2011-2020年高考數(shù)學(xué)真題分專題訓(xùn)練 專題14 解三角形（教師版含解析）

專題14解三角形十年大數(shù)據(jù)全景展示年份題號考點(diǎn)考查內(nèi)容理16正余弦定理及三角形面積公式20112012文15理17文17理17文10已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形算求解能力．卷1卷1已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形算求解能力．公式解平面圖形已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形二倍角公式、利用正余弦定理解三角形．2013思想．已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形卷2理17卷2卷1卷2卷1卷2卷1卷2文4理16理4已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形公式等基礎(chǔ)知識已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形三角形的面積公式、余弦定理2014正余弦定理在實(shí)際測量問題中文16文17理16理17的應(yīng)用余弦定理及三角形面積公式，運(yùn)算求解能力合思想2015利用正弦定理與余弦定理解三角形中的邊角及三角形面積問題已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形算求解能力．卷1卷2卷1卷1卷2卷3卷3卷2卷1卷2卷3卷1卷2卷3卷1卷2文17文17理17文4利用正弦定理與余弦定理解三角形中的邊角及兩角和的三角公式已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形積公式，運(yùn)算求解能力．余弦定理解三角形．已知邊角關(guān)系利用正余弦定理理13理8解三角形定理解三角形．2016利用余弦定理解三角形．文9利用正弦定理解三角形．公式、利用正弦定理解三角形．文15理17理17理17文11文16文15理17已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形解三角形、求三角形面積，運(yùn)算求解能力已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形解三角形、求三角形面積，運(yùn)算求解能力已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形解三角形、求三角形面積，運(yùn)算求解能力與化歸思想與運(yùn)勢求解能力．2017已知邊角關(guān)系利用正余弦定理正弦定理、三角恒等變換與已知三角函數(shù)值求解三角形利用正弦定理解三角形．利用正弦定理、余弦定理解平面四邊形邊長及角，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．2018理6文卷3理9文已知邊角關(guān)系利用正余弦定理二倍角公式、利用余弦定理求三角形邊長．711解三角形已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形解三角形、求三角形面積，運(yùn)算求解能力關(guān)系，運(yùn)算求解能力卷1卷1卷2文16已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形定理求角及三角函數(shù)值，運(yùn)算求解能力．已知邊角關(guān)系利用正余弦定理理17理15解三角形定理求三角形角及三角形面積，運(yùn)算求解能力．求解能力．已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形2019卷318已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形卷1文11文15利用正余弦定理解三角形．已知邊角關(guān)系利用正余弦定理卷2卷1卷2解三角形解三角形解三角形解三角形解三角形解三角形求角，轉(zhuǎn)化與化歸思想．文18理17文17理7余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)公式正弦定理、余弦定理，基本不等式余弦定理，三角函數(shù)公式2020余弦定理及其推論卷3文11余弦定理推論，平方關(guān)系、商關(guān)系大數(shù)據(jù)分析預(yù)測高考出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測考點(diǎn)考點(diǎn)已知邊角關(guān)系利20/36用正余弦定理解三角形2021年高考仍將重點(diǎn)考查已知三角形邊角關(guān)系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面圖形的邊、角與面積，題型既有選擇也有填空更多是解答題，若考解答題，主要放在第17題位置，為中檔題，若為選題可以為基礎(chǔ)題，多為中檔題，也可為壓軸題．考點(diǎn)利用正弦定理、17/36余弦定理解平面圖形考點(diǎn)正余弦定理在實(shí)1/36際測量問題中的應(yīng)用十年試題分類探求規(guī)律考點(diǎn)44已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形(2019ABC的內(nèi)角A，BC的對邊分別為abcasinAbsinB4csinC，1bA()4cA．6．5．4D．3【答案】A222abc11basinAbsinB4csinC，Acbc6，2b2c2a214A2c4A．(20189文的內(nèi)角ABC的對邊分別為abc的面積為a2b2c2，4則C()A．．．