概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)冊(cè)電子版

..院〔系班姓名學(xué)號(hào)第一章概率論的基本概念練習(xí)1.1樣本空間、隨機(jī)事件一、寫(xiě)出以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：1.從兩名男乒乓球選手和三名女乒乓球選手中選拔一對(duì)選手參加男女混合雙打,觀察選擇結(jié)果。2.10件產(chǎn)品中有4件次品,其余全是正品,從這10件產(chǎn)品中連續(xù)抽取產(chǎn)品,每次一件,直到抽到次品為止,記錄抽出的正品件數(shù)。二、有三位學(xué)生參加高考,以表示第人考取〔.試用表示以下事實(shí)：1.至少有一個(gè)考??；2.至多64738291有兩人考??；3.恰好有兩人落榜。三、投擲一枚硬幣5次,問(wèn)下列事件的逆事件是怎樣的事件？1.表示至少出現(xiàn)3次正面；2.表示至多出現(xiàn)3次正面；3.表示至少出現(xiàn)3次反面。四、袋中有十個(gè)球,分別編有1至10共十個(gè)號(hào)碼,從其中任取一個(gè)球,設(shè)事件表示"取得的球的號(hào)碼是偶數(shù)",事件表示"取得的球的號(hào)碼是奇數(shù)",事件表示"取得的球的號(hào)碼小于5",則分別表示什么事件？五、在某系的學(xué)生中任選一名學(xué)生,令事件A表示"被選出者是男生"；事件B表示"被選出者是三年級(jí)學(xué)生"；事件C表示"被選出者是運(yùn)動(dòng)員"?！?說(shuō)出事件的含義；〔2什么時(shí)候有恒等式;<3>什么時(shí)候有關(guān)系式正確;〔4什么時(shí)候有等式成立。院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)1.2概率、古典概型填空1.已知事件,的概率,積事件的概率,則,,,,,.2.設(shè)為兩個(gè)事件,,,則.3.設(shè)為兩個(gè)任意不相容事件,,則.4.設(shè)為兩個(gè)事件,,0.2,則.5.已知0,,則全不發(fā)生的概率為.二、設(shè)是兩事件,且,,求<1>在什么條件下,取到最大值？<2>在什么條件下,取到最小值？三、一批產(chǎn)品20件,其中3件次品,任取10件,求<1>其中恰有一件次品的概率；<2>至少有一件次品的概率。四、甲、乙兩艘油輪駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘油輪的碼頭,它們都將在某日8時(shí)至20時(shí)抵達(dá)碼頭。甲輪卸完油要一小時(shí),乙輪要兩小時(shí)。假設(shè)每艘油輪在8時(shí)到20時(shí)的每一時(shí)刻抵達(dá)碼頭的可能性相同。1.求甲乙兩輪都不需等候空出碼頭的概率；2.設(shè)表示甲、乙同一時(shí)刻抵達(dá)碼頭,問(wèn)是否是不可能事件,并求。五、某年級(jí)有10名大學(xué)生是1986年出生的,試求這10名大學(xué)生中1.至少有兩人是同一天生日的概率；2.至少有一人在十月一日過(guò)生日的概率。六、設(shè)求證：七、設(shè)為兩個(gè)事件,,,求。院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)1.3條件概率、全概率公式一、填空1.設(shè)為兩個(gè)事件,,,,且都是已知的小于1的正數(shù),則,,,,,.2.設(shè)為兩個(gè)事件,,,則.3.設(shè)為一完備事件組,且,,則,.4.已知為一完備事件組,,,,,,則.5.設(shè)為隨機(jī)事件,且,,,則,.二、一臺(tái)電子儀器出廠時(shí),使用壽命1000小時(shí)以上的概率為0.6,1500小時(shí)以上的概率為0.4,現(xiàn)已使用了1000小時(shí),求還能使用500小時(shí)以上的概率。三、有十箱產(chǎn)品,已知其中三、二、五箱分別是第一、第二、第三車(chē)間生產(chǎn)的,各車(chē)間的次品率分別是0.2,0.1,0.05,現(xiàn)在任取一箱,再?gòu)闹腥稳∫患?.求此件為次品的概率；2.如果此件為次品,問(wèn)是哪個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的可能性最大？四、人群中患肝癌的概率為0.0004.用血清甲胎蛋白法檢查時(shí),患有此病被確診的概率為0.95,未患被誤診的概率為0.01.問(wèn)普查時(shí),任一人被此法診斷為肝癌患者的概率有多大？？設(shè)此人被此法診斷為肝癌患者,問(wèn)此人真患有肝癌的概率有多大？比未作檢查時(shí)的概率增大了多少倍？五、有兩箱同型號(hào)的零件,箱內(nèi)裝50件,其中一等品10件；箱內(nèi)裝30件,其中一等品18件.裝配工從兩箱中任選一箱,從箱子中先后隨機(jī)地取兩個(gè)零件〔不放回抽樣。求：<1>先取出的一件是一等品的概率；<2>在先取出的一件是一等品的條件下,第二次取出的零件仍是一等品的概率。六、為了防止意外,在礦內(nèi)同時(shí)裝有兩種報(bào)警系統(tǒng)〔I和〔II,每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí),系統(tǒng)〔I和系統(tǒng)〔II有效的概率分別為0.92和0.93.在系統(tǒng)〔I失靈的情況下,系統(tǒng)〔II仍有效的概率為0.85,求兩個(gè)警報(bào)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率。