幾何學(xué)的發(fā)展概述

第五章幾何學(xué)的發(fā)展形的認(rèn)識(shí)

形是人類對(duì)生存空間形式的直接認(rèn)識(shí)

從無規(guī)則圖形逐漸制造出一些規(guī)則的形體，形成抽象意義下的幾何圖形。第一頁，共三十五頁。圖5.1由魚形演化出的不規(guī)則的幾何圖形從立體圖形到平面圖形圖騰崇拜和宗教禮儀第二頁，共三十五頁。5.2測量與幾何在幾何發(fā)展最早的古代埃及，幾何一詞具有“土地測量”的含義。在古希臘幾何學(xué)傳入中國之后，漢字用幾何一詞來稱謂這門學(xué)科，而漢語中“幾何”具有“多少”的意思。第三頁，共三十五頁。5.2.1經(jīng)驗(yàn)公式古埃及人有計(jì)算矩形、三角形和梯形面積的方法三角形面積用一數(shù)乘以另一數(shù)的一半來表示圓面積的計(jì)算公式是A=(8d/9)2，其中d是直徑。這就等于取π為3.1605。四邊形的面積公式：（a+c）（b+d）/4（其中a、b、c、d依次表示邊長）。高為h、底邊長為a和b的方棱錐的平頭截體的體積公式：V=(1/3)h(a2+ab+b2)第四頁，共三十五頁。5.2.2求積方法勾股術(shù)與圖證“析理以辭，解體用圖”——“弦圖”大方=弦方+2矩形，（1）大方=勾方+股方+2矩形，（2）比較（1）與（2），得弦方=勾方+股方。

圖5.5伏羲手持規(guī)，女媧手持矩第五頁，共三十五頁。阿基米德的雙重方法——用力學(xué)原理發(fā)現(xiàn)公式，再用窮竭法加以證明如圖5.11拋物線有內(nèi)接三角形PQq，其中P與Qp中點(diǎn)V的連線平行于拋物線的軸。阿基米德從物理的方法發(fā)現(xiàn)：拋物線被Qp截得的拋物線弓形的面積，與三角形QPq的面積之比是4：3。阿基米德進(jìn)而使用窮竭法證明圖5.11阿基米德的雙重方法求面積第六頁，共三十五頁。5.2.3多邊形數(shù)第七頁，共三十五頁。第八頁，共三十五頁。最早的演繹幾何學(xué)《幾何原本》（約公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得）建立了第一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系——幾何學(xué)。標(biāo)志著人類科學(xué)研究的公理化方法的初步形成，《幾何原本》共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我們今天熟知的平面幾何和立體幾何的知識(shí)，其余各卷則是數(shù)論和（用幾何方法論證的）初等代數(shù)知識(shí)。全書證明了465個(gè)命題。第九頁，共三十五頁。5.3.1《原本》的公理化體系《原本》的公理化體系：全書先給出若干條定義和公理，再按由簡到繁的順序編排出一系列的定理(465個(gè)命題)。使整個(gè)幾何知識(shí)形成了一個(gè)演繹體系第十頁，共三十五頁。公設(shè)：（1）從任一點(diǎn)到任一點(diǎn)作直線是可能的。（2）把有限直線不斷循直線延長是可能的。（注意，這里所謂的直線，相當(dāng)于今天我們所說的線段。）（3）以任一點(diǎn)為中心和任一距離為半徑作一圓是可能的。（4）所有直角彼此相等。（5）若一直線與兩直線相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側(cè)的一點(diǎn)（現(xiàn)今稱為平行公理）。第十一頁，共三十五頁。公理：（1）跟一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。（2）等量加等量，總量仍相等。（3）等量減等量，余量仍相等。（4）彼此重合的東西是相等的。（5）整體大于部分。從現(xiàn)代公理化方法的角度來分析，《原本》的公理化體系存在著以下一些缺陷。沒有認(rèn)識(shí)到公理化的體系一定建立在一些原始概念上《原本》的公理集合是不完備的，這就使得歐幾里得在推導(dǎo)命題過程中，不自覺地使用了物理的直觀概念.但是建立在圖形直觀上的幾何推理肯定是不可靠的例如,每一個(gè)三角形都是等腰的“證明”[插入圖5.18]第十二頁，共三十五頁。5.3.2《原本》中的幾何方法《原本》在證明相關(guān)結(jié)論中使用了多種幾何方法，如,疊合法,歸謬法,代數(shù)式的幾何證法,等等。這些方法是人類早期研究圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法，在現(xiàn)代基礎(chǔ)教育中仍發(fā)揮著積極的作用。舉例如下：畢德哥拉斯定理，《原本》使用幾何的證法如下：如圖5.19，先證明△ABD△FBC，推得矩形BL與正方形GB等積。同理推得矩形CL與正方形AK等積。第十三頁，共三十五頁。5.4三大作圖問題與《圓錐曲線》三個(gè)作圖問題：倍立方，即求作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍；三等分角，即分一個(gè)給定的任意角為三個(gè)相等的部分；化圓為方，即作一正方形，使其與一給定的圓面積相等。第十四頁，共三十五頁。直到19世紀(jì)，才證實(shí)了只用圓規(guī)和直尺來求解這三個(gè)作圖題的不可能性，然而對(duì)這三個(gè)問題的深入探索引出大量的發(fā)現(xiàn)。其中包括圓錐曲線理論梅內(nèi)克繆斯（約公元前4世紀(jì)）最先發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：[插入圖5.24]阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》將圓錐曲線的性質(zhì)全部囊括其中圓錐曲線的定義方法如下：[插入圖5.25]第十五頁，共三十五頁。5.5坐標(biāo)幾何與曲線方程思想17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)立的。這兩位數(shù)學(xué)家敏銳地看到歐氏幾何方法的局限性，認(rèn)識(shí)到利用代數(shù)方法來研究幾何問題，是改變傳統(tǒng)方法的有效途徑。并為此開始了各自的研究工作，把代數(shù)方程和曲線、曲面的研究聯(lián)系在一起第十六頁，共三十五頁。笛卡爾的工作