D．2346【答案】C【解析】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．的面積為a2b2c2，41a2b2c2a2b2c2SABCC，CC，0C，C，C．2442(20164)的內(nèi)角A、BC的對邊分別為abca5c2A，3則b()A．2．3．2D．3【答案】D2ba5，c2，A，由余弦定理可得：A2c2a2b2452332b21bb30，解得：b3或(舍去)，故選D．2312．(2014新課標(biāo)Ⅱ，理4)鈍角三角形的面積是AB=12)5A．5．．2D．1【答案】．12112【解析】∵S|AB||BC|sinB，即：12sinB，∴sinB，222即B45或135．又∵||2||2||2||||B2∴|21或5，又∵為鈍角三角形，∴|25，即：5，故選．A2A0，(2013已知銳角△的內(nèi)角ABC的對邊分別為abc，23cos2a=7，c6b=A10B9C．8D5【答案】D123cosA2A0及△是銳角三角形得A=，∵a，c6，∴2【解析】由5113b650，解得b5或b=(舍)，故選D．7262b22bb255．(2014江西)在中，內(nèi)角ABC所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,ab2sin2Bsin2A的值為()sin2A191372A．．C．1D．【答案】D2sin2Bsin2AsinB)sinAb7【解析】∵ab，∴=2(212()1=，故選D．2sin2Aa2．(2017山東)在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c為銳角三角形，且滿足sinB2cosC)2sinACAsinC，則下列等式成立的是A．a(chǎn)bB．baC．A2BD．B2A【解析】AsinB2cosC)2sinACAsinCB2sinBCACB，即2sinBCAC，所以2sinBAbaA．的內(nèi)角A，B，Csin2Asin(ABC)=sin(CAB)．(2014重慶)1，面積S滿足1≤S≤2，記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，則下列不等式一定成立的2是A．bcbc)8ab(ab)1626D．C．．【解析】A1【解析】因?yàn)锳BCsin2Asin(ABC)sin(CAB)21得sin2Asin2BsinC，212即sin[(AB)(ABsin[(AB)(ABsinC，1整理得sinAsinBsinC，8111又SabsinCbcsinAacsinB，22211S3a2b2c2sinAsinBsinCa22bc2，由1≤S≤28641得1≤a2b22c≤23，64即8≤≤2，因此選項(xiàng)、D不一定成立．又bca0，bcbc)bca≥8bcbc)8，選項(xiàng)A一定成立．又abc0，ab(ab)8，顯然不能得出ab(ab)162，選項(xiàng)B不一定成立．綜上所述，選A．．(2014江西)在a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，若c2(a)26，C的面積是()3932332A3．．D．33【解析】C【解析】由c2(a)26a2b2c22ab6①，由余弦定理及C可得a2b2cab2可得31332②．所以由①②得6，所以Sabsin．23．(2013遼寧)在，內(nèi)角,B,C所對的邊長分別為a,b,caBC1csinBcosAbabB=2．B．．．6336【解析】A112【解析】邊換角后約去Bsin(AC)，所以sinBB非最大角，所以B．26(2013陜西)設(shè)△的內(nèi)角，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosCcBasinA，則的形狀為(A．銳角三角形)．直角三角形．鈍角三角形D．不確定【解析】B【解析】∵bcosCcBasinA，∴由正弦定理得sinBCsinCBsin2A，∴sin(BC)2A，∴sinAsinA，∴sinA1，∴△是直角三角形．2asinABbA2．遼寧)△的三個內(nèi)角BC所對的邊分別為abc，baaA．23．22．3D．2【答案】D【解析】由正弦定理，得2ABB2A2AsinB(sin2A2)2sinA，bsinBsinAB2A，∴2．a(chǎn)(2019?新課標(biāo)Ⅱ，理15)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，cb6，a2c，B，3則ABC的面積為【答案】63．b2a2c2acBb6a2cB36(2c)2c24c2c，2331SABCacsinBc2sinB63．2(201816)的內(nèi)角ABC的對邊分別為abcbsinCcsinB4asinBsinC，b2ca8ABC的面積為22．233【答案】【解析】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，bsinCcsinB4asinBsinC，利用正弦定文可得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC，由于0B，0C，b2ca221sinBsinC0，所以sinAA或b2c2a28，則：A，266388331233當(dāng)A，解得，所以SABCbcsinA．622238833當(dāng)A，解得(不合題意)，舍去．62bc23故SABC．3(2017新課標(biāo)卷216)的內(nèi)角ABC的對邊分別為a2bcosB=acosC+ccosA【答案】3【解析】由正弦定理可得1π32sinBcosBsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinBcosBB245．(2016?