【高考數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)】高中重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)梳理97個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)1忽略集合中元素的互異性

例題1：設(shè)集合A=，,x,肛},3={1,尤,），},若A=B,則實(shí)數(shù)X，）的值為

x=1x=-1[x=lx=\x=-1x=1

.v3.<C.<D.<或《八或，

y^R[y=。[y=iyeRj=01y=l

【錯(cuò)解]由得"=或尸=)’X=1x=-l,X=1

解得《或《或＜所以選D.

xy=y[xy=\y=0J=1

x=1_x=1

【正解】未考慮集合的特性：互異性，當(dāng)＜c時(shí)，A”二口,1,力不滿足互異性；當(dāng)4?

yGR[y=l

x=-}

時(shí)，A=8={1,1,1}也不滿足元素的互異性；當(dāng)《八時(shí)，A=8={1,-1.0）,滿足，選B

y=O

鞏固1：已知集合A={m+2,2m2+加},若31A,則陽的值為.

【解析】由題意得也十2=3或2/十次=3,則次=1或加=一」

2

當(dāng)物=1時(shí)，物+2=3且2物：+掰=3,根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；

3]3

當(dāng)也=一一時(shí),加十2=—,而2"。十?《=3,故徵=一二

易錯(cuò)點(diǎn)2未正確理解集合間的相互關(guān)系

例題2：集合A={0,l},B={x\x^A],則下列關(guān)于集合A與8的關(guān)系正確的是

A.A^BB.A注B

C.AD.AeB

【錯(cuò)解】因?yàn)閤tA,所以6={0,{0},{1},{0,1}},所以A*3,故選B.

【正解】因?yàn)閤=所以8={0,{0},{1},{0,1}},則集合A={0,l}是集合2中的元素,

所以故選D

鞏固2：已知集合4={0,1},B={x|xeA},則下列關(guān)于集合A與B的關(guān)系正確的是

A.A=BB.A號(hào)B

C.B與AD.A&B

【解析】因?yàn)榧?是由集合/的所有元素構(gòu)成，5={0」},所以H=故選A.

易錯(cuò)點(diǎn)3忽略空集

例題3：已知集合4={刈/一3x-10?0},B={x\m+\#x2m7},若AU8=A,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【錯(cuò)解】???爐-3x-10?0,-2#x5,A={x\-2#x5}.

-2?/〃+1

由AU8=A知8=A,，則-34加〈3,.,.根的取值范圍是-3WmW3.

2m-l<5

【分析】空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問

題中，往往容易因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解.由并集的概念知，對(duì)于任何一個(gè)集合A,

都有AU0=A,所以錯(cuò)解中忽略了B=0時(shí)的情況.

【正解】VA\JB=A,BcA.A={x|x2-3x-10?0}{x\-2#x5},

①若3=0,則加+1>2加-1,即機(jī)<2,故機(jī)<2時(shí)，A|JB=A;

②若如圖所示，

-4-

~~耳~

J，-------?

-2m+12/n-l5x

則+1M2?J-1,即？MA2.

f'->2W???+1

由￡=/得《?―，解得一3MmM3.又,.,.2=?JW3.

I2m-l<5

由①②知，當(dāng)冽43時(shí)，HJ3=4

鞏固3：若A={x|-3Wx<4},B={x\2m-l<x<m+l},若則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是______________

【解析】當(dāng)8=0時(shí)，2m-l>m+l,/./n>2;

2m-1>-3

當(dāng)5工0時(shí)，由題意，得《〃2+1?4,解得一14642.

2m-l<m+1

-*?^>-1,即所求m的取值范圍是[-1,+8).

易錯(cuò)點(diǎn)4充分必要條件概念不清

ITTT]

例題4：設(shè)6eR,貝ij—一|<—"是"sin6<一”的

12122

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】本題考查充要條件的判斷，若pnq,則p是q的充分條件，若qnp,則p是

9的必要條件，若〃=4,則〃是9的充要條件；從集合的角度看，若則A是8

的充分條件，若BqA,則A是8的必要條件，若A=3,則A是8的充要條件，若A是

8的真子集，A是8充分而不必要條件，若8是A的真子集，A是8的必要而不充分條件.