幾何學(xué)》是笛卡爾哲學(xué)思想方法實(shí)踐的重要結(jié)果首先運(yùn)用代數(shù)方法解決作圖的問題，指出，幾何作圖實(shí)質(zhì)是對(duì)線段作加減乘除或平方根的運(yùn)算，所以它們都可以用代數(shù)的術(shù)語表示。假定某幾何問題歸結(jié)為尋求一個(gè)未知長度x，經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算知道x滿足x=，

他畫出x的方法如下：如圖5.27作直角三角形NLM，其中LM=b,NL=a/2,延長MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是OM的長度。[插入圖5.27]曲線與方程的思想明確指出：幾何曲線可以用唯一的含x和y有限次代數(shù)方程來表示的曲線第十七頁，共三十五頁。費(fèi)馬的工作

費(fèi)馬關(guān)于曲線與方程的思想，源于對(duì)阿波羅尼茲圓錐曲線的研究。他使用了傾斜坐標(biāo)系，建立了圓錐曲線的代數(shù)表述式。第十八頁，共三十五頁。5.6羅巴切夫斯基幾何學(xué)在歐幾里得幾何學(xué)中第五公設(shè)（即平行公理）的研究過程中，人們不自覺地將得到了許多第五公設(shè)的等價(jià)命題。發(fā)現(xiàn)了羅巴切夫斯基幾何學(xué)第十九頁，共三十五頁。5.6.1第五公設(shè)及其等價(jià)命題

等價(jià)命題普萊菲爾的平行公理：過直線外一點(diǎn)只能作一條直線平行于該直線三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于兩個(gè)直角；每個(gè)三角形的內(nèi)角和都相同；通過一角內(nèi)任一點(diǎn)可以作與此角兩邊相交的截線；存在兩個(gè)相似而不全等的三角形；畢達(dá)哥拉斯定理；過不在一直線上的三點(diǎn)可作一圓；圓內(nèi)接正六邊形的一邊等于此圓的半徑；四邊形的內(nèi)角和等于四個(gè)直角；第二十頁，共三十五頁。一。個(gè)等價(jià)命題的證明：如果任意三角形內(nèi)角和都等于π，那么過線a外一點(diǎn)A只能引進(jìn)一條直線與a不交。[證明]過A引a的垂線AB，并過A引AB的垂線b，則a與b必定不交。假如另有一條直線AC與a不交，記銳角∠BAC為－，在直線a上取點(diǎn)B1，使B1、C在AB同側(cè)，且使∠AB1B=α＜。按假設(shè)，直角△ABB1內(nèi)角和等于π，所以∠B1AB=－a＞∠CAB=－，（因?yàn)棣粒迹?。于是，作得一個(gè)△ABB1,而直線AC經(jīng)過其內(nèi)部，所以AC必與底邊BB1相交。這與AC與a不相交的假設(shè)矛盾第二十一頁，共三十五頁。5.6.2非歐幾何學(xué)的先兆從反面證明第五公設(shè)，意大利耶穌會(huì)教士、數(shù)學(xué)家薩凱里（1667~1733）于1733年第一次發(fā)表了其極具特色的成果。離開了求證第五公設(shè)的目標(biāo)，朝向創(chuàng)造非歐幾何的目標(biāo)靠攏但是，他們沒有認(rèn)識(shí)到歐幾里得幾何并不是在經(jīng)驗(yàn)可證實(shí)的范圍內(nèi)描述物質(zhì)空間性質(zhì)的唯一幾何第二十二頁，共三十五頁。5.6.3奇異的羅巴切夫斯基幾何學(xué)