新課標(biāo)Ⅱ，理的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A，cosC，513a1b．21【答案】1345162532512A，cosCsinA12A1，sinC12C1，513516913sinBsin(AC)sinAcosCAsinC3541263，由正弦定理可得basinBsinA513513656365312113．517．(2014新課標(biāo)Ⅰ，理已知a,b,c分別為的三個內(nèi)角,B,C的對邊，a，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC面積的最大值為．3【答案】【解析】由a2且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，即(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，由及正弦定理得：(ab)(ab)(cb)ccab2221∴b2c2a2bcA，∴A600，∴b2c42214b2cbcbcSbcsinA3．22中，角,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c．已知bC．(2014廣東)在acBb．b【解析】2【解析】由bcosCcBbBCCB2sinB，a即sin(BC)2sinB，A2sinB，∴ab2．b,B,C所對邊的長分別為a,b,cbca．(2013安徽)設(shè)的內(nèi)角3sinA5sinB,C_____．2【解析】3a2b2c22ab1223【解析】3sinA5sinB3ab,bc2acosCC，所以．，23．(2012安徽)設(shè)的內(nèi)角,B,C所對的邊為a,b,c；則下列命題正確的是．c2C②若abcC33a3b3c3C(ab)c2abC22(a2b2c2ab2C3【解析】①②③a2b2c2ab21【解析】①c2cosCC223a2b2c2a2b2)ab)21②abccosCC2823Cc2a2b2c3a2cb2ca3b3與a3b3c32abc1(ab)c2abC2abc1(a2b2c2a22bC．31．(2012北京)在ABC中，若abc7,cosBb=．4【解析】41【解析】根據(jù)余弦定理可得b24(7b)222(7b)()，解得=4．4．(2020全國Ⅰ文18)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,cB．若ac,b27的面積；2若sinA+3sinC=C．2【答案】(1)3(2)．a(chǎn),cca,c【思路導(dǎo)引】(1)已知角B和b即可得出結(jié)論；(2)將A30C代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關(guān)角的三CC角函數(shù)值，結(jié)合的范圍，即可求解．【解析】由余弦定理可得b2ac2，2c21ca2(2)AC30，SacsinB3．的面積21232A3CC)3CCCC)，220C3030C3060，CC．25．(2020全國Ⅱ文17)△的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知cos2AA．4求A；3若bca，證明：△ABC是直角三角形．3【答案】A；(2)證明見解析．3254【思路導(dǎo)引】根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，2AA可化為5312AA，即可解出；根據(jù)余弦定理可得bc22a代入可找到bcabc243a,b,c關(guān)系，再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．25455【解析】∵2AA2AA，即12AA，441A0A，∴A．23b2c2a21∵AAbcabc222323b2c23bc2b2c20bcbc，又bca②，將②代入①得，3∴acb2ac，即△22是直角三角形．．(2020全國Ⅱ理17)sin求A；2AsinBsinCsinBsinC．22若3周長的最大值．【答案】(2)323．3【思路導(dǎo)引】利用正弦定理角化邊，配湊出A的形式，進(jìn)而求得；A2ACAB9，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得利用余弦定理可得到ACAB到結(jié)果．22212【解析】由正弦定理可得：222AAB，，2AA，．3由余弦定理得：BC2AC2AB22ACABAAC2AB2ACAB9，2ACAB9．即ACABACAB2ACAB(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，2ACAB239ACAB2ACABACAB2ACAB，224解得：23(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，L323，周長的最大值為323．(202016)在A，B，C的對邊分別為a，b，ca3，c2，B．求C的值；4在邊上取一點(diǎn)D，使得，求的值．5【答案】見解析a2c2b211b22【解析】由余弦定理，得B45，2622cb255b25，即b5，由正弦定理，得，因此C．sinCsinBsinC252435∵，∴sinADC12ADC，5255C)，∴C1C2∵ADC(,)，2225∴sinDACDAC)sin(ADCC)CC5sin112DAC(0,)，∴12．．2．(202016)在ABC中，角,B,C所對的邊分別為a,b,c．已知a22,bc(Ⅰ)C的大??；求sinA的值；4sin2A(Ⅲ)求的值．22【答案】(Ⅰ)C=(Ⅱ)sinA(Ⅲ)sin2A．44【思路導(dǎo)引】(Ⅰ)直接利用余弦定理運(yùn)算即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)及正弦定理即可得到答案；(Ⅲ)先計算出sin,cos,進(jìn)一步求出sin2,cos2A，再利用兩角和的正弦公式計算即可．