Jr7T71?I

【正解】——|<一=0<。(一nsine<一,但。=()時(shí)sin6=0<一,不滿足

1212622

1^-—1<—,所以"l^-—1<—"是"sin^<--的充分而不必要條件，故選A.

121212122

鞏固4：已知a,beR,若/+〃的一個(gè)充分不必要條件是加，<根(m<o),則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是

【解析】由基本不等式得，a2+b2>2\ab\>l^\ab\>^,由又因

為/+〃21的一個(gè)充分不必要條件是ab<m(m<0),則m<--

2

易錯(cuò)點(diǎn)5混淆命題的否定與否命題

例題5：命題“VnwN*,N”且的否定形式是

A.X/〃eN*,/(")史N*且B.VnGN\/(〃)任N"或/*(〃)>〃

C.3?0eN",/(%)￡N*且/1(%)>%D.Bn0eN*,/(%)任N*或/'(%)>n0

【錯(cuò)解】錯(cuò)解1："V〃°eN*”的否定為“孤wN*”，"“〃)eN*且/⑺W〃”的否定為

“"〃o)eN*且/(%)>%”,故選C

錯(cuò)解2:"/(〃)eN*且"〃)<〃”的否定為"“〃)eN"且/(〃)>〃"，故選4.

錯(cuò)解3:""〃)eN*且/⑺?！钡姆穸榛颉啊?>〃”，故選3

【分析】錯(cuò)解I對(duì)命題的結(jié)論否定錯(cuò)誤，沒有注意邏輯聯(lián)結(jié)詞；

對(duì)于錯(cuò)解2,除上述錯(cuò)誤外，還沒有否定量詞；

錯(cuò)解3的結(jié)論否定正確，但忽略了對(duì)量詞的否定而造成錯(cuò)選.

【試題解析】全稱命題的否定為特稱命題，因此命題F?eN,f\小w、?且/(?)<?”的否定形式是

/(巧)史、?或/1(%)>”：二故選D.

鞏固5：已知5x—21〉3,q:---------->0,貝卜p是r°

x-+4%-5

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【解析】?..P：|5x-2]>3,「.5x-2>3或5x-2v-3,.-1或x<-g,二下：-1<x<l

---------->0,.\x2+4x-5>0,.\Ql或xv-5>.二一q：-5<x<b

￡+4x-5

??.Y=F，但故Y是「，的充分不必要條件.

易錯(cuò)點(diǎn)6換元求解析式時(shí)忽略自變量范圍的變化

例題6：己知/(、京1)=3-%，求/J)的解析式.

錯(cuò)解：令4x-l=t,則x=P+l,

所以/⑺=3-/+1)=2-己即有/(x)=2-舊

正解：令4^萬=心/>0,則》=產(chǎn)+1,

所以『⑺=3-(產(chǎn)+1)=2-?,r>0,即有f(x)=2-/x>Q

易錯(cuò)點(diǎn)7分段函數(shù)的參數(shù)范圍問題

3x—l,x<1,、

例題7：設(shè)函數(shù)/(?nJ2.、x〉]，則滿足八/(。))=2/⑹的。的取值范圍是

A.[|,1]B.[0,1]C.D.[1,+oo)

錯(cuò)解：當(dāng)“<1時(shí)，/(a)=3a-l,此時(shí)/[(a))=3(3a-1)-l=9a-4,2z(a)=23a-1,

方程無解.

當(dāng)回時(shí)，f(a)=2a>1,此時(shí)/(〃a))=2*2/⑷=2",方程恒成立,故選D

2

【試題解析】①當(dāng)時(shí)，/(o)=3a-l<l,〃f(a))=3(3a—l)T=9a—4,2"'=2"T,顯然

/(7(a))#2/(a).

②當(dāng)聲<1時(shí)，/(a)=3a-l>l,f(f?)=2HL2a=2%T,故/(f⑷)=2

③當(dāng)時(shí)，〃。)=2'>1,八"勾)=2,2。"=2'故/(f(a))=2a.

綜合①②③知a>|.

【總結(jié)】對(duì)字母〃的討論不全而造成了漏解，實(shí)際上應(yīng)先對(duì)九-1與1的大小進(jìn)行探討，即

參數(shù)a的分界點(diǎn)應(yīng)該有2個(gè)，。=弓或。=1,所以在分段函數(shù)中若出現(xiàn)字母且其取值不明確

時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行分類討論.

