合成控制法簡介及代碼

合成控制法經(jīng)濟學(xué)家常要評估某政策或事件的效應(yīng)。此政策可能實施于某國家或地區(qū)（省、州或城市）。最簡單（天真）的方法是考察政策實施前后的時間序列，看所關(guān)心的結(jié)果（outcomeofinterest）如何變化。但此結(jié)果還可能受其原有變化趨勢的影響，或其他同時發(fā)生的混淆性事件（confounder）的作用。為此，常使用“魯賓的反事實框架”（Rubin'scounterfactualframework），即假想該地區(qū)如未受政策干預(yù)將會怎樣，并與事實上受到干預(yù)的實際數(shù)據(jù)進行對比，二者之差即為“處理效應(yīng)”（treatmenteffect，借用醫(yī)學(xué)術(shù)語）。困難之處在于，我們無法觀測到“該地區(qū)如未受政策干預(yù)將會怎樣”（反事實）。選擇控制組是門藝術(shù)常用解決方法是，尋找適當(dāng)?shù)目刂平M（controlgroup），即在各方面都與受干預(yù)地區(qū)相似卻未受干預(yù)的其他地區(qū)，以作為處理組（treatedgroup，即受到干預(yù)的地區(qū)）的反事實替身（counterfactuals）。但通常不易找到最理想的控制地區(qū)（controlregion），在各方面都接近于處理地區(qū)（treatedregion）。比如，要考察僅在北京實施的某政策效果，自然會想到以上海作為控制地區(qū)；但上海畢竟與北京不完全相同?；蚩捎闷渌痪€城市（上海、廣州、深圳）構(gòu)成北京的控制組，比較上海、廣州、深圳與北京在政策實施前后的差別，此方法也稱“比較案例研究”（comparativecasestudies）。但如何選擇控制組通常存在主觀隨意性（ambiguity），而上海、廣州、深圳與北京的相似度也不盡相同。為此，AbadieandGardeazabal(2003)提出“合成控制法”（SyntheticControlMethod）。其基本思想是，雖然無法找到北京的最佳控制地區(qū)，但通?？蓪χ袊娜舾纱蟪鞘羞M行適當(dāng)?shù)木€性組合，以構(gòu)造一個更為優(yōu)秀的“合成控制地區(qū)”（syntheticcontrolregion），并將“真實北京”與“合成北京”進行對比，故名“合成控制法”。合成控制法的一大優(yōu)勢是，可以根據(jù)數(shù)據(jù)（data-driven）來選擇線性組合的最優(yōu)權(quán)重，避免了研究者主觀選擇控制組的隨意性。（一）Abadie論文西班牙恐怖活動引發(fā)的計量方法AbadieandGardeazabal(2003)的初衷是以合成控制法研究西班牙巴斯克地區(qū)（Basquecountry）恐怖活動的經(jīng)濟成本。MIT經(jīng)濟系教授AlbertoAbadie（此前長期任教于哈佛大學(xué)肯尼迪學(xué)院），正是來自于巴斯克地區(qū)，一個毗鄰法國的西班牙自治地區(qū)。巴斯克人長期居住于巴斯克地區(qū)，擁有獨特的語言與文化，在歷史上多次成功對抗強敵入侵。在1970年代初，巴斯克地區(qū)的人均GDP在西班牙17個地區(qū)中排第三。之后，由于民族獨立的訴求未獲滿足，從1975年開始，巴斯克地區(qū)陷入有組織的恐怖活動之中?？植阑顒又貏?chuàng)巴斯克經(jīng)濟，至1990年代末，巴斯克地區(qū)的人均GDP在西班牙排名降為第六。然而，70年代末至80年代初，西班牙整體經(jīng)濟也下行，故不易區(qū)分恐怖活動的單獨效應(yīng)。而且，巴斯克地區(qū)在恐怖活動之前的經(jīng)濟增長潛力顯然與西班牙其他地區(qū)也不盡相同。為此，AbadieandGardeazabal(2003)使用西班牙其他地區(qū)的線性組合來構(gòu)造合成的控制地區(qū)，并使得合成控制地區(qū)的經(jīng)濟特征與60年代末恐怖活動爆發(fā)前的巴斯克地區(qū)盡可能相似，然后把此后“合成巴斯克地區(qū)”（syntheticBasquescountry）的人均GDP演化與“真實巴斯克地區(qū)”（actualBasquecountry）進行對比。