【解析】(Ⅰ)在ABC中，由a22,bc及余弦定理得a2b2c2822252C，22又因?yàn)镃(0,)，所以C=．42222在ABCC=，a22,csinAasinC；24c132313(Ⅲ)由acA為銳角，由sinA，可得A12A，13125sin2A2sinAcosA,cos2A2cos2A1，1313sin(2A)2A2A25217226．44422．浙江18)在銳角△中，角A，C的對邊分別為abcbsinAa．(I)求角；(II)cosA+cosB+cosC的取值范圍．313B,【答案】(I)(II)322【思路導(dǎo)引】(I)首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定∠B的大??；(II)結(jié)合(1)的結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有∠A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定∠A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得ABC的取值范圍．3【解析】(I)由bAa結(jié)合正弦定理可得：2sinBsinA3sinsinB，△為銳角2B三角形，故．3(II)結(jié)合(1)的結(jié)論有：13ABCAA21621313112sinAAAsinAsinAcosA．2222220A3332AAsinA,1由可得：，，2623630A2313,，即ABC312313,的取值范圍是sinA．2222．(202017)在①3，②csinA3，③cb這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且sinA3sinB，πC，？6注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】詳見解析【思路導(dǎo)引】由題意結(jié)合所給的條件首先設(shè)出ab的長度，然后結(jié)合余弦定理和正弦定理解三角形確定邊長c即可．【解析】選擇條件①的解析：a3，不妨設(shè)am,bmm0由sinA=3sinB可得：，b3cm2．c2a2b2Cm2m22mmm2據(jù)此可得：mmm23，m1，此時cm1．a(chǎn)3，不妨設(shè)am,bmm0選擇條件②的解析：由sinA=3sinB可得：，b3cm2．c2a2b2Cm2m22mmm22c2a2m2m2m212122b3據(jù)此可得：A，則：sinA1，此時：2m223cAm3，則：cm23．2a3，不妨設(shè)am,bmm0選擇條件③的解析：由sinA=3sinB可得：，b3cm2．c2a2b2Cm2m22mmm2cm1b矛盾，則問題中的三角形不存在．據(jù)此可得，cb，與條件cbm29．(2019?新課標(biāo)Ⅰ，理17)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．設(shè)BC)求A；2ABC．2若2ab2csinC．【解析】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．設(shè)BC)則sinBsinC2sinBsinCsin由正弦定理得：bca，22ABC．222AsinBsinC，222b2c2a21A，20A，A．32abc，A，3由正弦定理得2sinAsinB2sinC，6sin(C)2sinC232sin(C)，C，C，626446sinCsin()sinsin232162．46464622224AC(文的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，casinbsinA．2求B；若ABC為銳角三角形，且c1面積的取值范圍．ACBB【解析】asinbsinA，即為asinacosbsinA，222BBBsinAsinBsinA2sinsinA，222sinA0，BBBcos2sincos，222B若0，可得B(2k，kZ不成立，2B1sin，22由0B，可得B；3若ABC為銳角三角形，且c1，由余弦定理可得ba212aa2a1，3由三角形為銳角三角形，可得a2a2a11且1a2a1a，21a2，21338，3)．Sasina(2342a2(2017新課標(biāo)卷17)△sinBsinCABC的內(nèi)角，，的對邊分別為，，abc△的面積為3sinA．求；若6BC1，a3△的周長．a(chǎn)21SSbcsinA【解析】(1)∵△ABCA2a21bcsinA∴3sinA23a2bcsin2A∴23sin2AsinBsinCsinA2∵由正弦定理得2，23sinBsinC由A0得．21sinBsinCBC36由(1)得，ABCπ∵12BCsinBsinCBcosCAπBC∴A0π，又∵31sinAAA，∴2，2由余弦定理得a2b2c92①aabsinBcsinCsinAsinA由正弦定理得，a2sinBsinC82A∴sin②①②得bc33∴abc333△ABC周長為333B(2017新課標(biāo)卷2的內(nèi)角C所對的邊分別為a,b,csin(AC)2sin2，2求B；若ac6，的面積為2b．ABC得sinB8sin2【解析】由題設(shè)及2sinB4-cosB）17cos215上式兩邊平方，整理得1（舍去），=1715由cosB814sinBSABCcsinBac=得171721717又S=2，則ac2由余弦定理及ac6得ac2acB（a+c）2b2222362)24b=2(2017新課標(biāo)卷317)的內(nèi)角B的對邊分別為abcsinA3A0，a27，b2．求c；設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且△ABD的面積．