羅巴切夫斯基非歐幾何的平行公理：設(shè)a是任一直線，A是a外任一定點(diǎn)。在a與A所決定的平面上，過點(diǎn)A而與a不相交的直線，至少有兩條羅巴切夫斯基非歐幾何命題三角形內(nèi)角和都是小于π的，而且其和量因三角形而異，并非一個(gè)常量。同一直線的垂線及斜線，并不總是相交的。不存在相似而不全等的兩個(gè)三角形。如果兩個(gè)三角形的各內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，則它們必定是全等的。存在著沒有外接圓的三角形。三角形三邊的中垂線并非必定交于一點(diǎn)。在平面上一條已知直線a的同一側(cè)，與已知線a有給定距離的點(diǎn)的軌跡是一曲線，它上面的任意三點(diǎn)都不在一條直線上。在任一角內(nèi)，至少存在這樣一點(diǎn)，通過它不能做出一條同時(shí)與兩邊相交的直線。圓內(nèi)接正六邊形的邊大于此圓半徑第二十三頁，共三十五頁。5.7幾何學(xué)的統(tǒng)一性與現(xiàn)實(shí)性

5.7.1黎曼幾何德國數(shù)學(xué)家年提出另一種非歐幾何學(xué)——黎曼幾何（黎曼。1854年）直接起源于微分幾何的研究黎曼幾何的平行公理，是假設(shè)過直線外一點(diǎn)不存在與已知直線平行的直線。在黎曼幾何中，三角形的內(nèi)角和大于兩直角，圓周率小于π第二十四頁，共三十五頁。5.7.2非歐幾何學(xué)的“現(xiàn)實(shí)性”

直到19世紀(jì)初，所有的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為歐氏幾何是物質(zhì)空間和此空間內(nèi)圖形性質(zhì)的正確描述。并且“空間”也專指當(dāng)時(shí)人們所唯一了解的歐幾里得空間羅巴切夫幾何自誕生之日起，其命題的合理性就不斷引起人們的懷疑。非歐幾何早期的發(fā)現(xiàn)者們?yōu)榱蓑?yàn)證它的合理性，曾作過一些實(shí)際的測定。歷史的事實(shí)卻殘酷的告訴我們，羅氏幾何遲至今日也沒能在物理空間找到應(yīng)用，只有在邏輯的范疇內(nèi)，利用公理化的思想與方法找到它存在的“合理性”黎曼幾何在相對(duì)論中的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用。愛因斯坦說：“我特別強(qiáng)調(diào)剛才所講的這種幾何學(xué)的觀點(diǎn)，因?yàn)橐菦]有它，我就不能建立相對(duì)論?！钡诙屙?，共三十五頁。5.7.3愛爾蘭根綱領(lǐng)

19世紀(jì)初，運(yùn)用歐幾里得綜合方法，創(chuàng)造出與解析幾何相媲美的射影幾何學(xué)愛爾蘭根綱領(lǐng)（克萊因，1872年）：所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對(duì)于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問，或者說任何一種幾何只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量?？巳R因以射影幾何為基礎(chǔ)、對(duì)幾何學(xué)做了如下的分類：

第二十六頁，共三十五頁。利用不變性研究圖形的性質(zhì)，為初等幾何的研究提供了新的方法。例如，由于在仿射交換下橢圓可以變成圓，相應(yīng)地橢圓中心變?yōu)閳A心，橢圓的切線變?yōu)閳A的切線。我們不妨將原命題應(yīng)用仿射變換轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圓的命題：設(shè)△ABC為圓內(nèi)接三角形，以其頂點(diǎn)作切線構(gòu)成了切線三角形A1B1C1。如果A1B1∥AB.B1C1∥BC。那么A1C1∥AC。一旦我們證明了這個(gè)有關(guān)圓的命題，再利用仿射變換下“平行”為不變性，便可知原命題成立。第二十七頁，共三十五頁。5.8幾何基礎(chǔ)與公理化方法