如何構(gòu)造合成控制具體而言，假設(shè)共有(1+J)個地區(qū)，其中第1個地區(qū)為受到恐怖活動沖擊的巴斯克地區(qū)，而其余J個西班牙地區(qū)未受沖擊（在此J=16），構(gòu)成潛在的控制組，稱為“donorpool”（原意為“器官捐獻庫”，再次借用醫(yī)學(xué)術(shù)語）。一個潛在假定是，恐怖活動僅影響巴斯克地區(qū)，而未波及西班牙的其他地區(qū)（事實上恐怖活動也主要集中于巴斯克地區(qū)）。將合成控制地區(qū)的權(quán)重記為以下J維列向量：其中，w2表示第2個地區(qū)在合成巴斯克地區(qū)所占的權(quán)重，以此類推；所有權(quán)重皆非負，且權(quán)重之和為1。w的不同取值即構(gòu)成不同的合成控制地區(qū)，簡稱“合成控制”（syntheticcontrol）。在此研究中，被解釋變量為人均GDP，記為y。影響y的解釋變量或預(yù)測變量（predictors）包括投資率、人口密度、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、人力資本等，詳見下表。在巴斯克地區(qū)爆發(fā)恐怖活動之前，記其各預(yù)測變量的平均值為向量x1（K×1維列向量，下標(biāo)1表示“treatedregion”），即上表第(1)列的數(shù)值（除了人均GDP）。將西班牙其他地區(qū)相應(yīng)預(yù)測變量的平均值記為矩陣X0（K×J維矩陣，下標(biāo)0表示“controlregion”），其中第j列為第j個地區(qū)的相應(yīng)取值。顯然，我們希望選擇權(quán)重w，使得X0w盡可能地接近于x1，即經(jīng)過加權(quán)之后，合成控制地區(qū)的經(jīng)濟特征應(yīng)盡量接近處理地區(qū)。為度量此距離，可使用二次型（類似于歐幾里得空間中兩點之間的距離）。由于x1中的每個預(yù)測變量對于y的預(yù)測能力有大小之別，應(yīng)在距離函數(shù)中享有不同的權(quán)重，故考慮以下有約束的最小化問題：其中，V為(K×K)維對角矩陣，其對角線元素均為非負權(quán)重，反映相應(yīng)的預(yù)測變量對于人均GDP的相對重要性。此最小化問題的目標(biāo)函數(shù)是二次函數(shù)，為“二次規(guī)劃”（quadraticprogramming）問題，一般進行數(shù)值求解。記此約束最小化問題的最優(yōu)解為w*(V)；顯然，如果能找到w，使得上式右邊的(1)式與(2)式均為0，則上式的期望為0，故合成控制為y1tN的無偏估計。但(2)式中的ui不可觀測，故不可行。Abadieetal.(2010)證明，如果能找到w使得即根據(jù)可觀測的經(jīng)濟特征與干預(yù)前結(jié)果變量所選擇的合成控制w，也會使得合成控制的不可觀測特征接近于處理地區(qū)。反之，如果無法找到w，使得合成控制能很好地復(fù)制（reproduce）處理地區(qū)的經(jīng)濟特征以及干預(yù)之前的結(jié)果變量，則不建議使用合成控制法。合成控制法的基本性質(zhì)如果合成控制w*能很好地復(fù)制處理地區(qū)的經(jīng)濟特征與干預(yù)前的結(jié)果變量（關(guān)于如何計算w*，參見首篇《合成控制法（一）》），則可定義如下合成控制估計量（SyntheticControlEstimator）：Abadieetal.(2010)證明，在一定的正則條件下，如果合成控制w*能完全地復(fù)制（perfectlyreproduce）處理地區(qū)的經(jīng)濟特征與干預(yù)前的結(jié)果變量，則當(dāng)干預(yù)前期數(shù)T0趨向無窮大時，合成控制估計量是漸近無偏（asymptoticallyunbiased）。反之，如果合成控制w*只是不完全地復(fù)制（imperfectlyreproduce）處理地區(qū)的經(jīng)濟特征與干預(yù)前的結(jié)果變量（更為常見的情形），則合成控制估計量將是漸近有偏的。此偏差被稱為“內(nèi)插偏差”（interpolationbias），因為使用內(nèi)插法構(gòu)造的合成控制并不是處理地區(qū)的完美的反事實替身。