鞏固6：已知函數(shù)/(x)若/(/(%))=2,則x的范圍是.

【解析】is/(X)=t,：.f(/)=2,當(dāng)好［-1,1］時(shí)，滿足/⑺=2,此時(shí)-目(X)<1,

無解，當(dāng)f=2時(shí)，滿足/⑺=2,此時(shí)/(x)=2,即-1-1或x=2.

易錯(cuò)點(diǎn)8對(duì)單調(diào)區(qū)間和在區(qū)間上單調(diào)的兩個(gè)概念理解錯(cuò)誤

例題8：若函數(shù)/(x)=爐+2"+4的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,2J,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【錯(cuò)解】函數(shù)fG)的圖象的對(duì)稱軸為直線》=一處由于函數(shù)在區(qū)間(—00,2］上單調(diào)遞減,

因此一即a<—2.

【正解】把單調(diào)區(qū)間誤認(rèn)為是在區(qū)間上單調(diào)，未真正理解概念，函數(shù)/(X)的圖象的對(duì)稱軸

為直線X=—“，由于函數(shù)在區(qū)間(一8,2］上單調(diào)遞減，因此一a=2,即a=-2.

鞏固7：已知函數(shù)/(x)=2x2~m>c+3,當(dāng)xC(-2,+oo)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)xG(-oo,

-2)時(shí)是減函數(shù)，則/(1)等于

M?m

解析：由f(x)=2?-郎+3,得對(duì)稱軸x=W，.,方=-2,即機(jī)=-8,代入/(X)=2?

-nvc+3,有/(x)=2^+8》+3.將》=1代入/(犬)=2f+8x+3,得/(1)=13.

易錯(cuò)點(diǎn)9判斷函數(shù)奇偶性時(shí)未考慮到定義域因素

例題9：判斷下列函數(shù)的奇偶性：

lx+1-Ji-x2

⑴f(x)=(x-1)yj—；(2)f(x)=%_2-

【分析】要判斷函數(shù)的奇偶性，必須先求函數(shù)定義域(看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).有時(shí)

還需要在定義域制約條件下將/(x)進(jìn)行變形，以利于判定其奇偶性.

Y4-1

【試題解析】(1)由:y*得{工,>1,或工4一1},

v/(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，「.Fa)為非奇非偶函數(shù).

l-x2>0

(2)由L+2|-2=0何72且I,

定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又一且戶。時(shí)，”x)=\^二亞三,

??,/(一元)=也-(一")=——三式-=—/(x),?,■/(X)為奇函數(shù).

-XX

鞏固8：已知函數(shù)/(x)=9-2"+人是定義在區(qū)間[-28,36-1]上的偶函數(shù)，則函數(shù)/(x)

的值域?yàn)?

【解析】■.?/(%)是偶函數(shù)，「.『(—X)=/(x),即a=0.

又定義域?yàn)閇-2匕到一1],...一2匕+3匕-1=0,."=1,

.'./(X)=x2+l,x€[-2,2],

J函數(shù)八x)的值域?yàn)?,5).

易錯(cuò)點(diǎn)10未考慮到募底數(shù)的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤

11

_22

例題10：化簡(jiǎn)(1-tz)[(a-1)2(_〃)]=.

1111

【錯(cuò)解】(1-?)[(。-1)2(―)2]2=(1_。)(a-l)1(j)4=_(—)4

111

【正解】忽略了題中有(-a),即相當(dāng)于告知-“川，故把0,這樣，[3-1)(”

-1)L實(shí)際上在解答本類題時(shí)除了靈活運(yùn)用運(yùn)算法則外還要關(guān)注條件中的字母是否有隱含

的條件.由(一。)2知一色0,故aT<0.

111

(1-?)[(?-1)-2(-?)2J2=(1-?)(1-?)).(-?)4=(-?)

鞏固9：化簡(jiǎn)

A.-yla-1B.yja-1C.(a-1)4D.

g

【解析】要使原式有意義，則

____.-----331

21

7(1-a)-43=|1-a|<a-1)^=(a-l)-(a-l)孑=(a-1)1二磊。

易錯(cuò)點(diǎn)11未考慮到對(duì)數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)的取值范圍

例題11：對(duì)數(shù)式log/2)(5-a)=6中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(-00,5)B.(2,5)

C.(2,+oo)D.(2,3)U(3,5)

【分析】定義域?qū)Φ讛?shù)和真數(shù)都有范圍限制。

5-

【試題解析】由題苣，得，a—2X),「.233或335.故選D.