七、設(shè)一人群中有37.5%的人血型為A型,20.9%為B型,33.7%為O型,7.9%為AB型,已知能允許輸血的血型配對(duì)如下表,現(xiàn)在在人群中任選一人為輸血者,再選一人為需要輸血者,問(wèn)輸血能成功的概率是多少？〔V：允許輸血；X：不允許輸血。輸血者受血者A型B型AB型O型A型√×√√B型×√√√AB型√√√√O(píng)型×××√院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)1.4獨(dú)立性填空將一枚骰子獨(dú)立地先后擲兩次,以和分別表示先后擲出的點(diǎn)數(shù),設(shè),,則〔1;<2>；〔3。2.設(shè)為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件,,,則。3.,為相互獨(dú)立的事件,則〔1至少出現(xiàn)一個(gè)的概率為；〔2恰好出現(xiàn)一個(gè)的概率為；〔3最多出現(xiàn)一個(gè)的概率為。4.設(shè),0.6,那么：〔1若為互不相容的事件,則；〔2若為相互獨(dú)立的事件,則；〔3若,則.二、設(shè)5件產(chǎn)品中2件是次品3件是正品,對(duì)每件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),令表示被檢驗(yàn)到的那件產(chǎn)品是次品,則2/5,3/5.對(duì)一件產(chǎn)品作檢驗(yàn)可看成一次試驗(yàn),于是作了5次試驗(yàn),據(jù)二項(xiàng)概率公式可知,事件恰好發(fā)生2次的概率為.因此這5件產(chǎn)品中恰有2件次品的概率為0.3456,另一方面這5件產(chǎn)品恰有2件次品是已有的事實(shí),因此其概率為1,從而1=0.3456,請(qǐng)找出理由推翻此"等式"。三、甲、乙、丙三人各自去破譯一個(gè)密碼,他們能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4,試求：<1>恰有一人譯出的概率；〔2密碼能破譯的概率。四、某種電阻的次品率為0.01,作有放回抽樣4次,每次一個(gè)電阻,求恰有2次取到次品的概率和至少有3次取到次的概率。五、某類(lèi)燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.2,求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率。六、加工某一零件共需要經(jīng)過(guò)三道工序,設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別是0.02,0.03,0.05,假設(shè)各道工序是互不影響的,問(wèn)加工出來(lái)的零件是次品的概率是多少？七、甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員,投籃命中率分別為0.7及0.6,每人各投了3次,求二人進(jìn)球數(shù)相等的概率。八、若事件相互獨(dú)立,證明也相互獨(dú)立院〔系班姓名學(xué)號(hào)自測(cè)題〔第一章填空〔每空2分1.幾何概率中,每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生具有,而樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是。2.若事件,則稱(chēng)互斥。若又,則稱(chēng)互逆。3.若事件,則,否則.4.設(shè)為兩事件且,則,當(dāng)時(shí),.5.事件發(fā)生,而事件和至少發(fā)生一個(gè)這一事實(shí)可表示成。事件發(fā)生,必導(dǎo)致事件和至少發(fā)生一個(gè)這一事實(shí)可表示成。6.表示投擲10次錢(qián)幣時(shí),至少出現(xiàn)4次正面,則表示正面或反面。7.在圖書(shū)館任取一本書(shū),設(shè)=｛是數(shù)學(xué)書(shū)｝,=｛是中文版的｝,=｛90年后出版的｝,則當(dāng)圖書(shū)館里時(shí),有,當(dāng)時(shí),有.二、判斷正誤〔每小題3分1.若事件的概率,則.<>2.對(duì)任兩事件,有.<>3.若=｛男足球隊(duì)員｝,則=｛女足球隊(duì)員｝?！?.若事件有關(guān)系,則.<>5.若事件相互獨(dú)立,則也相互獨(dú)立。<>6.口袋中有四個(gè)球,其中三個(gè)球分別是紅、白、黃色的,另一個(gè)球染有紅、白、黃三色?，F(xiàn)從口袋中任取一球,觀察其顏色。令=｛球染有紅色｝,=｛球染有白色｝,=｛球染有黃色｝,那么事件相互獨(dú)立。<>三、寫(xiě)出以下兩個(gè)試驗(yàn)的樣本空間〔每小題5分1.10件產(chǎn)品有3件是次品,其余均是正品。每次從中任取一件〔取后不放回,直到3件次品全取出為止,記錄取的次數(shù)。2.30名學(xué)生進(jìn)行一次考試,觀察平均成績(jī)〔個(gè)人成績(jī)采用百分制。四、〔12分設(shè)兩相互獨(dú)立的事件都不發(fā)生的概率為1/9,發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等,求。五、〔10分一個(gè)班組有7男3女十名工人,現(xiàn)要派4人去學(xué)習(xí),求4名代表中至少有2名女工的概率。六、〔10分甲、乙、丙三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,他們能單獨(dú)譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4,求此密碼未被丙譯出而甲、乙至少有一個(gè)譯出的概率。