反比例函數(shù)(提高)知識講解

反比例函數(shù)(提高)知識講解反比例函數(shù)（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解反比例函數(shù)的概念和意義，能根據(jù)問題的反比例關(guān)系確定函數(shù)解析式．2.能根據(jù)解析式畫出反比例函數(shù)的圖象，初步掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．3.會(huì)用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，進(jìn)一步理解反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、反比例函數(shù)的定義一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，定義域是不等于零的一切實(shí)數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）在中，自變量是分式的分母，當(dāng)時(shí)，分式無意義，所以自變量的取值范圍是，函數(shù)的取值范圍是.故函數(shù)圖象與軸、軸無交點(diǎn)；（2）()可以寫成()的形式，自變量的指數(shù)是－1，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)這一條件.（3）()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)，從而得到反比例函數(shù)的解析式.要點(diǎn)二、確定反比例函數(shù)的關(guān)系式確定反比例函數(shù)關(guān)系式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一對的對應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是：（1）設(shè)所求的反比例函數(shù)為：()；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；（3）解方程求出待定系數(shù)的值；（4）把求得的值代回所設(shè)的函數(shù)關(guān)系式中.要點(diǎn)三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，永遠(yuǎn)不會(huì)與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸.要點(diǎn)詮釋：（1）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；（2）在反比例函數(shù)(為常數(shù)，)中，由于，所以兩個(gè)分支都無限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到軸和軸．2、反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；要點(diǎn)詮釋：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號.要點(diǎn)四、反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過雙曲線()上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.要點(diǎn)詮釋：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點(diǎn)的位置如何變化，這一點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.【典型例題】類型一、反比例函數(shù)定義 1、為何值時(shí)，是反比例函數(shù)？【答案與解析】解：由得∴【總結(jié)升華】根據(jù)反比例函數(shù)關(guān)系式的一般式，也可以寫成，后一種寫法中的次數(shù)為－1，可知此函數(shù)為反比例函數(shù)，必須具備兩個(gè)條件，且，二者缺一不可．類型二、確定反比例函數(shù)的解析式2、已知，與成正比例，與成反比例，且當(dāng)＝1時(shí)，＝7；當(dāng)＝2時(shí)，＝8．(1)與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)自變量的取值范圍；(3)當(dāng)＝4時(shí)，的值．【答案與解析】解：(1)∵與成正比例，∴設(shè)．∵與成反比例，∴設(shè)．∴．把與分別代入上式，得∴所以與的函數(shù)解析式為．(2)自變量的取值范圍是≠0．(3)當(dāng)＝4時(shí)，．【總結(jié)升華】注意，比例系數(shù)要分別用和表示，不能用成同一個(gè)比例系數(shù).舉一反三：【變式】已知與成反比例，且時(shí)，，求與的函數(shù)關(guān)系式．【答案】解：因?yàn)榕c成反比例，所以，且，解得.所以與的函數(shù)關(guān)系式為.類型三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、若A(，)、B(，)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)、滿足________時(shí)，.【答案】或或；【解析】的圖象在一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨著的增大，函數(shù)值減小，所以或時(shí)，.當(dāng)B點(diǎn)在三象限，A點(diǎn)在一象限，即，也滿足.【總結(jié)升華】反比例函數(shù)的增減性是在每個(gè)象限內(nèi)討論的，A、B兩點(diǎn)要分成同在一象限、同在三象限和分屬一、三象限討論，這樣才能把情況考慮完整.舉一反三：【變式】如圖所示，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象不可能是（）【答案】D；提示：對于D項(xiàng)，由正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、第四象限，得＜0，由反比例函的圖象位于第一、第三象限，得＞1，不存在，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．解決這類圖象問題的一般解法是先根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的大致圖象來確定函數(shù)表達(dá)式中字母系數(shù)的符號或范圍，再根據(jù)字母系數(shù)的符號或范圍確定另一個(gè)函數(shù)圖象的大致位置．類型四、反比例函數(shù)綜合4、如圖所示，已知雙曲線，經(jīng)過Rt△OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB交于點(diǎn)C，DE⊥OA，，求反比例函數(shù)的解析式．【答案與解析】解：過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M．∴DM∥OA，∴∠BDM＝∠BOA．在△BDM和△EOD中∴△BDM≌△DOE(AAS)，∴，．設(shè)D()，則B()．∵，∴．即，解得：．∴反比例函數(shù)的解析式為．【總結(jié)升華】本題欲求解析式有兩個(gè)思路可考慮，一個(gè)是求D點(diǎn)或C點(diǎn)的坐標(biāo)，另一個(gè)就是求△DOE或