中考研究探究與實踐活動類

中考研究探究與實踐活動類

興隆縣姜秀芹

數(shù)學學習是?種經(jīng)驗性的活動，學生需要通過實際操作演算，動手做或是頭腦中的操作——

思想實驗，才能形成對數(shù)學的全面認識.因此，作為新課程的一個具體目標，學生的數(shù)學綜合與

實踐活動始終是課程、教學及其評價所應當特別關注的對象。所以多年來，河北省數(shù)學中考中始

終考查一道“探究與實踐活動”的大題，位于23或24題的位置，分值為10分。由于此題

考察學生的探究活動和實踐活動，所以閱讀量大、背景新，成為師生最為頭疼的題目。

其實，縱觀多年來的考題，從考查的視角上還是有規(guī)律的。

-：從探索歸納的角度考查。

設計多層次的問題，綜合多元知識，在問題的探索過程中暴漏學生的思維活動過程，從

而進行有關過程性目標的考察。

比如.09年中考試題23.如圖13-1至圖13-5,均作無滑動滾動，。01、。?！薄?。3、

。。4均表示G)。與線段AB或BC相切于端點時刻的位置，00的周長為c.

閱讀理解:

(1)如圖13-1,。。從0。1的位置出發(fā)，沿48滾動到

。。2的位置，當AB=c時，。。恰好自轉1周.

(2)如圖13-2,N4BC相鄰的補角是〃。,00在

/48C外部沿A-B-C滾動，在點B處，必須由

的位置旋轉到。。2的位置，Q0繞點B旋

轉的角/0￡。2="。，。。在點B處自轉周.

360

實踐應用：

(I)在閱讀理解的(1)中，若48=2c,則。。自

轉周;若48=/，則。O自轉周.在

閱讀理解的(2)中，若N48C=120。，則。。

在點8處自轉周；若NABC=60°,則。。

在點8處自轉周.

(2)如圖13-3,ZABC=90°,AB=BC=-c.。。從

2

。。1的位置出發(fā)，在NABC外部沿A-B-C滾動

到。。4的位置，。。自轉周.圖13-3

拓展聯(lián)想：

(1)如圖13-4,△ABC的周長為/,。。從與AB相切于點。

的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時針方向沿三角形滾

動，又回到與AB相切于點D的位置，QO自轉了多少

周？請說明理由.

(2)如圖13-5,多邊形的周長為/,。。從與某邊相切于

點。的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時針方向沿多

邊形滾動，又回到與該邊相切于點。的位置，直談寫

出。。自轉的周數(shù).

答案：23.解：實踐應用

圖13-5

5

(1)2；(2)

c634

拓展聯(lián)想

在三邊上自轉了，周.

(1)?..△ABC的周長為/,

C

又?.?三角形的外角和是360。,

.?.在三個頂點處，。。自轉了儂=1（周）.

360

二。。共自轉了（1+1）周.

C

（2）—+1

（06）考題：圖12-1

F

探索在如圖12—1至圖12—3中，ZVIBC的面積為a.\

（1）如圖12—1,延長△ABC的邊BC到點。，使CD=8C,連結。A.若

△ACC的面積為多,則S尸________（用含。的代數(shù)式表示）；為

（2）如圖12—2,延長A48C的邊BC到點。，延長邊C4到點E,使/舉區(qū)

C￡）=BC,AE=C4,連結。E.若△￡）￡（?的面積為S2,則邑=__________B￡cD

（用含。的代數(shù)式表示），并寫出理由；型2—2

（3）在圖12—2的基礎上延長AB到點F,使BF=AB,連結FC,，晶、

FE,得到△￡>￡/（如圖12-3）.若陰影部分的面積為s，，義

則$3=__________（用含a的代數(shù)式表示）.

發(fā)現(xiàn)0■學°

像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連結所得端點，得至fAOE嗒和圖3I2T），

此時，我們稱△ABC向外擴展了一次.可以發(fā)現(xiàn)，擴展一次后得到的△OE尸的面積是原來

△ABC面積的倍.

應用

去年在面積為10n?的△A8C空地上栽種了某種花

卉.今年準備擴大種植規(guī)模，把△4BC向外進行兩次擴展，

第一次由ZXABC擴展成△￡>￡5,第二次由△QEF擴展成△

MGH（如圖12-4）.求這兩次擴展的區(qū)域（即陰影部分）

面積共為多少n??