,a-2=1,

鞏固10：使對(duì)數(shù)log“(-2?+1)有意義的〃的取值范圍為

A.a>2,@..0<aC.a>0a/1D.a<^

a>0

【解析】由對(duì)數(shù)概念知使對(duì)log”(-2a+l)有意義須滿足“力解得0<。</

-2a+1>0

易錯(cuò)點(diǎn)12為真正理解復(fù)合函數(shù)

例題12：已知函數(shù)y=log2(N-x-a)值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【錯(cuò)解】設(shè)/(x)=x1-x-a,貝IJy=log"(x),依題意，f(x)>0恒成立，，/=1+4a<0,

【分析】以上解法錯(cuò)誤在于沒有準(zhǔn)確地理解_v=log2(『-x-a)值域?yàn)镽的含義.根據(jù)對(duì)

數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們知道，當(dāng)且僅當(dāng)F(x)=f-x-。的值能夠取遍一切正實(shí)數(shù)時(shí)，

>'=10g2(W-x-a)的值域才為R.而當(dāng)/<0時(shí)，/(X)>0恒成立，僅僅說明函數(shù)定義域?yàn)镽

而了(X)不一定能取遍一切正實(shí)數(shù)(一個(gè)不漏).要使/(X)能取遍一切正實(shí)數(shù)，作為二次

函數(shù)，/(X)圖象應(yīng)與X軸有交點(diǎn)(但此時(shí)定義域不再為R)

【試題解析】要使函數(shù)1=1。第的值域?yàn)镽,應(yīng)使f(x)=x：-x—a能取遍一切正數(shù),

要使/(x)=xl-a能取遍一切正實(shí)數(shù)，應(yīng)有」=1+4至。，..貶一；，

二所求a的取值范圍為［一3+oc).

鞏固11：已知函數(shù)y=lg("2+2X+1)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】由已知，知"=加+2》+1的值恒為正，

a>0,

1=4…<。.解得故〃的取值范圍是心「

易錯(cuò)點(diǎn)13函數(shù)與方程綜合

例題13：函數(shù)/(x)=x+，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

X

A.0B.1C.2D.3

【錯(cuò)解】因?yàn)?(-1)=—2<。，/(1)=2>0,所以函數(shù)/(幻有一個(gè)零點(diǎn)，故選及

【分析】函數(shù)的定義域決定了函數(shù)的一切性質(zhì)，分析函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)必須先求出函數(shù)的定

義域.通過作圖(圖略)，可知函數(shù)/(x)=x+，的圖象不是連續(xù)不斷的，而零點(diǎn)存在性定理

X

不能在包含間斷點(diǎn)的區(qū)間上使用.

【試題解析】函數(shù)〃x)的定義域?yàn)閧x|x=O},當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0所以函

數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)，故選A.

C1v-2

鞏固12：已知函數(shù)y=彳與y=V圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x。，%)，則玉)所在的大致

區(qū)間為________

A.(0,1)B.(1,2)C,(2,3)D.(3,4)

'_1x_2

【解析】由題意知交點(diǎn)坐標(biāo)(毛J。為方程組」的解，即々為方程

>,=9

=&廣2-f=0的根，即f為函數(shù)f(x)=g)l-d的零點(diǎn)，因?yàn)?/p>

/(0)=4/(1)=15/(2)=-71/(3)<0:/(4)<0,所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得天的大致區(qū)間為

(1,2),故選8

易錯(cuò)點(diǎn)14不能正確理解三角函數(shù)的定義

例題14：角a的終邊落在直線y=2v上，則si〃a的值為

小,

A.-5B.5

2\[52^5

C5D.+5

【錯(cuò)解】選C在角的終邊上取點(diǎn)尸(1,2),：.r-\OP\+22=^5,?,.si〃a=：=^=￥^

【分析】當(dāng)角的終邊在一條直線上時(shí)，應(yīng)注意到角的終邊為兩條射線，所以應(yīng)分兩種情況處

理，而錯(cuò)解中沒有對(duì)兩種情況進(jìn)行討論導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【試題解析】當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)P(L2),由尸。月=訴存=貼，得sina=4

=氈

5,

當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)Q(-l,-2),

r-\OQ\=7(-1)2+(-2)2=6,.飛/二1二一邛2故選。.