七、〔12分一種產(chǎn)品的正品率為0.96,使用一種簡(jiǎn)易方法檢驗(yàn)時(shí),將正品判為正品的概率為0.98,將次品誤判為正品的概率為0.05?，F(xiàn)任取一件用此法檢驗(yàn)。1.求此件被判為正品的概率；2.當(dāng)判為正品時(shí),求此件確是正品的概率。院〔系班姓名學(xué)號(hào)隨機(jī)變量練習(xí)2.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、填空1.隨機(jī)變量的分布函數(shù)是事件的概率。2．用隨機(jī)變量的分布函數(shù)表達(dá)下述概率：;;;.3.若,,其中,則.二、分析下列函數(shù)中,哪個(gè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)？<1>;<2>;<3>.三、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)有如下形式：,試填上<1>,<2>,<3>項(xiàng)。四、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,求〔1與;<2>.院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)2.2離散型隨機(jī)變量及其分布填空<1>設(shè)隨機(jī)變量的分布列為,則.<2>設(shè)隨機(jī)變量的分布列為13680.20.10.40.3則=.<3>在一批10個(gè)零件中有8個(gè)標(biāo)準(zhǔn)件,從中任取2個(gè)零件,這2個(gè)零件中標(biāo)準(zhǔn)件的分布列是.<4已知隨機(jī)變量只能取-1,0,1,2四個(gè)數(shù)值,其相應(yīng)的概率依次為,則=.<5>設(shè)隨機(jī)變量的分布律為,為常數(shù),試確定=.二、設(shè)在15只同類(lèi)型的零件中有2只是次品,在其中取3次,每次任取一只作不放回抽樣,以表示取出的次品數(shù),求的分布列。三、某一設(shè)備由一個(gè)獨(dú)立工作的元件構(gòu)成,該設(shè)備在一次試驗(yàn)中每個(gè)元件發(fā)生故障的概率為0.1。試求出該設(shè)備在一次試驗(yàn)中發(fā)生故障的元件數(shù)的分布列。四、為自然數(shù)是一隨機(jī)變量的概率分布嗎？為什么？五、一大樓裝有5個(gè)同類(lèi)型的供水設(shè)備,調(diào)查表明,在任一時(shí)刻每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1,求在同一時(shí)刻〔1恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率；〔2至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率。六、設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.001。如果射擊5000次,試求擊中兩次或兩次以上的概率。七、有2500名同一年齡和同一社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn)。在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時(shí)家屬可以保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金,求：〔1保險(xiǎn)公司虧本的概率；〔2保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率。院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布填空<1>設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,則.<2>設(shè),且,則。<3>設(shè)隨機(jī)變量的概率密度,則。<4>設(shè)測(cè)量某一目標(biāo)的距離時(shí)發(fā)生的隨機(jī)誤差為〔米,且,則在一次測(cè)量中誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30米的概率為。<5>設(shè)電阻的阻值為一個(gè)隨機(jī)變量,且均勻分布在900歐～1100歐,則的概率密度函數(shù)為,分布函數(shù)為。<6>若隨機(jī)變量的概率密度為則,,,.<7>設(shè)服從正態(tài)分布,則,,若,則.<8>已知電氣元件壽命服從指數(shù)分布：假設(shè)儀器裝有5個(gè)這樣元件且其中任一個(gè)元件損壞時(shí)儀器即停止工作,則儀器無(wú)故障工作1000小時(shí)以上的概率為.二、某學(xué)生求得一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為試問(wèn)該學(xué)生計(jì)算是否正確。三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為試求分布函數(shù)及.四、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為.求〔1系數(shù);<2>;<3>的分布函數(shù)。