因此，在使用合成控制法時，一個重要的模型設(shè)定檢驗就是，考察合成控制的經(jīng)濟特征與干預(yù)前的結(jié)果變量是否與處理地區(qū)足夠接近。合成控制法的Stata命令A(yù)badieetal.(2010)還提供了合成控制法的Stata程序synth，使得估計十分方便。打開Stata后，可輸入以下命令：.sscinstallsynth,replace（下載并安裝synth程序）其中，選擇項“replace”表示如有此命令更新版本，可以新命令覆蓋舊命令。命令synth的基本句型為：synthyx1x2x3,trunit(#)trperiod(#)counit(numlist)xperiod(numlist)mspeperiod()figureresultsperiod()nestedalloptkeep(filename)其中，“y”為結(jié)果變量（outcomevariable），“x1x2x3”為預(yù)測變量（predictors）。必選項“trunit(#)”用于指定處理地區(qū)（trunit表示treatedunit）。必選項“trperiod(#)”用于指定政策干預(yù)開始的時期（trperiod表示treatedperiod）。選擇項“counit(numlist)”用于指定潛在的控制地區(qū)（即donorpool，其中counit表示controlunits），默認為數(shù)據(jù)集中的除處理地區(qū)以外的所有地區(qū)。選擇項“xperiod(numlist)”用于指定將預(yù)測變量（predictors）進行平均的期間，默認為政策干預(yù)開始之前的所有時期（theentirepre-interventionperiod）。選擇項“mspeperiod()”用于指定最小化均方預(yù)測誤差（MSPE）的時期，默認為政策干預(yù)開始之前的所有時期。選擇項“figure”表示將處理地區(qū)與合成控制的結(jié)果變量畫時間趨勢圖，而選擇項“resultsperiod()”用于指定此圖的時間范圍（默認為整個樣本期間）。選擇項“nested”表示使用嵌套的數(shù)值方法尋找最優(yōu)的合成控制（推薦使用此選項），這比默認方法更費時間，但可能更精確。在使用選擇項“nested”時，如果再加上選擇項“allopt”（即“nestedallopt”），則比單獨使用“nested”還要費時間，但精確度可能更高。選擇項“keep(filename)”將估計結(jié)果（比如，合成控制的權(quán)重、結(jié)果變量）存為另一Stata數(shù)據(jù)集（filename.dta），以便進行后續(xù)計算。更多選擇項，詳見helpsynth。（二）美國加利福尼亞州的控?zé)煼ㄓ行?？Abadieetal.(2010)隨之將合成控制法應(yīng)用于研究美國加州1988年第99號控?zé)煼ǎ≒roposition99）的效果。1988年11月美國加州通過了當(dāng)代美國最大規(guī)模的控?zé)煼ǎ╝nti-tobaccolegislation），并于1989年1月開始生效。該法將加州的香煙消費稅（cigaretteexcisetax）提高了每包25美分，將所得收入專項用于控?zé)煹慕逃c媒體宣傳，并引發(fā)了一系列關(guān)于室內(nèi)清潔空氣的地方立法（localcleanindoor-airordinances），比如在餐館、封閉工作場所等禁煙。面板數(shù)據(jù)集Abadieetal.(2010)使用的數(shù)據(jù)為美國1970-2000年的州際面板數(shù)據(jù)。由于Massachusetts,Arizona,Oregon與Florida的州政府在1989-2000期間也引入了正式的控?zé)熈⒎?，無法作為控制地區(qū)，故將此四州從donorpool中去掉。此外，還去掉了在1989-2000期間將香煙消費稅提高了每包50美分及以上的州（Alaska,Hawaii,Maryland,Michigan,NewJersey,NewYork,Washington），以及首都所在地華盛頓特區(qū)。最后剩下38個州作為潛在的控制地區(qū)（即使加上去掉的州，結(jié)果也依然穩(wěn)健）。