答案：探索（1）a；..........................（1分）

（2）2a；???（2分）

理由：連結A。，,:CD=BC,AE^CA,

,?SBDAC=SNDAE=^^ABC=a，

.?.$2=2。.........................（4分）

（3）6a：..........................（5分）

發(fā)現(xiàn)7....................................（6分）

應用拓展區(qū)域的面積:（72-1）X10=480（n?）......（8分）

解析：這兩題是研究性學習問題，處處滲透著化歸、分類、建模等數(shù)學思想，在問題的設

計上層層深入，每一步都為下面的思維活動打下基礎，是一個蘊涵了讓學生經(jīng)歷觀察、猜

測、合情推理、有條理論證的數(shù)學活動過程，因而在一定程度上體現(xiàn)了對過程性目標的考

查。這類問題的功能在于考查學生通過歸納發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的能力，而不在于利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)

律解決復雜的問題。

二：從方法遷移的角度考查。

在試題中根據(jù)已建立的數(shù)學模型，逐步給出解決問題的思路與方法，讓學生在閱讀理

解的前提下獲得方法的遷移，進而考查學生分析問題和解決問題的能力。比如04年和08

年的考題。（04）操作與探究

22.（本小題滿分8分）我們知道：山于圓是中心對稱圖形，所以過圓心的任何一條直

線都可以將圓分割成面積相等的兩部分（如圖11-1）.

探索下列問題：

（1）在圖12—1給出的四個正方形中，各畫出一

冬I11—1

條直線（依次是：水平方向的直線、豎直方

向的直線、與水平方向成45°角的直線和

任意的直線），將每個正方形都分割成面積

相等的兩部分；圖12—1

（2）一條豎直方向的直線機以及任意的直線〃，

在由左向右平移的過程中，將正六邊形分成

左右兩部分，其面積分別記為和S2.

①請你在圖12-2中相應圖形下方的橫線上

圖12—2

分別填寫與與S2的數(shù)量關系式（用"<"，

“=”，">”連接）；

②請你在圖12—3中分別畫出反映Si與$2

三種大小關系的直線〃，并在相應圖形下

方的橫線上分別填寫Si與S2的數(shù)量關系

圖12—3

式（用連接）.

(3)是否存在一條直線，將一個任意的平面圖

形（如圖12-4）分割成面積相等的兩部

分，請簡略說出理由.

22.(1)圖12—4

(2)①51<5251=$2$>S22分

②

SRS?6分

(3)存在.

對于任意一條直線/，在直線/從平面圖形的一側向另一側平移的過程中，當圖

形被直線/分割后，設直線/兩側圖形的面積分別為S”S2.兩側圖形的面積由&Va

（或$>S2）的情形，逐漸變?yōu)?>S2（或&<叢）的情形，在這個平移過程中，一定

會存在&=52的時刻.因此，一定存在一條直線，將一個任意平面圖形分割成面積相等

的兩部分.......................................................8分

解析：本題以范例的形式給出，并在解答問題的過程中暗示解決問題的思路,

要求學生在理解的基礎上進行方法的遷移應用，在以活動中獲得的經(jīng)驗與知識解決

新的問題。“解決問題”的前提是對前一環(huán)節(jié)的歸納概括，把握問題的實質(zhì)，考察

了學生高效地習得新知并運用它解決問題的能力。解決這類問題?般用類比和轉化

的思想方法。

再看08中考（本小題滿分10分）

在一平直河岸/同側有48兩個村莊，48至心的距離分別是3km和2km,4B=akm

（a>1）.現(xiàn)計劃在河岸/上建一抽水站產(chǎn)，用輸水管向兩個村莊供水.

方案設計

某班數(shù)學興趣小組設計了兩種鋪設管道方案：圖13-1是方案?的示意圖，設該方案中管道

長度為4,且4=PB+B4（km）（其中8尸人/于點尸）；圖13-2是方案二的示意圖，設

該方案中管道長度為a，且4=%+PB（km）（其中點AC與點A關于/對稱，A目與I

交于點尸）.

觀察計算

（1）在方案?中，4=km（用含a的式子表本）;

（2）在方案二中，組長小宇為了計算4的長，作了如圖13-3所示的輔助線，請你按小宇

同學的思路計算，d2=km（用含a的式子表示）.

探索歸納

（1）①當。=4時，比較大?。?d2（填“>”、"=”或"V"）；

（填“>”、“=”或“<”）；

②當。=6時，比較大?。?d2

（2）請你參考右邊方框中的方法指導，方法指導

就a（當a>1時）的所有取值情況進當不易直接比較兩個正數(shù)相與〃的大小時，

行分析，要使鋪設的管道長度較短，可以對它們的平方進行比較：

nr-n2=（m+n）（m-n）,tn+n>0,

應選擇方案一還是方案二？

\（/M2-1）與。"-〃）的符號相同.

