7＜x2＋y2≤2，即 7x2y2

，所以||的取值范圍是4 4 4 27 72,2，故選D． 13．(2018天津)如圖，在平面四邊形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1．若點E為邊CD上的動點，則AEBE的最小值為21 3A． B．16 2

C．25 D．316【答案】AAx中，3ABAD1BAD120A(00)0)D(3

1, mE(x,y)DC(

2 23,m33,m3)，AD(1,3)，因為ADCD，所以(3,m3)(1,322222222333(1) 3(m 3)0，解得m ，即3)，因為E在CD上，所以 3≤y≤ ，由332 2 2 2 23 33k

，得 3y

2 x

3y2

AE(x,y)

，BE(x1,y)，所以CE CD

1x

112AEBE(x,y)(x1,y)

= x2xy2

(3x2)2

3y2

4y253y6，令f(y)4y253y6，y[

3,3]，因為函數(shù)f(y)4y253y6在[2

3,53]2 8

上單調(diào)遞減，53在[ ,3]上單調(diào)遞增所以f(

4(53)25353621．所以AEBE的最小值為21，8

8 8 16 16故選A．14．(2018浙江)abeeae的夾角為b24eb30，則|ab|的最小值是()

，向量b滿足333

C．2 D．233【答案】A33【解析】解法一設(shè)O為坐標(biāo)原點，abOB(x,y)e1,0)b24eb30得x2y24x30，即(x2)2y21B的軌跡是以C(20)為圓心，l為半徑的圓．因為a與e

Ay3

3x

x

)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知3|abCA||CB1A．3解法二 由b24eb30得b24eb3e2(be)(b3e)0設(shè)bOB，eOEOF，所以beEB，b=FB，所以0，取EF的中點為C．則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖，設(shè)

a

，作射線 ，使

AOE3

，所以3|ab(a2e)(2eb)|(a2e)||(2eb)|3

=|CA||BC

1．故選A．15．(2017浙江)ABBCAD2CD3ACBD交于點O，記I1OAOB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，則I1<I2<I3I1<I3<I2

I3

I1<

I2<I1<I3【答案】CABCEAOAFAFB90，∴

COD

為 鈍 角

AOD

與

為 銳 角 ． 根 據(jù) 題 意I1I2OAOBOCOCCA|OB||CA|cosAOB0I1I2I2I3AGBDGABADBGAFFC|OA||OB||OC||OD|，而cosAOBcosCOD0，∴OAOBOCOD，即I1I3，∴I3I1I2，選C．

16．(2016四川)A，B，C，DDA=DB=DCDADB=DBDC=DCDA=2，動點P，M滿足AP=1，PM=MC，則BM2的最大值是43449 C． D．376337376337233【答案】B【解析】由

DADBDC

2D為ABCDADBDBDC=

D為的內(nèi)心，所以ABC為正三角形，易知其邊長為2

，取AC的中點E，因為MPCEM1AP1，所以2 2

|BM|max

|BE| 1 1

3max|BM3max

49．故選B．417．(2015福建)已知ABAC，

1AB 1t

ACt，若點P是ABC所在平面內(nèi)一點，且AP

AB

4ACPB

的最大值等于( )AB ACA．13 B．15 C．19 D．21【答案】A【解析】以題意，以點A為坐標(biāo)原點，以AB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸建立如圖所示的平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 ， 所 以

1， B(,t

， C(0,

， 所 以PBPC

(t4)

1 = (1)4(t4) 171 =

≤172

=13(當(dāng)且僅當(dāng)1t t t1114tt4t，即t= 時取等號)，所以PBPC的最大值為13．故選A．t 218．(2015湖南)已知點A,B,C在圓x2y21上運動，且ABBC．若點P的坐標(biāo)為(2,0)，則PAPBPC的最大值為( )A．6 B．7 C．8 D．9【答案】BA(mn，C(m,n，B(xyPAPBPC(x6y，而(x6)2y23712x49，∴PAPBPC的最大值為7，故選B．19．(2014安徽)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a,b，|a||b|1，ab0，點Q滿足OQ 2(ab．曲線CP|OPab0，區(qū)域{P|0rPQR,rR}．若C為兩段分離的曲線，則( )A．1rR【答案】A