變量介紹該研究的結(jié)果變量為cigsale（人均香煙消費量，包/年），預(yù)測變量包括retprice（平均香煙零售價格）、lnincome（人均收入對數(shù)）、age15to24（15-24歲人口所占總?cè)丝诒戎?，年輕人為吸煙主力）、beer（人均啤酒消費量，煙酒不分家）。這些預(yù)測變量均為1980-1988年的州平均值，另外還使用1975、1980與1988年的人均香煙消費量作為三個額外的預(yù)測變量。另外，面板變量為state（州），而時間變量為year（年）。Stata操作Stata程序synth自帶了加州控?zé)煼ǖ臄?shù)據(jù)集smoking.dta。安裝命令synth后，輸入以下命令即可打開此數(shù)據(jù)集，設(shè)為面板數(shù)據(jù)，然后進行合成控制法的估計：.sysusesmoking（打開數(shù)據(jù)集）.xtsetstateyear（設(shè)為面板數(shù)據(jù)）.synthcigsaleretpricelnincomeage15to24beercigsale(1975)cigsale(1980)cigsale(1988),trunit(3)trperiod(1989)xperiod(1980(1)1988)figurenestedkeep(smoking_synth)其中，“cigsale(1975)cigsale(1980)cigsale(1988)”分別表示人均香煙消費在1975、1980與1988年的取值。必選項“trunit(3)”表示第3個州（即加州）為處理地區(qū)；必選項“trperiod(1989)”表示控?zé)煼ㄔ?989年開始實施。選擇項“xperiod(1980(1)1988)”表示將預(yù)測變量在1980-1988年期間進行平均，其中“1980(1)1988”表示始于1980年，以1年為間隔，而止于1988年；其效果等價于“198019811982198319841985198619871988”，而前者的寫法顯然更為簡潔。選擇項“keep(smoking_synth)”將估計結(jié)果存為Stata數(shù)據(jù)集smoking_synth.dta（放在Stata的當(dāng)前工作路徑）。估計結(jié)果如下。上表顯示，大多數(shù)州的權(quán)重為0，而只有以下五個州的權(quán)重為正，即Colorado(0.161)，Connecticut(0.068)，Montana(0.201)，Nevada(0.235)與Utah(0.335)，此結(jié)果與Abadieetal.(2010)匯報的結(jié)果非常接近（細微差別或由于計算誤差）?？疾旒又菖c合成加州的預(yù)測變量是否接近：從上表可知，加州與合成加州的預(yù)測變量均十分接近，故合成加州可以很好地復(fù)制加州的經(jīng)濟特征。然后比較二者的人均香煙消費量在1989年前后的表現(xiàn)：從上圖可知，在1989年控?zé)煼ㄖ?，合成加州的人均香煙消費與真實加州幾乎如影相隨，表明合成加州可以很好地作為加州如未控?zé)煹姆词聦嵦嫔怼Ｔ诳責(zé)煼▽嵤┲?，加州與合成加州的人均香煙消費量即開始分岔，而且此效應(yīng)越來越大。更直觀地，可打開另一Stata程序，調(diào)用已存的數(shù)據(jù)集smoking_synth.dta，計算加州與合成加州人均香煙消費之差（即處理效應(yīng)），然后畫圖。.usesmoking_synth.dta,clear（如不打開另一Stata程序，則此數(shù)據(jù)集將覆蓋原有的數(shù)據(jù)集smoking.dta）.geneffect=_Y_treated-_Y_synthetic（定義處理效應(yīng)為變量effect，其中“_Y_treated”與“_Y_synthetic”分別表示處理地區(qū)與合成控制的結(jié)果變量）.labelvariable_time"year".labelvariableeffect"gapinper-capitacigarettesales(inpacks)"（為了畫圖更漂亮，加上時間變量與處理效應(yīng)的標(biāo)簽，可使用變量管理器(variablemanager)來方便地加標(biāo)簽）.lineeffect_time,xline(1989,lp(dash))yline(0,lp(dash))（畫處理效應(yīng)的時間趨勢圖，并在橫軸1989年處與縱軸0處分別畫虛線，結(jié)果見下圖）上圖顯示，加州控?zé)煼▽τ谌司銦熛M量有很大的負效應(yīng)，而且此效應(yīng)隨著時間推移而變大。