5.8.1公理化方法非歐幾何、非交換代數(shù)（如四元數(shù)）的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)家注意到古希臘把公理當(dāng)作自明的真理的局限性。分析的算術(shù)化研究不斷深入，逐漸形成了科學(xué)的公理化方法。公理集合的性質(zhì)相容性，即由公理導(dǎo)出的定理，沒有哪兩個(gè)是相互矛盾的；完備性，即理論系統(tǒng)中的定理都可以從公理導(dǎo)出獨(dú)立性，即由公理導(dǎo)出的定理中中沒有一個(gè)是另一個(gè)的邏輯結(jié)果。在任何一個(gè)公理系中，不加定義的概念例如幾何學(xué)中的“點(diǎn)”和“線”，它們?cè)谖锢眍I(lǐng)域中的“意義”或關(guān)系，在數(shù)學(xué)上是非本質(zhì)的。它們被當(dāng)作純粹抽象的東西，它們?cè)谘堇[系統(tǒng)中的性質(zhì)，完全用公理的形式加以界定第二十八頁，共三十五頁。5.8.2歐氏幾何公理體系的嚴(yán)密化

希爾伯特幾何公理體系被劃分為五組，用五組公理聯(lián)結(jié)三種對(duì)象及其間的三種關(guān)系（六個(gè)原始概念）。如果在這個(gè)公理體系中去掉第三種幾何基本對(duì)象（“平面”）以及與它有關(guān)的各條公理，余下來的公理和五個(gè)原始概念就可以構(gòu)成一個(gè)“平面幾何的公理系統(tǒng)”。希爾伯特公理集可以排除歐氏幾何證明中的直觀成分。第二十九頁，共三十五頁。例如，用公理IV給出下述命題的證明：命題：聯(lián)接圓內(nèi)的一點(diǎn)A與圓外一點(diǎn)B的直線段與該圓周有一個(gè)公共點(diǎn)。圖5.33圓內(nèi)外兩點(diǎn)連線必與圓相交的證明事實(shí)上，令O為給定圓的圓心，r為半徑，C為從O到AB線段的垂線。線段AB上的點(diǎn)可被分為兩類：對(duì)于一些點(diǎn)P，OP＜r，和對(duì)于一些點(diǎn)Q，OQ≥r?？勺C明：對(duì)每一種情況，CP＜CQ。根據(jù)戴德金的公設(shè)，在AB上存在一個(gè)點(diǎn)R，使得：所有位于它之前的點(diǎn)屬于第一類，并且所有位于它之后的點(diǎn)屬于第二類。于是OR不小于r，否則我們能在R和B之間選AB上的點(diǎn)S，使得RS＜r－OR，但是，因?yàn)镺S＜OR+RS，這意味著謬論：OS＜r。類似地，能證明：OR不大于r。因此，我們必定有OR=r，于是定理得證。第三十頁，共三十五頁。5.8.3公理集合的相容性

形式公理體系的相容性證明的模型方法例如，平面幾何公理系統(tǒng)的解析模型羅巴切夫斯基幾何學(xué)的模型相對(duì)相容性的解決方法選用一個(gè)，大家都相信它具有邏輯相容性的領(lǐng)域（比如上面這個(gè)代數(shù)領(lǐng)域），用這里的材料來保證陌生公理體系的相容性。厐加萊不無挪揄的指出：為了防止狼，牧羊人修起了柵欄，但卻不知道羊圈里是否還有狼第三十一頁，共三十五頁。5.9學(xué)校中歐氏幾何的教育

中學(xué)歐氏幾何的教學(xué)的目的，主要有兩種類型：發(fā)展學(xué)生的演繹推理的能力，培養(yǎng)空間想象和空間推理能力第三十二頁，共三十五頁。5.9.1幾何邏輯思維發(fā)展的培養(yǎng)模式

平面幾何的課程體系就成為邏輯思維發(fā)展的主要思維材料課程體系要適應(yīng)幾何思維發(fā)展的需要在整合狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)概念、定理的認(rèn)知