π32sinA0，【解析】由sinA3cosA0得πZπkAπ，即A∴A3π2ππA．331bcA．又∵a27,bA代入并整理得c12c4．由余弦定理a2b2c22∵27,4，a2b2c2277由余弦定理C．2∵為直角三角形，則CCD7．CD223．由勾股2π32π3ππ6又A，21π△ABD3．2634．(2016新課標(biāo)卷1，理的內(nèi)角A，B，C的對邊分別別為a，b，c，已知2cosC(acosB+bcos).(I)求C；33(II)若c7,的面積為的周長．2【解析】(I)由正弦定理及2cosC(acosB+bcos).2cosCABB)C得，，1即2cosCAB)C2CCC0CC0C，2C．3(II)由余弦定理得：c2a2babcosC217a2b22ab7213332SabsinC24∴6∴ab1827ab5∴△周長為abc57．(2015新課標(biāo)Ⅰ，文17)a,b,c分別是,B,C的對邊，sin(I)若abcosB;2B2sinAsinC．(II)若B90a2,求的面積．1【答案】(I)(II)14【解析】(I)由題設(shè)及正弦定理可得b=2ac．2又a=b，可得b=c，a=c，+c-b2a22214由余弦定理可得B==．(II)(1)知b=2ac．2B=°，由勾股定理得a2+c2=b2．故a2+c2=2acc=a=2．D的面積為．．(2013新課標(biāo)Ⅱ，理17)A，，C的對邊分別為a，b，c，已知a=bCcB．Ⅰ)求；Ⅱ)若b=2，求△面積的最大值．【解析】Ⅰ)由已知及正弦定理得ABCCB又A(BC)，∴BCBC=BCCB，即BCCB，∵C(0,)∴C0，∴BB，∵B(0,)B．412Ⅱ)△的面積acsinB=，24由已知及余弦定理得4a2c2ac24∵a2c22ac，4故，當(dāng)且僅當(dāng)ac時，取等號，22∴△面積的最大值為21．37．(2012新課標(biāo)，理17)已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，aCaCbc0．()求A；()若a=2，的面積為3bc，．【解析】()由aCaCbc0及正弦定理得AC3ACBC0，BAC，所以3ACACC01C0，所以sin(A)，62又0AA．31()的面積S=bcsinA=3=4，2a2b2c2bcA故cb2=8，解得bc=2．2而(201217)abc分別為三個內(nèi)角ABC的對邊，caCcA()求A；．()若a=2，的面積為3b，c．【解析】()由caCcA及正弦定理得3ACACC12C0，所以sin(A，)6又0AA．31()的面積S=bcsinA=3=4，2a2b2c2bcA故cb2=8，解得bc=2．2而．(2014陜西)的內(nèi)角C所對的邊分別為ac．(I)若ac成等差數(shù)列，證明：AC2sinAC；(II)若ac成等比數(shù)列，求B的最小值．【解析】ac成等差數(shù)列，acb由正弦定理得AC2sinBsinB(ACsin(AC)AC2sinACac成等比數(shù)列，b22aca2c2b2a2c2ac12由余弦定理得B222a2c22當(dāng)且僅當(dāng)ac時等號成立)1當(dāng)且僅當(dāng)ac時等號成立)a2c22a2c21當(dāng)且僅當(dāng)ac時等號成立)1112222112即B，所以B的最小值為2．(201915)在△中，角B，C的對邊分別為，bc．2若a=3cb=2，cos=c的值；3AB若sin(B)的值．a(chǎn)b2a2c2b22c)2c2(2)21【解析】由余弦定理cosBc．22ac32cc33c．3sinAB，ababBsinB，所以B2sinB．由正弦定理sinAsinBbb45BcosB2B(2sinB)2cos2B41cos22．25B0，所以B2sinB0，從而B．5π2255BB．(2019天津理在△,B,C所對的邊分別為a,b,cbcacBaC．Ⅰ)求B的值；Ⅱ)求sin2B的值．6bc【解析】(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理，得bsinCcsinB，又由csinB4asinC，sinBsinC423得bsinC4asinCb4a．又因?yàn)閎c2a，得到baca，．34aa2a22a2c2b21499由余弦定理可得B．222aa3154sinB1cos2BⅡ)由()，15878，2B2Bsin2Bsin2B2sinBcosB，故sin2Bsin2B2Bsin15π6ππ371357．668282．(2018天津)在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知bAaB)．6(1)B的大??；(2)設(shè)a2，c3b和sin(2AB)的值．a(chǎn)b【解析】在中，由正弦定理，可得bAaB，sinAsinBππbsinAacos(B)asinBacos(B)，66π6即sinBcos(BB3)，可得．又因?yàn)锽(0，π)，可得B．3在中，由余弦定理及a2，c3，B，3有b2a2c22accosB7b7．π32由bsinAacos(B)，可得sinA．因?yàn)閍cA．6771437sin2A2sinAA，2A22A1．7431133314所以，sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB．7272．(2016年山東)在△中，角A，，C的對邊分別為，bc，已知ABAB).BAⅠ)證明：abc；Ⅱ)求C的最小值．AB【解析】Ⅰ)由AB)BACBBB2CBC，由正弦定理，得a+b=c．AB得2，a2b2c2(ab)22c2Ⅱ)由C22c2c23121?11．a(chǎn)b2)222(21cosC的最小值為．2cosAcosBsinC．(2016年四川)在△中，角A，，C所對的邊分別是ab，．a(chǎn)bc(I)證明：ABC；6(II)若b2c2a2bcB．