具體來說，在1989-2000年期間，加州的人均年香煙消費減少了20多包，大約下降了25%之多，故其經(jīng)濟效應(yīng)十分顯著（economicallysignificant）。在使用合成控制法時，如何進行穩(wěn)健性檢驗與統(tǒng)計推斷？合成控制法與回歸法相比有何優(yōu)缺點？使用合成控制法有何注意事項？敬請期待本介紹的完結(jié)篇——合成控制法（三）。合成控制法的穩(wěn)健性檢驗為了檢驗上述合成控制估計結(jié)果的穩(wěn)健性，Abadieetal.(2010)加入了更多的預(yù)測變量，比如失業(yè)率、收入不平等、貧困率、福利轉(zhuǎn)移、犯罪率、毒品相關(guān)的逮捕率、香煙稅、人口密度等；發(fā)現(xiàn)結(jié)果依然穩(wěn)健。另外一個擔(dān)心是，地區(qū)之間無互相影響（nointerferencebetweenunits）的假定可能不滿足，比如加州的反煙運動可能波及其他州，煙草行業(yè)或?qū)⑵渌莸南銦煆V告預(yù)算投入到加州，甚至從其他州走私便宜香煙到加州。Abadieetal.(2010)根據(jù)史實對此進行了探討，認為這些效應(yīng)均不大，至少不可能導(dǎo)致上文圖中如此大的處理效應(yīng)。安慰劑檢驗上述結(jié)果為對控?zé)煼ㄌ幚硇?yīng)的點估計。此點估計是否在統(tǒng)計上顯著（statisticallysignificant）？Abadieetal.(2010)認為，在比較案例研究中，由于潛在的控制地區(qū)數(shù)目通常并不多，故不適合使用大樣本理論進行統(tǒng)計推斷。為此，Abadieetal.(2010)提出使用“安慰劑檢驗”（placebotest）來進行統(tǒng)計檢驗，這種方法類似于統(tǒng)計學(xué)中的“排列檢驗”（permutationtest），適用于任何樣本容量?！鞍参縿保╬lacebo）一詞來自醫(yī)學(xué)上的隨機實驗，比如要檢驗?zāi)撤N新藥的療效。此時，可將參加實驗的人群隨機分為兩組，其中一組為實驗組，服用真藥；而另一組為控制組，服用安慰劑（比如，無用的糖丸），并且不讓參與者知道自己服用的究竟是真藥還是安慰劑，以避免由于主觀心理作用而影響實驗效果，稱為“安慰劑效應(yīng)”（placeboeffect）。安慰劑檢驗借用了安慰劑的思想。具體到加州控?zé)煼ǖ陌咐覀兿胫?，使用上述合成控制法所估計的控?zé)熜?yīng)，是否完全由偶然因素所驅(qū)動？換言之，如果從donorpool隨機抽取一個州（而不是加州）進行合成控制估計，能否得到類似的效應(yīng)？為此，Abadieetal.(2010)進行了一系列的安慰劑檢驗，依次將donorpool中的每個州作為假想的處理地區(qū)（假設(shè)也在1988年通過控?zé)煼ǎ?，而將加州作為控制地區(qū)對待，然后使用合成控制法估計其“控?zé)熜?yīng)”，也稱為“安慰劑效應(yīng)”。通過這一系列的安慰劑檢驗，即可得到安慰劑效應(yīng)的分布，并將加州的處理效應(yīng)與之對比。在此有個技術(shù)細節(jié)，即在對某個州進行安慰劑檢驗時，如果在“干預(yù)之前”其合成控制的擬合效果很差（均方預(yù)測誤差MSPE很大），則有可能出現(xiàn)在“干預(yù)之后”的“效應(yīng)”波動也很大，故結(jié)果不可信。類似地，如果合成加州在干預(yù)前對于加州的擬合很差，則我們也不會相信干預(yù)之后的合成控制估計結(jié)果。其中，干預(yù)之前的MSPE可寫為（以加州為例）：類似地，可以寫出干預(yù)之后的MSPE，只是預(yù)測誤差平方的平均區(qū)間不同。為此，Abadieetal.(2010)僅保留了干預(yù)前MSPE不超過加州干預(yù)前MSPE兩倍的19個州，并將此19個州的安慰劑檢驗結(jié)果畫成下圖。