鞏固13：已知角a的終邊過點(diǎn)P(見2/M),〃?H0,則角a的正弦值、余弦值分別為,

*2亞亞DV5275

5555

CHL_旦或3L&D舊2石或石2#)

'--三'一三,--5P--

【解析】當(dāng)狀＜0時(shí)，|。尸|=M肛所以sina=g-=-2,85&=—聯(lián)=一避；

5~^5m5

當(dāng)物＞0時(shí)，|。產(chǎn)|=在北所以sina==d^,cosa=；=蟲.

【總結(jié)】本題主要考查了三角函數(shù)的定義以及分類討論思想方法，這也是高考考查的一個(gè)重

點(diǎn).學(xué)生在做題時(shí)容易遺忘相＜0的情況

易錯(cuò)點(diǎn)15利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式時(shí)忽略參數(shù)取值

例題15：已知cos6=f,求si〃6、柩"6的值.

【錯(cuò)解】①當(dāng)0<《1時(shí)，，為第一或第四象限角.

。為第一象限角時(shí)，si〃O=q1-孫2。=勺1-尸,==戶；

6為第四象限角時(shí)，si/10--cos20=--\j\-t2,勿'冶=^1=.

②當(dāng)時(shí)，6為第二或第三象限角.

6為第二象限角時(shí),sind=[1-商。=寸T7,

6為第三象限角時(shí)，s加9=-寸1-cos:”1-產(chǎn),〃，為二黑與=

業(yè)二二，。為第一、二象限角

旺她第一、二象限角…回

綜上，sinO=

-為第三、四象限角-也王，。為第三、四象限角

【錯(cuò)因分析】上述解法注意到了9的余弦值含有參數(shù)t,根據(jù)余弦函數(shù)的取值范圍對(duì)t進(jìn)行

分類討論，但上述討論不全面，漏掉了很多情況，如f=-l,t=0,t=\.

【忒題解析】①當(dāng)￡=一1時(shí),sine=0>tan6=0;

②當(dāng)一144時(shí)，8為第二或第三象限角.

若夕為第二象限角，貝"sine=4匚N,tan&=與二；

若&為第三象限角，貝"n月一行彳，tane=_"；_￡

③當(dāng)f=0時(shí)，sm8=1,tan￡不存在或sm0=-1,tani9不存在.

④當(dāng)0<r<l時(shí)，。為第一或第四象限角.

,----yl\—t2

若e為第一象限角，則si〃e=，T7,幻〃。=七一；

若9為第四象限角，貝IJsi〃J=-67,勿〃。=-乂下一.

⑤當(dāng)f=l時(shí)，si，/=0,tanO^O.

41一產(chǎn)（。為第一、二象限角，或終邊落在J，軸

正半軸上，或終邊落在X軸上）

一五7（。為第三、四象限角，或終邊落在

.軸負(fù)半軸上）

綜上得：

一為第一、二象限角，或終邊落在x

軸上）

tan(9='

不存在（。終邊落在》軸上）

一\f七T~一7（。為第三、四象限角）

鞏固14：如果cos(—80°)=%,那么tan100°=

sin80s=71-cos2801Jl-cos:(-80:)=y/l-k2,：.tan100s=-tan80!=-sin80,

cos80：

易錯(cuò)點(diǎn)16不能準(zhǔn)確運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值

也cos（兀-。）+cos（2兀-。）

例題16：若si〃。二3，求與「?方兀小”/,力?/兀，小.,3兀，力二

°cos^[sin（----。）-1]cos（7i+0）sin（-+0）-sin（一+6）一

222

r轉(zhuǎn)做11ST_cosgcos_______cos.cos。______

【錯(cuò)解】泉式-coge（_sin6-1）+cosOsin。+cos。-cosOsin。+cos。+cos，sin。+cos。一

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中混淆了誘導(dǎo)公式si〃（竽-。）=-cos。，si〃（￥+0）=-cos。cos（兀-。）=

一COS0,COS（7l+。）=-cos。

【試題解析】原式=ss晨+9黑+：#?+&:烹，因?yàn)榧釉码娝?/p>

以所求三角函數(shù)式的值為F=6

若"GZ,在①si"(mt+W)；(2)si/?^2/j7t±1j；@sin[/?7t+(-1)"—]；4中，與$靖

鞏固15：

相等的是

A.?(2)B.@@

C.D.(2x3)

【答案】B

/fsin1,〃為偶數(shù)卜畤的偶數(shù)

【解析】①sm!mt+T；=<:、，=''

[sms+和山奇數(shù)偽奇數(shù).