5abc【解析】(I)證明：由正弦定理sinAsinBsinCABsinC1原式可以化解為sinAsinBsinC∵A和B為三角形內(nèi)角，∴sinAsinB則，兩邊同時乘以sinAsinB，可得sinBcosAsinAcosBsinAsinB0BAABABCC由和角公式可知，原式得證．6b2c2a23(II)b2c2a2bc，根據(jù)余弦定理可知，A55A0,sinA0∵A為三角形內(nèi)角，，2A334則sinA155sinA4ABsinCB1141(I)．sinAsinBsinC∴tanB4．sinBB．(2015湖南)設(shè)的內(nèi)角,B,C的對邊分別為a,b,c，abAB為鈍角．證明：BA；2求AC的取值范圍．sinAbsinBAaB【解析】由a=bA及正弦定理，得，B=AsinB=sin(+)．2，)B=又B為鈍角，因此+A(+AB-A=；2222由(1)C=-(A+B)=-(2A+)=-2A>0，22A，4sinAsinCsinAsin(2)=A2A=2sin2AsinA12192(sinA)，2=48221<2sinA≤．42990<A<，所以0<A<，因此42288298由此可知AC的取值范圍是(，]．2．(2012安徽)的內(nèi)角,B,C所對邊的長分別為a,b,c，且有2sinBAACAC．()A的大??；()若b2，c1，D為的中點(diǎn)，求AD的長．【解析】Ⅰ)ACB,,B(0,)sin(AC)sinB02sinBAsinAcosCAsinCsin(AC)sinB1AA23a2b2c2bcAa3b2a2c2B(II)2(3)7在RtADAB2BD2122．22．山東)在△a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長．已知A2cosC2ca．BbsinC(I)求的值；sinA1(II)若B，b2，的面積S．4abc【解析】(I)由正弦定理，設(shè)k,sinAsinBsinC2ca2ksinCksinA2sinCsinA則,bksinBsinBA2cosCB2sinCsinA.sinB即A2cosC)sinB(2sinCsin)B，化簡可得sin(AB)2sin(BC又ABC，sinCC2sinA，因此2.sinAsinC(II)由2得c.sinA11由余弦定理b2a2c22acB及B,b得4=a24a24a.244a=1．因此=2．14又因?yàn)锽,且0B.sinB.411154154SacsinB12.22．安徽)在a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，a=3，=2，12cos(BC)0，求邊上的高．【解析】由12cos(BC)BCA1312AA,A.22bA2再由正弦定理，得B.a22由ba知B,所以B,B,B1B.22231由上述結(jié)果知CAB)(22231上的高為h，則有hbC.2考點(diǎn)45利用正弦定理、余弦定理解平面圖形2．(2020全國Ⅲ文11)在C,4,3B()3A．5B．25．45D．85【答案】Cc【思路導(dǎo)引】先根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求B，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求.2,,b，c2a2b22abC9162349c3，【解析】設(shè)3a2c2b211459BsinB1()2tanB45．2ac992．(2020全國Ⅲ理7)在△cosC,AC4,BC3B()319131223A．．C．D．【答案】A222【思路導(dǎo)引】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得AB，再根據(jù)B，即可求得答案．2ABCC【解析】在4，3，，322AC2BC22ACBCcosC，24324322，根據(jù)余弦定理：AB322229911ABBA．293B23399(2020北京10)2020年3月14日是全球首個國際圓周率日(πDay)π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正n邊形的周長和外切正n邊形(各邊均與圓相切的正n邊形)為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達(dá)方式是()3030n3030nA．nsintantanB．6nsintantannn60606060．nsinD．6nsinnnnn【答案】Aa2R【解析】當(dāng)k1時，設(shè)圓半徑為，內(nèi)接正六邊形邊長為Rasin30，∴a2Rsin30R．b2332R設(shè)外切正六邊形邊長為b30b2RR．3030(2Rsin2Rtan)6n22nn當(dāng)n2a2Rsin，b2R，2∴nR)，又∵R1n)．nnnn．(20186文在cosC5，BC1，5AB()25A．42．．D．25【答案】A【解析】在中，cosC5，C2(5)13，BC1，5，則22555322BCACC1252153242，A．25(2017新課標(biāo)1的內(nèi)角AC的對邊分別為abcsinBsin(sinCcosC)0a=2，=2=，ππ6π4π3A．．．D．【答案】Bπ1．(2016新課標(biāo)卷38)在B=，邊上的高等于A=()43310103(A)(B)(C)-(D)-1010【答案】CAD3225，2邊上的高線為222225292余弦定理，知A，故選．2225π1．(2016新課標(biāo)卷39)在B=，邊上的高等于A=4331053(A)(B)(D)10105【答案】DAD3AD,2225．由【解析】設(shè)邊上的高線為，則，所以533，解得sinA正弦定理，知，故選D．sinBsinAsinA22(2013新課標(biāo)Ⅱ的內(nèi)角,B,C的對邊分別為a,b,cb2B，C64的面積為()(A)232【答案】B31(C)232(D)31bc【解析】∵b2，B，C，∴由正弦定理得，解得c22，又64sinsin641162A(BC)，SbcsinA=222=31，故選B．