五、設(shè)某儀器有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件,其壽命〔小時(shí)都服從同一指數(shù)分布,概率密度為試求在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi),至少有一只元件損壞的概率。六、設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布,現(xiàn)對(duì)進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè),求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率。七、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為試確定常數(shù),并求其分布函數(shù)院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、填空1.設(shè)的分布列為012341/121/61/31/121/41/12則的分布列為。2.設(shè)可能取值為1,2,并設(shè),令,則的分布列為。3.設(shè)的概率密度為,則的概率密度為。4.設(shè)的概率密度為,則的概率密度為。5.若是正態(tài)總體的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則服從。6.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則的函數(shù)的概率密度。二、設(shè)～,求證也服從正態(tài)分布。三、測(cè)量球的直徑,設(shè)其值服從上的均勻分布,求球的體積的分布密度。四、設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求隨機(jī)變量的分布密度。五、已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：-2-10121/51/61/51/1511/30試求：<1>;<2>的分布列。六、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。七、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。院〔系班姓名學(xué)號(hào)自測(cè)題〔第二章填空〔每小題4分1.將一枚勻質(zhì)硬幣拋擲三次,設(shè)為三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),則。2.設(shè)在內(nèi)服從均勻分布,則落在內(nèi)的概率為。3.設(shè)的概率密度為則=。4.設(shè)的分布函數(shù)為則的概率密度為。5.若某交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布,則每分鐘恰有8次呼喚的概率為。二、判斷正誤〔每小題4分1.函數(shù)一定是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)；〔1230.30.40.52.設(shè)則它必為某隨機(jī)變量的分布列；〔3.設(shè)的分布密度為,則當(dāng)時(shí),有;<>4.若～,則也是一隨機(jī)變量,且～<>三、〔12分設(shè)～分布,其分布列為,其中,求的分布函數(shù),并作出其圖形。四、〔13分設(shè)服從泊松分布,且,求.五、〔15分設(shè)一支步槍擊中飛機(jī)的概率為0.005,試求當(dāng)1000支步槍同時(shí)開(kāi)火時(shí),1.飛機(jī)被擊中的概率；2.飛機(jī)恰中一彈的概率。六、〔12分隨機(jī)變量在內(nèi)的分布密度為,在外為0,求隨機(jī)變量的分布密度。七、〔12分若隨機(jī)變量在內(nèi)服從均勻分布,則方程有實(shí)根的概率為多大？院〔系班姓名學(xué)號(hào)第三章隨機(jī)向量練習(xí)3.1二維隨機(jī)向量及其分布填空1.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,則;2.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,則;3.設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,則二維隨機(jī)變量的概率密度為;4.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,則二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為;5.用的聯(lián)合分布函數(shù)表示下述概率：〔1;〔2;〔3;〔4.二、擲二枚硬幣,以表示第一枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),表示第二枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),試求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。三、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度,試求。四、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度,求:<1>系數(shù);<2>落在內(nèi)的概率。