B．1r3

C．r1R3

r3R【解析】設(shè)a(1,0),b(0,1)，則OP(cos,sin)，OQ(2,2)，所以曲線C是單位元，區(qū)域為圓環(huán)(如圖)，∵|OQ|2，∴1rR3．20．(2012廣東)對任意兩個非零的平面向量α和β，定義．若平面向量a,b滿足|a||b|0， na與b的夾(0, )，且ab和ba都在集合{|nZ}中，則ab=( )A．12【答案】C

4B．1 C．32

2D．52【解析】首先觀察集合{n|nZ},1 1 3 ，從而分析ab和ba的范圍如下：因 ,0, ,2, 2 2 2 2為

2 ba |b| |b|2(0, )，∴ cos1，而ba cos，且|ab|0，可得0 1，4 2 a

|a|

|a|又∵ba{n|nZ}中|b|cos1從而|b|

ab |a| ab ab |a| 2 |a| 2

|a| 2cos

bb

|b|所以1ab2．且ab也在集合{n|nZ}中，故有ab3．2 221．(2011山東)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若AAAA

R)，AAA(μ∈R)，且 2，則1 13 11

14 12 ，已知點C(c0)D(d0)，cdR)調(diào)和分割A(yù)(00)0，則下面說法正確的是CAB的中點DAB的中點CDAB上CDAB的延長線上【答案】D【解析】根據(jù)已知得(c,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]，即(c,0)(1,0)，從而得c(d0)00)0)00，即(d0)0)d112112ABy0x[0,1]． c d1 1 1 1若C是線段AB的中點，則c ，代2

2，得c d

0．AB的說法也不成立；若CDAB上，則0c≤10d≤1，1≥1c d

≥1

2，若等號成立，則只能cd1，1 c d1 根據(jù)定義，C,D是兩個不同的點，故矛盾，故選項C的說法也不正確，1 1若CDAB的延長線上，若c1d1，則

2，c d1 與 2矛盾，若c0,d0，1 c d

1 1是負(fù)值，與c d

2矛盾，1 c d1 若c1，d0，則1c

1，1d

0

11 c d1

2矛盾，1 c d1 故選項D的說法是正確的．222．(202017)e2為單位向量，滿足|e22，則cos2的最小值為 ▲ ．28

，ae1e2，b3e1e2，設(shè)a，b的夾角為【答案】29

3【思路導(dǎo)引】利用復(fù)數(shù)模的平方等于復(fù)數(shù)的平方化簡條件得e1e2關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值．

，再根據(jù)向量夾角公式求cos2函數(shù)4 2 322

212

2，解得：e1e24，cos

ab

1212

4，ab22210 設(shè)x

6x2

6x2

4x2

4x2 4則cos2 ，22x106x

2x22x0 3x28x5 3x22x

32x1x3cos2284cos22828．4 293

29

29212

23．(202013)的邊長為2PAPPBPD．

ABAC，則PD；55

，1【解析】分別以ABAD為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)．1∵AP2

(AB

1[(2,0)(2,，∴P(2,1)，∴，525((2)212∴|PD|

，又∵B(,)，∴BD201()1．1 21 24．(202012)aabb,1 21

kN*是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量，滿足|aa

|1且k1 |aibj2}(其中ik1

j2,,k)，則k的最大值為 ．【答案】6 00a20,1bjxy， 2 2bjbj1x

1，表示圓心為原點，半徑為1的圓； 2 2a1bj2xy

4，表示圓心為原點，半徑為2的圓，如圖這兩個圓用紅色線表示；當(dāng)a2

1x2y121，表示圓心為,01的圓； a2

2x2y124，表示圓心為,02由條件可知點xy6k是最大值是6．故答案為：6．25．(2020天津15)如圖，在四邊形ABCD中，

60

AB3，

BC6，且3，則實數(shù)的值為 ，若M,N是線段BC上的動點，且|MN|1，ADBC,

ADAB2則的最小值為 ．1 13【答案】6 2【思路導(dǎo)引】可得BAD120BBCxMx0Nx0(其中0x5關(guān)x的最小值．AD，AD//BC，BAD180120，ABADBCABBCAB

cs120

63 ，13，解得1213，解得12926533D2,2Mx0Nx0(其中0x5533

5 33

3 33DMx2,2，x2,2， DMDNx

5x

33

x2x21x2213， 2

2 2 2 2 13

1 13x2取得最小值

，故答案為： ； ．2 6 226．(2017浙江)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab||ab|的最小值是 最大值是 ．5【答案】4，25【解析】設(shè)向量a,b的夾角為，由余弦定理有： ab22212cos 54cos，1221222212cosab 54cos， 則abab554cosx