②sin，2mt；=sin(±§=土sing.

sin[(-l)，￡|,〃為偶數(shù)sinJ，〃為偶數(shù)

③sin[即+(-1)"三]=?'=<

sin[兀+(-1)"口力為奇數(shù)sin(兀-2)=sin:為奇數(shù)

④cos[2〃兀+(-1)"—]=cos[(-l)n-—]=cos—=sin—.

6663

故③④與S靖相等，應(yīng)選B.

易錯(cuò)點(diǎn)17不能正確理解三角函數(shù)圖象變換規(guī)律

匹

例題17：為得到函數(shù)y=cos(2x+§)的圖象，只需將函數(shù)y=si〃lt的圖象

5兀5兀

A.向左平移五個(gè)長(zhǎng)度單位B.向右平移五個(gè)長(zhǎng)度單位

5兀5兀

C.向左平移石■個(gè)長(zhǎng)度單位D.向右平移不個(gè)長(zhǎng)度單位

【錯(cuò)解】選8

7T7T7T57r57r

y=cos(2v+])=si〃(2]+1+/)=3由2&+適)，因此向右平移五個(gè)長(zhǎng)度單位，故選5.

【錯(cuò)因分析】沒有注意到變換方向?qū)е铝隋e(cuò)解，目標(biāo)是y=cos(2x+令7T的圖象.

【試題解析】i-C0S(2x+j)=sin(2x+?+sin(2v+p=sin2(x+yy),因此將函數(shù)y=sm2x的圖象向左平

移部長(zhǎng)度單位即可.故選A.

鞏固16：將函數(shù)/(x)=sin(2x+e)(—W<e<$的圖象向右平移p(e>())個(gè)單位

長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象

55「冗兀

A.—TtB.—71C.一D.一

3626

【解析1依題意g(X)=Sin[2(X-0+6]=sin(2x+6-2。),

，R

sin6=——忑

2

sin(8-劃=坐

又因?yàn)橐?<6<],所以6所以5一20=2匕r+g或[—20=2匕r+F#eZ,

2233333

解得。=一WI或0=一加一巳：kwZ;

6

兀5

在夕=一左兀一：,%cZ中，取％=—1,即得夕=:兀，故選B.

66

易錯(cuò)點(diǎn)18注意符號(hào)對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的影響

例題18：已知函數(shù)4X)=2COS(§-E).

(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若》6[-兀，7i],求兀v)的最大值和最小值.

【錯(cuò)解】(1)由-兀劄得，生芻潦，危)的單調(diào)遞增區(qū)間為悖y].

(2)：-IWCOsQ-爹)/1,；.[/(X)]"KU=2,[/(X)],nin=—2.

【錯(cuò)因分析】(1)忽略了函數(shù)/U)的周期性；(2)忽略了xCLw兀]對(duì)函數(shù)人犬)的最值影響

【試題解析】⑴:g)=28卷-

由2加一7t^一也2阮得，4H一專七X*紅+吊(左￡Z).

故上)的單調(diào)增區(qū)間為[施一號(hào)，4E+苧](/Z).

(2)由一712區(qū)兀=_￡4一簽.

當(dāng),一§=0,即寸，KX)sux=2,

當(dāng)-?，即彳=-71時(shí)，fix)m\n--木.

鞏固17：(1)函數(shù)y=tan(1-2x)的單調(diào)遞減區(qū)間是

(2)已知函數(shù))，=4?+2,xCR的最大值為3,則實(shí)數(shù)“的值是.

⑶若函數(shù)y=tan(2x+。的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為合0),且-貝IJ9的值是

rAJ_,v,kn兀kn5TC,..?.*ZL

【答案】(1)(―---A：eZ)；(2)±1；(3)9--6或z3.