五、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律如下表：011/41/421/6試求：〔1的值；〔2的聯(lián)合分布函數(shù).院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)3.2-3.3二維隨機(jī)變量的邊緣分布和條件分布設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度試確定常數(shù)；2.求邊緣概率密度。二、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量在以原點(diǎn)為中心,各邊平行于坐標(biāo)軸,邊長(zhǎng)為和的矩形內(nèi)服從均勻分布,求：1.的概率密度；2.關(guān)于和的邊緣分布密度。三、已知的概率密度函數(shù)為,而且在及的條件下關(guān)于的條件分布如下表：試求：1.二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律；1231/72/74/71/21/31/62.關(guān)于的邊緣分布；3.在的條件下關(guān)于的條件分布律。四、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度求條件概率密度.院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性填空1.設(shè)的聯(lián)合分布律如下表所示,則時(shí),與相互獨(dú)立。101/1511/521/53/10離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：<1,1><1,2><1,3><2,1><2,2><2,3>1/61/91/181/3若與獨(dú)立,則,。二、設(shè)的聯(lián)合分布為0109/256/2516/254/25判斷與是否相互獨(dú)立。三、設(shè)的概率密度為：試求關(guān)于與的邊緣分布密度,且問(wèn)與是否相互獨(dú)立。四、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為1/91/91/3若與相互獨(dú)立,求參數(shù)的值。五、設(shè)為上的均勻分布,求1.關(guān)于與的邊緣分布密度；2.判斷與是否獨(dú)立。六、設(shè)與是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,在〔0,0.2上服從均勻分布,的概率密度是1.求與的聯(lián)合分布密度；2.求.院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)3.5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布填空1.設(shè)與是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為,則的分布函數(shù)是,的分布函數(shù)是。2.設(shè)隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立,且,,則仍具有正態(tài)分布,且有。3.已知隨機(jī)變量,,且與是相互獨(dú)立的,,則。二、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與的分布律分別為130.30.7240.60.4求的分布律。三、兩個(gè)相互獨(dú)立的均勻分布的隨機(jī)變量與的分布密度分別為：求的概率密度。四、設(shè)與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明服從參數(shù)為的泊松分布.五、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為,試求的分布函數(shù)和分布密度。六、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為,求的分布函數(shù)。七、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且服從同一分布,證明：八、設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命〔以小時(shí)計(jì)近似地服從分布,隨機(jī)地選取4只,求其中沒(méi)有一只壽命小于180的概率。院〔系班姓名學(xué)號(hào)自測(cè)題<第三章>一、填空〔每小題4分1.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律如表〔1,則.2.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律如表〔2,則.0101/61/311/921/181/9123410.100.1020.300.10.2300.200<1><2>3．設(shè)與的分布律分別為0101,且與相互獨(dú)立,則的分布律為.4.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與均在[0,1]上服從均勻分布,則的概率密度為.二、〔15分設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：確定常數(shù);求的分布函數(shù)。三、〔10分設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：,求關(guān)于、的邊緣分布密度。