【高中數(shù)學(xué)】超幾何分布（2）課件 2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布第七章隨機(jī)變量及其分布 7.4.2超幾何分布（2）思考：二項(xiàng)分布、超幾何分布有什么區(qū)別和聯(lián)系？超幾何分布二項(xiàng)分布試驗(yàn)類(lèi)型

抽樣

抽樣試驗(yàn)種數(shù)有

種物品有

種結(jié)果總體個(gè)數(shù)

個(gè)

個(gè)隨機(jī)變量取值的概率利用

計(jì)算利用

計(jì)算隨機(jī)變量X的分布列均值與方差E(X)=

,D(X)=

.E(X)=

,D(X)=

.聯(lián)系不放回放回兩兩有限無(wú)限古典概型獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

npnp(1-p)np

(1)對(duì)于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列為問(wèn)題情境

一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.解：對(duì)于不放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，X服從超幾何分布，X的分布列為n重伯努利試驗(yàn)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布隨機(jī)變量服從超幾何分布問(wèn)題情境一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.解：(2)利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算出兩個(gè)分布列的概率值(精確到0.00001)，如下表所示.樣本中黃球的比例f20=是一個(gè)隨機(jī)變量,根據(jù)表7.4-2算得|f20-0.4|≤0.16≤X≤10有放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469.不放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988.結(jié)論：故在相同誤差限制下,采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些.問(wèn)題情境一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.解：(2)利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算出兩個(gè)分布列的概率值(精確到0.00001)，如下表所示.XP

兩種摸球方式下,隨機(jī)變量X分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布.雖然這兩種分布有相等的均值(都是8),但從兩種分布的概率分布圖(圖7.4-4)看,超幾何分布更集中在均值附近.問(wèn)題情境一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.解：(2)利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算出兩個(gè)分布列的概率值(精確到0.00001)，如下表所示.XP

歸納規(guī)律：二項(xiàng)分布、超幾何分布有什么區(qū)別和聯(lián)系？超幾何分布二項(xiàng)分布試驗(yàn)類(lèi)型

抽樣

抽樣試驗(yàn)種數(shù)有

種物品有

種結(jié)果總體個(gè)數(shù)

個(gè)

個(gè)隨機(jī)變量取值的概率利用

計(jì)算利用

計(jì)算隨機(jī)變量X的分布列均值與方差E(X)=

,D(X)=

.E(X)=

,D(X)=

.聯(lián)系不放回放回兩兩有限無(wú)限古典概型獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

npnp(1-p)np

(1)對(duì)于同一模型，兩個(gè)分布的均值相同，但超幾何分布的方差較小，隨機(jī)變量的取值更集中于均值附件(2)對(duì)于不放回摸球，當(dāng)N充分大，且n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，各次抽樣結(jié)果彼此影響很小（看成相互獨(dú)立），此時(shí)超幾何分布近似二項(xiàng)分布；包裝質(zhì)量(單位:克)[490,495)[495,500)[500,505)[505,510)[510,515]產(chǎn)品件數(shù)34751例題1：某食品廠(chǎng)為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線(xiàn)的生產(chǎn)情況,對(duì)該流水線(xiàn)上的產(chǎn)品進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,獲得數(shù)據(jù)如表:已知包裝質(zhì)量在[495,510)內(nèi)的產(chǎn)品為一等品,其余為二等品.(1)估計(jì)從該流水線(xiàn)上的產(chǎn)品中任取1件產(chǎn)品為一等品的概率;(2)從上述抽取的樣本產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為其中一等品的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列;(3)從該流水線(xiàn)上的產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為其中一等品的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列,試比較E(X)與E(Y)的大小.全品練習(xí)冊(cè)P42/17

解：包裝質(zhì)量(單位:克)[490,495)[495,500)[500,505)[505,510)[510,515]產(chǎn)品件數(shù)34751X012PY012P

(3)分析：該問(wèn)題是“從該流水線(xiàn)上的產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品”，此時(shí)N表示該流水線(xiàn)上的產(chǎn)品數(shù)。我們知道：二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律,并且二者的均值相同,對(duì)于不放回抽樣,

當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí),各次抽樣結(jié)果彼此影響很小，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.通性通法用“二項(xiàng)分布”

和“超幾何分布”

描述“隨機(jī)抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布”

問(wèn)題，如何作出合適的選擇？問(wèn)題1：“從抽取的樣本產(chǎn)品中任取n件,設(shè)其中次品的產(chǎn)品數(shù)量為X,求X的分布列;采用“超幾何分布”模型問(wèn)題2：“從生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取n件,設(shè)其中次品的產(chǎn)品數(shù)量為X,求X的分布列;采用“二項(xiàng)分布”模型等級(jí)數(shù)據(jù)范圍男生人數(shù)女生人數(shù)優(yōu)秀[90,100]42良好[80,90)54合格[60,80)811不合格60以下33總計(jì)-2020拓展練習(xí)：某學(xué)校為了解高一年級(jí)學(xué)生的體質(zhì)健康狀況,對(duì)高一年級(jí)學(xué)生的體質(zhì)進(jìn)行了測(cè)試,現(xiàn)從男、女生中各隨機(jī)抽取20人作為樣本,將他們的測(cè)試數(shù)據(jù)整理如下表,若數(shù)據(jù)不小于60,則體質(zhì)健康為合格.(1)估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率;(2)從樣本體質(zhì)健康等級(jí)為優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行再測(cè)試,設(shè)抽到的女生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)從該校高一年級(jí)全體男生中隨機(jī)抽取2人,全體女生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)這3人中恰有2人體質(zhì)健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率.全品練習(xí)冊(cè)P41/15X012P解:(1)樣本中體質(zhì)