212212

【解析】(1)把函數(shù)y=tan(1-2x)變?yōu)閥=-tan(2x-y),

由無兀一？<2x-?(而,得左n—2<2x<E+史.keZ,

23266

ku7TE5?r,〃

---<x<—+—.keZ,

212212'

故函數(shù)y=tan(q-2x)的單調(diào)瀛區(qū)間為(卓一怖，

(2)若〃>0時(shí)，當(dāng)si〃x=l時(shí)，y=〃si/ix+2(x￡R)取最大值。+2,.*.a+2=3,*'.?=!；

若a<0,當(dāng)sinx=-1時(shí)，函數(shù)y=〃si依+2(xER)取得最大值-〃+2=3,--a--1.

綜上可知，。的值為土1.

An

(3)易知函數(shù).丫=Snr的圖象的對(duì)稱中心為(2，0),其中ZG乙

所以2X+8=9，其中X=],即6=亨-亨，RGZ.

因?yàn)樗援?dāng)々=1時(shí)，6=-5；當(dāng)左=2時(shí)，8=5.即6=-/或?.

乙乙OOOO

易錯(cuò)點(diǎn)19三角恒等變換中忽略角的范圍致誤

1C/0

例題19：已知。、。為三角形的兩個(gè)內(nèi)角，cosa=—，sin(a+￡)=>一，貝U￡=

714

兀一P*2

C.一或一71

33

1

0<a<;i,cosa=-,

7

又?rsi”(a+0)=cos(a+￡)=--(^^)2=--

**-sinp=sin[(a+夕)-a]=sin(a+4)cosa-cos(a+￡)s\na=—―.

2

__7T__p.2

又???0〈￡<7t,§或]兀.

【錯(cuò)因分析】(1)不能根據(jù)題設(shè)條件縮小％夕及a+￡的取值范圍，在由同角基本關(guān)系式求

sin(a+夕)時(shí)不能正確判斷符號(hào)，產(chǎn)生兩角.

(2)結(jié)論處應(yīng)由cos￡的值確定￡的取值，由si，啰確定結(jié)論時(shí)易出現(xiàn)兩解而造成失誤.

【試題解析】因?yàn)?<a<?r,cosa=:所以sina=Jl-cos?a=>故g<a<微>

32

又因?yàn)?<?+*兀，sin(夕+F)=上@<色，所以0<a+￡<2或把〈兀.

14233

兀7T27r■-------------

由彳3彳知一。+1〈兀，所以cos(a+p)=~<A-sin:(a+/7)=--,

323v14

所以cos戒=cos[(a+⑼-a]=cos(a+4)cosa+sin(a+/J)si〃a=;.

rr

又0<￡<TI,所以

42

鞏固18：⑴已知A48C中，si/A+B）不，cosB=則cosA的值為

(2)已知si〃o-s歷￡二一§,cosa-cos/3=^,且a、0,-I,則”?(。一￡)的值為

2日2舊2g2/

A.

955

【解析】（D在A45c中，..飛。力=一除0,為鈍角，且sm5=^,....4+5為鈍角,

43

由sin(-4+5)=T>得cos(-4+B')=—

3r2、4A/56+4弱

cosu4=cos[C4+5)-5]=cos(-4+5)cos5+sin(-4+B)sinB=一丁1一T+'“丁=~jT2-

/、2^2^.2TT

(2)由題知5歷^一5比=一^(1),cosa-cos￡=^2),siz?cr-sin/?=--<0,/3<0.

￡OOOc.

由12+②2,得cos(a-⑸=所以si”(a-⑸=-八尸.所以tan(a-/3)=-

yy□

易錯(cuò)點(diǎn)20求函數(shù)y=Asin(s+o)的性質(zhì)時(shí)出錯(cuò)

例題20：函數(shù)y=5sin(x+20°)+4cos(x+50。)的最大值為.

【錯(cuò)解】M

【錯(cuò)因分析】形如y=asinx+機(jī)'osx的函數(shù)的最大值為由虧中,而函數(shù)y=5sin(x+20°)+

4cos(x+50。)不符合上述形式.