54cos554cosx

54cos，，則y21022516cos216,20， 20abab205 5

25,abab max min

164，即abab的最小值是4，最大值是2 ．527．(2015浙江)已知e,e是空間單位向量，ee1，若空間向量b滿足be2，be ，且對于51 2 1 2 2 1 2 2任意xyRb．

b(xe1ye2)≥b(x0e1y0e2)1(x0,y0R)，則

y0，2【答案】1 2 225【解析】由題意可令bxeyee，其中ee,i1,2，由be5

2得xy02由be ，01 02 3 3 i(e2ee)21 2 3得x0y5，解得x(e2ee)21 2 3

1 0 2 2 222 ．22 0 2 0 028．(2014山東)在VABC中，已知ABACtanA，當(dāng)A時，VABC的面積為．61【答案】6

uuruur

uur

uur 2ABAC

ABACcosA，∴由ABACcosAtanA，得

ABAC

，故VABC的31面積為

1|AB||AC|sin ．2 6 629．(2014安徽)已知兩個不相等的非零向量ab2個a3個bSy2

y2

y4

y5均x4y4，Smin表示S所有可能取值中的最小值則下列命題正確的是 (寫出所有正確命的編號)．①S有5個不同的值．②若abSmin與|a|無關(guān)．③若a∥bSmin與|b|無關(guān)．④若|b|4|a|Smin0．⑤若|b|2|a|，S 8|a|2，則a與b的夾角為．【答案】②④

min 4【解析】S有下列三種情況：2S1a

2 ab

2 2bb，2S2a

ababb

2b， 2S3ababababb∵S

SS

2 ab

2ab(ab)2|ab|20，1 2 2 3∴SminS3，2若ab，則SminS3b

，與|a|無關(guān)，②正確； 若ab，則SminS34abb

，與|b|有關(guān)，③錯誤；若|b|4|a|，則S S4|a||b||b|2|a||b||b|2|b|2|b|202 2 2 2 2若|b2|a|,Smin8|a|SminS34abb8|a|4|a|8|a|1 cos ， ∴ ，⑤錯誤．2 330．(2013山東)已知向量AB與AC的夾角120，且|AB|=3，|AC|=2，若APAC，且APBC，則實數(shù)的值為 ．7【答案】12【解析】向量 與 的夾角，且 所以．由 得， ，即，所以 ，即，解得 ．31．(2013浙江)設(shè)ee為單位向量，非零向量bxyR，若ee的夾角為，則|x|1 2 1

1 2

|b|的最大值等于 ．【答案】2|x| |x| |x| 1【解析】 |b| ye

x2y2

3xy x2y2

3xy1 2x21 1

|x

的最大值為2．(y

3y1 (y

3)21

|b|x x x 2 4

32．(2013天津)ABCD1BAD60CD1AB的長為 ．1【答案】2

1

1

ECDBEBCCEAD

DCAD2

ABADAB1，AC·BEAD

1AB)(ADAB)AD

1AB

1 ABAD11

1AB

1ABcos

1，所以AB0AB0，解得AB．AB1AB

1

12 4 233．(2011浙江)若平面向量滿足||=1，||≤1，且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為1，則與的夾角的取值范圍是 ．2【答案】[ , ]6 6【解析】如圖，向量與在單位圓O內(nèi)，因||=1，||≤1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為1，故以向量，為邊的三角形的面積為1，故的終點在如圖的線段AB上(∥AB，且圓心O2 4AB1)．[ , ]2 6 612)如圖，在BCABCE交于點OABAC6AOEC，則AB的值是 ．AC3【答案】3【 解 析 】