四、〔15分設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且它們的概率密度分別為：,試求：1.的聯(lián)合分布密度與分布函數(shù)；2..五、〔10分設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：求的概率密度,且問(wèn)與是否相互獨(dú)立？六、〔10分設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與的概率密度分別為：,試求的分布密度。七、〔10分設(shè)隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布,試求隨機(jī)變量的概率密度.八、<14分>設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：確定常數(shù);求邊緣分布密度;求的聯(lián)合分布密度；討論與的獨(dú)立性；求.院〔系班姓名學(xué)號(hào)隨機(jī)變量的數(shù)字特征練習(xí)4.1數(shù)學(xué)期望填空1.設(shè)隨機(jī)變量的分布律為：0120.20.10.30.4則;;;.2.隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則;;;.3.設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為：則;;;.4.設(shè)隨機(jī)變量~,則.5.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則.6.設(shè),則.7.若隨機(jī)變量的期望存在,則.8.設(shè)都服從[0,2]上的均勻分布,則.9.設(shè)的聯(lián)合分布律如下表所示,則.012-11/101/207/2023/101/101/10二、對(duì)一臺(tái)儀器進(jìn)行重復(fù)測(cè)試,直到發(fā)生故障為止,假定測(cè)試是獨(dú)立進(jìn)行的,每次測(cè)試發(fā)生故障的概率均為0.1,求試驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。三、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,試求數(shù)學(xué)期望.四、對(duì)圓的直徑作近似測(cè)量,設(shè)其值均勻分布在區(qū)間[]內(nèi),求圓面積的數(shù)學(xué)期望。五、平面上點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中,過(guò)點(diǎn)的直線與軸的夾角為,交軸于點(diǎn),已知在上均勻分布,求的面積的數(shù)學(xué)期望。六、設(shè)與是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量,密度函數(shù)分別為：求.院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)4.2方差填空1.設(shè)為隨機(jī)變量,且,則2.設(shè),則3.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,且,,則二項(xiàng)分布的參數(shù),。4.設(shè)隨機(jī)變量的期望存在,且,為常數(shù),則.5.設(shè)隨機(jī)變量服從某一區(qū)間上的均勻分布,且,,則的概率密度為,,.6.設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布,且,則,.7.設(shè)為一隨機(jī)變量,若,則.8.設(shè)隨機(jī)變量的期望為一非負(fù)值,且,,則。9.若隨機(jī)變量,則服從分布。10.若隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且服從相同的兩點(diǎn)分布,則服從分布,且,.二、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為其中為常數(shù),求。三、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,其中的常數(shù),求。四、〔1設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且有設(shè),求.<2>設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且求的分布。五、證明事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的方差不超過(guò)1/4.六、設(shè)的聯(lián)合分布律如下表所示,求123-101/153/1502/155/154/15院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)填空1.設(shè),,,則.2.設(shè)兩隨機(jī)變量與的方差分別為25和16,相關(guān)系數(shù)為0.4,則；。3.設(shè)與是兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其概率分布分別為：,在〔,1上服從均勻分布,則。4.如果存在常數(shù),使,且,那么為。5.如果與滿足,則必有與。二、設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,求。