【試題解析】J=5sin(x+20=)+4cos(x+50s)

=5sin(x+205)+4cos[(x+20s)+30°]

=5sin(x4-20°)4-4cos(x4-20°)cos30°-4sm(x4-200)sin30°

=5sin(x+20')+24cos(x+20°)—2sin(x+20°)

=3sin(x+20°)+2A/3COS(X+20°),

：?=小*2后=回

鞏固19：已知函數(shù)門元）=.2》-2sin?x

yr3冗

（1）求函數(shù)/（X）的最小正周期；（2）求函數(shù)/（x）在上的值域

48

27r

所以函數(shù)/（X）的最小正周期T=q=兀

（2）因?yàn)?/p>

所以2x+；兀e[-?兀M,

44

所以sin（2x+；）€[-（」],所以/（x）=血sin（2x+^）-le[-2,0—1]

易錯(cuò)點(diǎn)21解三角形時(shí)忽略角的取值范圍致誤

例題21：在ZXABC中，若C=33,則二的取值范圍為

A.(0,3)B.(1,3)

C.(0,3]D.(1,3]

【錯(cuò)解】選A.

csinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsinB-2n…

bsinBsinBsinB

Q0<cos2B<1,.\-1<4cos28—1<3,由〃>0,c>0,可得0<上<3.

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中沒有考慮角8的取值范圍，誤認(rèn)為角8的取值范圍為（0。,180。）.

【試題解析】由正弦定理可得

csinCsin33sinIBcosB+cos2BsinB

cos*B+cos2B=4cos*5-1,

bsinBsin5

?r+B+C=180M=3S.—<45°，￥<gB<L

鞏固2（）：已知a,2a-l,2a+1是鈍角三角形的三邊，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為.

,a>Q

【解析】因?yàn)椤?a-1,2a+1是三角形的三邊，所以，即a>g①，

2a+l>0

所以247+1是三角形的最大邊，

設(shè)其所對(duì)的角為6（鈍角），

則8$。=，+（2：,（2"+1）一<0,化簡(jiǎn)得8。<（）,解得0<。<8②.

2a（2a-l）

a+2。+1〉2。一1

要使1構(gòu)成三角形，需滿足<。+2。一1〉2。+1,即a>2③.

2。—1+2。+1〉。

結(jié)合①②③，可得2<a<8.

易錯(cuò)點(diǎn)22零向量的特殊性

例題22：給出下列命題：

①向量而的長(zhǎng)度與向量麗的長(zhǎng)度相等.

②向量a與b平行，則a與方的方向相同或相反.

③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同.

④零向量與任意數(shù)的乘積都為零.

其中不正確命題的序號(hào)是.

【錯(cuò)解】④

【錯(cuò)因分析】解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要

考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.

【髓解析】①君與重是相反向量、模相等，正確；②由零向量的方向是任意的且與任意向量平行，不

正確；③相等向量大小相等、方向相同，又起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)相同，正確；④零向量與任意數(shù)的乘積都為

零向量，不正確，故不正確命題的序號(hào)是②④.

易錯(cuò)點(diǎn)23忽視平行四邊形的多樣性失誤

例題23：已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0).(3,0),(1,-5),求第

四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

【錯(cuò)解】設(shè)4(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(%,y),；四邊形為平行四邊

l-x=4

形，.?.麗=反，又?.而=(4,0),DC=(1-X,-5-y),?

-5-^=0'

解得4-3,產(chǎn)-5,???第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,-5)

【錯(cuò)因分析】此題的錯(cuò)解原因?yàn)樗季S定勢(shì)，錯(cuò)誤的認(rèn)為平行四邊形只有一種情形，在解題

思路中出現(xiàn)了漏解,實(shí)際上，題目的條件中只給出了平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，并沒有給出相

應(yīng)的順序，故可能有三種不同的情形.

【試題解析】如圖所示，設(shè)A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,>■).

①若四邊形A8C2為平行四邊形，則西=斤，而碣=(x+1,y),BC=(-2,-5).

l+x=-2x=-3

由西=而，得<3,-5).

。=一5y=~5

②若四邊形/CD廿為平行四邊形，則方=恒.而罰=

(4,0),CD(x-1,y+5).

-l+x=4.卜=5

：.D2⑸-5).

v+5=0''[v=-5

1+x=2fx=l

1產(chǎn)5[y=5

：.D3(1,5).

鞏固21：已知梯形ABCD,其中AB//CD,且DC=2AB,三個(gè)頂點(diǎn)A(l,2),B(2,l),C(4,2),

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

【解析】???在梯形A3C。中，￡