， ∴ AO = AEEO

AEECAOAD

(AB 2

1

1=E(CE)=1)EC=1BC，所以2

，解得

2

11

31

2

1 4AO

AD2

(ABAC)，ECACAE3

ABAC，

1

1

3 1

2 26AOEC6

(ABAC)( ABAC) ( AB

ABACAC)4 3 2 3 31AB

ABAC

3AC

ABAC

1AB

ABAC

3AC

，所以

1AB

32 AC2 22

2 2 2 2AB以AC

3，所以AB ．3AC35．(2019浙江17)已知正方形CD的邊長為1，當(dāng)每個ii,,,,,)

取遍1時，|1B2C3CD4A5C6D|最值是 最值 ．5【答案】25【解析】正方形ABCD的邊長為1，可得ABADAC，BDADAB，ABAD0，|1B2C3CD4A5C6D||1B2D3B4D5B5D6D6B|()2()21 3 5 62 4 5 6|1356)B2()2()21 3 5 62 4 5 6由于ii,,,,,)?ii=1,345)取遍11356024560，可取56,13,2,410；13564245642,4,56,1,3,5大值為2 ．56(2019天津理14)在四邊形CDAD∥BC,

AB23,

AD

A30E在線段CB的延長線上，且AEBE，則BDAE．【答案】-1【解析】因為ABBE，AD//BC，A30，所以在等腰三角形ABE中，BEA120，3223又AB2 ，所以AE2，所以 ，因為AEABBE，所以 ，又BDBAADABAD，

BE AD5

AE AB AD52

2

7 225BDAEABADAB5

AD33

ABAD AD5 52

7

22 7 2

ABADcosA 5 5

12 523 251．5 2 57(2018上)在面角標(biāo)系已點(0)B(,0)EF是y軸的個點且|F2，則AEBF的最小值為 ．【答案】3【解析】設(shè)

E(0,t)

F(0,t

，所以

AEBFt)(2,t

= 2t(t2)2t(t2t22t1)23，當(dāng)t1AEBF取得最小值．38．(2017江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，點P在圓O：x2y250上，若PA≤20，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ．【答案】[52,1]P(x,y)AB≤02xy5≤0，如圖由2xy5≤0可知，P在Nx2y2502xy50，解得M(1,7)，N(5,x2y25039．(2016年浙江)已知向量a,b，|a|1，|b|2，若對任意單位向量e，均有6|ae||be61

，則ab的最大值是 ．【答案】26【解析】由題意令e0)，a，b(22sin，則由|ae||be可得66|2|cos| ① ， 令 2sinm ② ， ①2+②2 得64[|coscos|sinsin]1m2對一切實數(shù),恒成立，所以4[|coscos|sinsin]1．故ab2(coscossinsin)

1．12 2140．(2015天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB2，BC1，ABC60．EFBC

1則AEAF的最小值為 ．29【答案】18

DC 9DF DCDF DC【解析】因為

1

1CF=

111DF DC DC DC = DF DC DC DC 9∴AEABBEAB，AFABBCCFABBC

21AB18

91ABBC，18

1AEAFAB

18

ABBC 1

118AB

BC118ABBC19

19918

421cos1201821172

2117292 18 2 18 18

21即 時的最小值為29．22 3 1821241．(2015江蘇)設(shè)向量ak(cos

,66

)(k,,,,12)則(akak1)值為 ．6k063【答案】93

(k1)

(k1)

(k1)【 解 析 】

akak1

,sin6

)6

,sin 6 6

cos )6= cossin2kcos(k33sin2k 1cos(2k

， 因 此6 6 6 6 4 6 2 61133129 ．33akk0

ak1 442．(2014湖南)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A(1,0),B(0,3),C(3,0),動點D滿足|CD|1，則|OAOBOD|的最大值是 ．7【答案】17【解析】設(shè)D(x,y)，由|CD|1，得(x3)2y21，向量(x1)(x1)2(y3)2(xy 3，故|的最大值為圓(xy21上的動點到點

3)距離的最大值，其最大值為圓(xy21的圓心0)到點的距離加上圓的半徑，(31)2(03)27即 (31)2(03)2743．(2012江蘇)如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若