三、設(shè)隨機(jī)變量與的方差分別為25和36,相關(guān)系數(shù)為0.4,求及.四、已知三個(gè)隨機(jī)變量、、中,,設(shè),求.五、設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,試證與是不相關(guān)的,但是與不是相互獨(dú)立的。六、設(shè)與是兩個(gè)隨機(jī)變量,已知,,,,,求：〔1,;〔2,.七、假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間[0,2]上均勻分布,求與的相關(guān)系數(shù)院〔系班姓名學(xué)號(hào)第五章大數(shù)定律和中心極限定理一、設(shè)隨機(jī)變量的方差為2.5,試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)概率的值。二、設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取1000件,求抽得次品數(shù)在90到100件的概率。三、設(shè)某單位有200臺(tái)機(jī),每臺(tái)大約有5%的時(shí)間要使用外線通話,若每臺(tái)是否使用外線是相互獨(dú)立的,問(wèn)該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線,才能以90%以上的概率保證每臺(tái)機(jī)需要使用外線時(shí)不被占用。四、設(shè)一大批電子元件中,合格品占,從中任意選購(gòu)6000個(gè),試問(wèn)把誤差限定為多少時(shí),才能保證合格品的頻率與概率之差的絕對(duì)值不大于的概率為0.99？此時(shí),合格品數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi)？五、如果為正的單調(diào)遞增函數(shù),而存在,試證明.六、擲均勻硬幣4000次,求正面出現(xiàn)的頻率與概率之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.01的概率。七、設(shè)男孩出生率為0.515,求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？院〔系班姓名學(xué)號(hào)自測(cè)題〔第四、五章填空設(shè)在上服從均勻分布,其分布密度,設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布,其分布密度,設(shè),則當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí),則與相關(guān)；當(dāng)與不相關(guān)時(shí),則與獨(dú)立。設(shè)與的方差為相關(guān)系數(shù),則.二、設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度,求數(shù)學(xué)期望,方差,協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)。三、已知隨機(jī)變量的概率分布密度為,求及。四、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布密度為,求及。五、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且都服從密度為的分布,求<1>的分布密度；〔2.六、設(shè)隨機(jī)變量服從泊松分布,且,證明.七、設(shè)為連續(xù)隨機(jī)變量,概率密度滿足：當(dāng)時(shí),,求證：.院〔系班姓名學(xué)號(hào)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念練習(xí)6.1隨機(jī)樣本填空：1.設(shè)為總體,若滿足條件和,則稱(chēng)為從總體得到的容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,簡(jiǎn)稱(chēng)為樣本。2.樣本均值樣本方差二、在五塊條件基本上相同的田地上種某種家作物,畝產(chǎn)量分別為92,94,103,105,106〔單位：斤,求樣本均值和樣本方差。三、設(shè)總體服從均值為的指數(shù)分布,為的一個(gè)樣本,求,.四、設(shè)為〔0—1分布的一個(gè)樣本,,,求,,.五、設(shè)總體,為的一個(gè)樣本,未知,求對(duì)每個(gè)應(yīng)取多大,才能保證.院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)6.2抽樣分布已知總體,其中已知而未知,設(shè)為取自總體的一個(gè)樣本,試指出下面哪些是統(tǒng)計(jì)量,哪些不是統(tǒng)計(jì)量：1.;2.;3.;4.;5.;6.二、從總體隨機(jī)抽取一容量為36的樣本,求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率。三、設(shè)為的一相樣本,求.提示：令,則.四、在總體中隨機(jī)抽取容量為100的樣本,問(wèn)樣本均值與總體均值的差的絕對(duì)值大于3的概率是多少？五、求總體的容量分別為10,15的兩獨(dú)立樣本均值的絕對(duì)值大于0.3的概率。六、查表求出下列諸值：,,,,七、設(shè)是總體的一個(gè)樣本,為未知,而,求.