12224．(2016年天津)在中，若AB=，=3，C120AC=A1B2．3D．4【解析】A【解析】由余弦定理得9231A．．(2013天津)在△,2,則sinBAC=41010535A．．．D．105【答案】C31010【解析】由余弦定理可得AC5，再由正弦定理得sinA．11．(2012廣東)在中，若A60,B45,BC32A．43【解析】BB．23．D．32sin60sin23．【解析】由正弦定理得：sinAsinB天津)D是邊AD,232C的值為()3366A．．．．3636【解析】Dc4c【解析】設(shè)c，則c，，，在ΔABD中，由余弦定理得4c334c2c2c21223cBC33A，則sinA，在中，由正弦定理得，解得2c23sinCsinA2236sinC．613．(2017新課標(biāo)卷3，文15)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C=60°，b=6，c=3，則=_________．【答案】°36bcbsinC22sinBbcB45可得sinBsinCc32A180BC7545AcosC(2016全國新課標(biāo)卷15)的內(nèi)角BC的對邊分別為bc，513=1b=____________．【答案】．(2015新課標(biāo)Ⅰ16)在平面四邊形中，∠A=B=C=75°BC=2AB的取值范圍是()626+2)【答案】(，【解析】如圖所示，延長BA，交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時，AB最長，在△中，BCBE2BE∠∠C=75°，∠E=30°，，由正弦定理可得，即，解得sinEsinCsin30osin75o=6+2ADD與C重合時，ABAB交于B=∠BFC=75°，BF2，解得，所以62∠FCB=30°，由正弦定理知，，即sinFCBsinsin30osin75o626+2)．AB的取值范圍為(，．全國課標(biāo)，理16)在【答案】27B600，32的最大值為．ACBCAB【解析】由正弦定理sinBsinAsinCACsinCACsinAAB==2sinC，==2sinA，sinBsinB∴2=2sinC+4sinA=20)4sinA533A5A27sin(A)tan0A)，0==(，03故2的最大值為27．．全國課標(biāo)，文15)B1200AC=7，AB=5的面積為．34【答案】2BC222ABBCB【解析】由余弦定理得，2=AB172=52BC225BC()BC5BC240，解得或8(舍)，211233SBCABsinB35===．224(2019浙江在中，，AB43D在線段，則BD____，________．4【解析】在直角三角形ABCAB4，3，5，C，51225在，可得BD；C224372255CBD135C，sinC)CsinC)，27290CBDsinCBD．10(2018江蘇)在△,,C所對的邊分別為,,c，ABC120，ABC的平分線交DBD14ac的最小值為【解析】9．【解析】因?yàn)?，ABC的平分線交D，CBD60，111由三角形的面積公式可得acsin120asin60csin60，22211化簡得acaca0，c0，所以1，ac11則ac(4ac)5≥52acaccaca9，ac當(dāng)且僅當(dāng)ca時取等號，故4ac的最小值為9．Cabcb2，A60，20．(2018浙江)在中，角A，B，所對的邊分別為，，．若a7，則B=___________，=___________．c21【解析】；37a7b2A60，所以由正弦定理得【解析】因?yàn)?，?2bsinA2172sinB．由余弦定理a2b2cbcA2a7c2c30，所以c3．(2017浙江)已知，4，2．點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD2，則的面積是___________，=__________．24【解析】，22242224214【解析】由余弦定理可得，，2242由sinABCABC122115sinABC12ABC1，1641SBDBCsin211BDBCABC)BDBCsinABC22115415222．2，所以D，所以DD，14114．222．(2015廣東)設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，ca3，1sin，Cb．26【解析】11【解析】由sinB得B=或，因?yàn)镃=，所以B，所以B=，于是A．有正弦26666633b12定理，得，所以b1．sin3．(2015福建)若銳角的面積為3【解析】75，8．13【解析】由已知得的面積為103，所以sinA，，ACsinA20sinAA)222ABC2AB2AC2ABACA7，．2由余弦定理得32AC．(2015北京)在△a4，b5，c6【解析】1．b2csin2A2sinAA2a2a23【解析】∵A，443A21．c64而sinCsinC．(2015天津)在中，內(nèi)角,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知的面積為13，bc2，A的值為a．4【解析】841158【解析】因?yàn)?A，所以，解方程組A1bc22A，又SbcsinAbc315，2，得b6，c4，由余弦定理得1264a2b2c22bcA624264，所以a8．4223中，已知點(diǎn)D在邊上，ADAC，sinBAC．(2013福建)，32，3BD的長為_______________．【解析】322【解析】∵sinBACsin(BAD)BAD23222∴根據(jù)余弦定理可得，2222)23223．32323．?新課標(biāo)Ⅰ，理17)在平面四邊形ABCD，A，2，5．求cosADB；若22BC．【解析】ADC90，A45，2，5．