在上圖中，黑線表示加州的處理效應(yīng)（即加州與合成加州的人均香煙消費之差），而灰線表示其他19個控制州的安慰劑效應(yīng)（即這些州與其相應(yīng)合成州的人均香煙消費之差）。顯然，與其他州的安慰劑效應(yīng)相比，加州的（負）處理效應(yīng)顯得特別大。假如加州的控?zé)煼úo任何效應(yīng)，則在這20個州中，碰巧看到加州的處理效應(yīng)最大的概率僅為1/20=0.05，而這正好是常用的顯著性水平。安慰劑檢驗的另一方式是直接將每個州“干預(yù)后的MSPE”與“干預(yù)前的MSPE”相比，即計算二者的比值。其基本邏輯如下。對于處理地區(qū)加州而言，如果控?zé)煼ㄓ行Ч?，則合成控制將無法很好地預(yù)測真實加州干預(yù)后的結(jié)果變量，導(dǎo)致較大的干預(yù)后MSPE。然而，如果在干預(yù)之前，合成加州就無法很好地預(yù)測真實加州的結(jié)果變量（較大的干預(yù)前MSPE），這也會導(dǎo)致干預(yù)后MSPE增大，故取二者的比值以控制前者的影響。如果加州控?zé)煼ù_實有較大的處理效應(yīng)，而其他州的安慰劑效應(yīng)都很小，則應(yīng)該觀測到加州的“干預(yù)后MSPE”與“干預(yù)前MSPE”之比值明顯高于其他各州，而這為下圖所證實。從上圖可知，加州的干預(yù)后MSPE是干預(yù)前MSPE的大約130倍，高于所有其他38個州。如果加州控?zé)煼ㄍ耆珶o效，而由于偶然因素使得此比值在所有39州中最大的概率僅為1/39=0.026。合成控制法與回歸法的對比合成控制法并不使用任何回歸，它與傳統(tǒng)的雙重差分法（固定效應(yīng)模型）有何區(qū)別呢？首先，根據(jù)Abadieetal.(2010)的因子模型（factormodel），合成控制法對雙向固定效應(yīng)模型作了推廣。具體來說，雙重差分法僅允許個體固定效應(yīng)ui與個體時間效應(yīng)λt以相加（additive）的形式存在，隱含假設(shè)所有個體的時間趨勢λt都相同（paralleltrendassumption）；而合成控制法的因子模型，則允許“互動固定效應(yīng)”（interactivefixedeffects）λt′ui，即可以存在多維的共同沖擊（commonshocks）λt，而每位個體對于共同沖擊的反應(yīng)ui（factorloading）可以不同，故允許不同個體有不同的時間趨勢。其次，Abadieetal.(2015)指出，回歸法也可以視為對控制地區(qū)作了線性組合，且權(quán)重之和也為1；而不同之處在于，合成控制法的權(quán)重必須非負，但回歸法的權(quán)重可能出現(xiàn)負值，即出現(xiàn)過分外推（extrapolation）而離開了樣本數(shù)據(jù)的取值范圍（supportofthedata）。比如，在跨國研究中，將很不相同的國家放在一起進行回歸，就可能出現(xiàn)過分外推，而導(dǎo)致“外推偏差”（extrapolationbias）。由于合成控制法的權(quán)重必須非負，故避免了過分外推。使用合成控制法的注意事項Abadieetal.(2015)進一步探討了使用合成控制法的前提與局限性。在構(gòu)建潛在控制地區(qū)（donorpool）時尤其應(yīng)小心。首先，也受到此政策影響的地區(qū)應(yīng)從donorpool中去掉。其次，在樣本期間受到很大特殊沖擊（idiosyncraticshocks）的地區(qū)應(yīng)排除在donorpool之外。最后，為了避免“內(nèi)插偏差”（interpolationbias），應(yīng)將donorpool限定為與處理地區(qū)具有相似特征的控制地區(qū)。在應(yīng)用合成控制法時，還要求干預(yù)前的期數(shù)T0達到一定規(guī)模（sizablenumberofpreinterventionperiods）。這是因為，合成控制法的可信度取決于，合成控制能在干預(yù)前的相當(dāng)一段時期內(nèi)很好地追蹤處理地區(qū)的經(jīng)濟特征與結(jié)果變量。如果干預(yù)前的擬合不好，或干預(yù)前期數(shù)太短，則不建議使用合