答案：觀察計算

23.當ii4加”2_“2>、0八口時d，…⑺、八日n

tn-n>09即機An

（1）a+2：當加2-=0時，m-〃=0,BPm=n

當m2一/v0時，

（2）V?2+24.m-〃v0,即m<n

探索歸納

⑴①<；②〉；

(2)d；-片=(a+2/-(J>+24『=而_20.

①當4a-20>0,即a>5時，d；-d；>0,\dt-J2>0.\&>4；

②當4a-20=0,即a=5時，d；=0,\J,-J2=0.\《=4；

③當4a-20<0,即。<5時,d；-d；<0,\d「d2<0.\dx<d2.

綜上可知：當。>5時，選方案二;

當a=5時，選方案一或方案二；

當l<a<5（缺a>1不扣分）時，選方案一.

這道題要求學生在閱讀理解的基礎上，進行計算，自己學習方法指導類比遷移進行應用，

很好的考查學生是否學會了“模仿”指導中的方法，是否具備分析應用的能力。也就是這兩

道題題目無論是題的作圖還是二題的計算題目中都告訴了你方法看你怎樣去遷移方法。

三：從動手操作的角度考查。

要求學生通過觀察、實驗等活動過程自主的發(fā)現(xiàn)有關規(guī)律，得到相關猜想，加以尋找解

釋并進行應用；也可以要求學生利用有關知識解決一些具體的問題，當然在具體的方案的設

計中可能需要學生經(jīng)歷一定的實驗、操作等活動過程。

（07）23.（本小題滿分10分）

在圖14-1—14-5中，正方形A8CD的邊長為a,等腰直角三角形R1E的斜邊AE=2b,

且邊A。和AE在同一直線上.

操作示例

當2/7<a時，如圖14-1,在BA上選取點G,使BG=b,連結/G和CG,裁掉△*G

和ACGB并分別拼接到△「￡1，和△CH。的位置構成四邊形FGCH.

思考發(fā)現(xiàn)

小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將△用G繞點F逆時針

旋轉90。到△尸EH的位置，易知E”與4。在同一直線上.連結C”，

由剪拼方法可得?！?BG,故之ZXCG8,從而又可將aCGB繞

點C順時針旋轉90。到△C”。的位置.這樣，對于剪拼得到的四邊

形FGCH（如圖14-1）,過點F作FM1AE于點M（圖略）,利用SAS

公理可判斷△HFMg/XC，。，易得FH=HC=GC=FG,NFHC謝。.進

而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形.

實踐探究

（1）正方形FGC”的面積是；（用含a,6的式子表示）

（2）類比圖14-1的剪拼方法，請你就圖14-2—圖14-4的三種情形分別畫出剪拼成一

個新正方形的示意圖.

(2b=a)Ca<2b<2a)(b=a)

圖14-2圖14-3

聯(lián)想拓展

小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當bWa時，此類圖形都能剪

拼成正方形，且所選取的點G的位置在BA方向上隨著人

的增大不斷上移.

當匕〉a時，如圖14-5的圖形能否剪拼成一個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的

示意圖；若不能，簡要說明理由.

答案:23.實踐探究⑴a2+b\（2分）

剪拼方法如圖6（圖中BG=O”=h）.........................（10分）

（注：圖6用其它剪拼方法能拼接成面積為J+戶的正方形均給分）

（05年）操作示例

對于邊長為a的兩個正方形ABCD和EFGH,按圖11—1所示的方式擺放，在沿虛線

BD,EG剪開后，可以按圖中所示的移動方式拼接為

圖11一1中的四邊形BNED。

從拼接的過程容易得到結論：

①四邊形BNED是正方形；

②S"?:〃脛ABCD+S,E方修EFGH=S￡方修BNED。

實踐與探究

（1）對于邊長分別為a,b（a>b）的兩個正方

形ABCD和EFGH,按圖11—2所示的方式擺放，連

接DE,過點D作DMLDE,交AB于點M,過點M

作MN_LDM,過點E作EN_LDE,MN與EN相交于圖11-1

點N。

①證明四邊形MNED是正方形，并用含a,b的A________D

代數(shù)式表示正方形MNED的面積；J/'G——iF

②在圖11-2中，將正方形ABCD和正方形EFGHM<

、

沿虛線剪開后，能夠拼接為正方形MNED,請簡略說B丁CW'E

X/

明你的拼接方法（類比圖用數(shù)字表示對應的、/

11-L\,

圖形）。

N

（2）對于n（n是大于2的自然數(shù)）個任意的正圖11-2

方形，能否通過若干次拼接，將其拼接成為一個正方

形？請簡要說明你的理山。

答案：解：（1）①證明：由作圖的過程可知四邊形MNED

是矩形。A________J)

在RtAADM與RtACDE中，6,，，GLF

VAD=CD,又NADM+NMDC=NCDE+NMDC=M

2\P

90°,B