25由正弦定理得：，sinsinAsinsin452sin2sin，55，A，223cos1()2．552ADC90，sin22，，5222225825225．528．(2015?新課標(biāo)Ⅱ，理17)中，D是BC上的點(diǎn)，平分BAC，面積是ADC面積的2sinB求；sinC2若1，BD和的長．2【解析】如圖，過A作AEBC于E，1SABD22S12ADCBD2DC，BACADsinBAD在，sinBsinsinBBDsinsinCsin在ADCsinBDC，sinC；1．6分sinCBD22由(1)222．2過D作于MDNAC于N，BAC，，1SABD22，S12ADC2，令A(yù)Cx2x，，coscos，x212(2)2(2x)212(2)22由余弦定理可得：，22x12x1x1，AC1，的長為2，的長為1．．(2015新課標(biāo)Ⅱ，文17)中D是上的點(diǎn)，BAC=2．sinB(I)求；sinCBAC60，求B．(II)若,,因?yàn)槠椒諦AC，=2DC，【解析】(I)由正弦定理得sinBsinsinCsinCADsinBsinC1.．2CB,,(II)312由(I)知2sinBC，sin.sinCsinBACBB23tanB,B30.3．(2014新課標(biāo)Ⅱ，文17)四邊形的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，2．(Ⅰ)求C和BD；(Ⅱ)求四邊形【解析】由題設(shè)及余弦定理得BD2=BCBD2=2CD22BCCDC=C，①222BAADA=54cosC，②1由①②得cosC=C°，72四邊形的面積1111ABDAsinA+CDsinC12+32)sin60°=232222(201317)ABCABC＝90°3BC=1P為△ABC90°1(1)若PB=；2(2)若∠APB150°tan∠PBA【解析】(Ⅰ)由已知得，∠PBC=60o，∴∠PBA=30，11274在△PBA中，由余弦定理得PA2=32330o=，47∴；2(Ⅱ)設(shè)∠PBA=，由已知得，PB=sin，3sin)在△PBA中，由正弦定理得，，sin150oo化簡得，34sin，3∴tan=，43∴=．412a3bc2，，B．(201915)在△．Ⅰ)求，c的值；BC)Ⅱ)求的值．123c【解析】(I)由余弦定理b2a2c22acBb232c2．2132c223cbc2，所以c222c5，b7．13c5314(II)由cosB得sinB．由正弦定理得sinCsinB．22b1114在△B是鈍角，所以C為銳角．所以cosC1sinC．243sinBCsinBcosCcosBsinC．71．(2018北京)在a7，b8，B．7求A；求邊上的高．1【解析】在中，∵BB(,)，72437∴sinB12B．a(chǎn)b783由正弦定理得sinA．sinAsinBsinA4327π∵B(,)，∴A)，∴A．223在中，∵sinCsin(AB)sinABAsinB3114333=()=．2727h3333如圖所示，在中，∵sinChC=7，14233∴邊上的高為．235(2017天津)在,B,C所對的邊分別為a,b,caba5c6sinB．Ⅰ)求b和A的值；πⅡ)求sin(2A)的值．43545【解析】Ⅰ)在中，因?yàn)閍b，故由sinB，可得B．由已知及余弦定理，有b2a2c22acB13，所以b．a(chǎn)basinB3由正弦定理，得sinA．sinAsinBb313所以，b的值為，A的值為．1321312Ⅱ)由()及acA，所以sin2A2sinAA，13135cos2A12sinA2．13πππ47226故sin(2A)sin2A2Asin．443ca．(2017北京)在A=60°，．7Ⅰ)求C的值；Ⅱ)若a7的面積．3【解析】Ⅰ)在△中，因?yàn)锳，ca，7csinA3333所以由正弦定理得sinC．a(chǎn)723Ⅱ)caa，所以CA，73由a7，所以c73．71由余弦定理a2b2c2bcA得72b23b3，22b8或b5()．1132所以△的面積SbcsinA8363．22．(2014山東)a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長．已知6acosA(Ｉ)求b的值；,BA．32(II)求的面積．3【解析】(I)在中，由題意知sinA1cos2A，36又因?yàn)锽A，所有sinBsin(A)A，22363asinBsinA3由正弦定理可得b32．333(II)由BABcos(A)sinA，223由ABCC(AB)．sinC(ABsin(AB)ABAB3(3)661．33333111322因此，的面積SabsinC332．223．(2014安徽)設(shè)的內(nèi)角,B,C所對邊的長分別是a,,cb3，c1，A2B．a(chǎn)()求的值；A)()求的值．4【解析】Ⅰ)∵A2B，∴A2B2sinBB，cb2a23a222由正弦定理得ab∵bc1，∴a2．b2c2a2911Ⅱ)由余弦定理得A，6312230AA12A1()2，322321242故sin(A)sinAAsin()．4442326考點(diǎn)46正余弦定理在實(shí)際測量問題中的應(yīng)用．(2020山東15)某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的界面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧ABA是圓弧AB與直線B是圓弧AB與3直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，C，BH∥DG，EF=12cm，5DE=2，A到直線和EF的距離均為7，圓孔半徑為，則圖中陰影部分的面積為．25【答案】423求出圓弧AB的面積，5求出直角的面積，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個單位圓的面積求得．【解