院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)7.1—7.2點(diǎn)估計(jì)和估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)為的一個(gè)樣本,求的極大似然估計(jì)。二、設(shè)為總體的一個(gè)樣本,的密度函數(shù)為,參數(shù)的極大似然估計(jì)與矩法估計(jì)量。三、設(shè)為總體的一個(gè)樣本的密度函數(shù)為,參數(shù)的極大似然估計(jì)與矩法估計(jì)量。四、總體的概率分布為0123其中是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值。五、設(shè)為泊松分布的一個(gè)樣本,試證樣本方差是的無(wú)偏估計(jì),并且,對(duì)于任意值也是的無(wú)偏估計(jì)。提示：六、設(shè)總體的一個(gè)樣本,試適當(dāng)選擇常數(shù),使為的無(wú)偏估計(jì)。提示：院〔系班姓名學(xué)號(hào)練習(xí)7.3區(qū)間估計(jì)填空題1.設(shè)總體,的置信度為置信區(qū)間為。2.設(shè),與均未知,則與的置信度為置信區(qū)間為和。二、隨機(jī)地從一批釘子中抽取16枚,測(cè)得其長(zhǎng)度〔以厘米計(jì)為2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.112.14設(shè)釘子長(zhǎng)分布為正態(tài)的,試求總體均值的90%的置信區(qū)間：若已知厘米；2.若為未知。三、隨機(jī)地抽取某種炮彈9發(fā)做實(shí)驗(yàn),得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為11〔米/秒。設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布,求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的95%的置信區(qū)間。四、測(cè)量鉛的比重16次,得,試求鉛的比重的95%的置信區(qū)間。設(shè)測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布,并知測(cè)量無(wú)系統(tǒng)誤差。五、對(duì)方差為已知的正態(tài)總體來(lái)說(shuō),問(wèn)抽取容量為多大的樣本,方使總體均值的置信度為的置信區(qū)間長(zhǎng)度不大于.院〔系班姓名學(xué)號(hào)自測(cè)題〔第七章填空題〔每空5分共40分1.設(shè)總體的分布含有未知參數(shù),對(duì)于給定的數(shù)依樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量,滿足則叫做置信度為的置信區(qū)間。2.設(shè)是來(lái)自泊松分布的樣本,為未知參數(shù),則的概率分布為；設(shè)時(shí),樣本的一組觀測(cè)值為〔1,2,4,3,3,4,5,6,4,8,則樣本均值為；樣本方差為。3.設(shè)總體服從指數(shù)分布,,為未知參數(shù),是來(lái)自的樣本,則未知參數(shù)的矩估計(jì)量是；極大似然估計(jì)量是。4.設(shè)總體,若均為未知參數(shù),總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為,則的值為。二、〔10分設(shè)總體分布,若使的置信水平為的置信區(qū)間長(zhǎng)度為5,試問(wèn)樣本容量最小應(yīng)為多少？三、〔10分設(shè)總體的分布密度為,為的樣本,求：1.的矩法估計(jì)量;2.,并判斷是否為的無(wú)偏估計(jì)量。四、〔10分設(shè)總體的樣本,試證統(tǒng)計(jì)量：;;都是總體期望的無(wú)偏估計(jì)。五、〔15分設(shè)總體的分布函數(shù)為,其中未知參數(shù)設(shè)為來(lái)自總體的樣本。1.當(dāng)時(shí),求的矩估計(jì)量；2.當(dāng)時(shí),求的極大似然估計(jì)量；3.當(dāng)時(shí),求的極大似然估計(jì)量。六、〔15分設(shè)總體的概率密度為,其中是未知參數(shù),從總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,記.1.求總體的分布函數(shù);2.求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)；3.如果用作為的估計(jì)量,討論它是否具有無(wú)偏性。練習(xí)1.1一、1.2.二、1.;2.;3..三、1.={至多出現(xiàn)2次正面}；2.={至少出現(xiàn)4次正面}；3.={至多出現(xiàn)2次反面}四、五、〔1該生是三年級(jí)男生但不是運(yùn)動(dòng)員；〔2當(dāng)某系的運(yùn)動(dòng)員全是三年級(jí)男生時(shí)；〔3當(dāng)某系除三年級(jí)外其它年級(jí)的學(xué)生都不是運(yùn)動(dòng)員時(shí)；〔4當(dāng)某系三年級(jí)的學(xué)生都是女生,而其它年級(jí)都沒(méi)有女生時(shí)。練習(xí)1.2一、1.0.9,0.3,0.6,0.7,0.2,0.9；2.0.6；3.;4.0.7;5.7/12.二、當(dāng)時(shí),取到最小值為0.3；當(dāng)時(shí),取到最大值0.6。三、;.四、1.；2.,但.五、.六、提示：利用.七、,而故練習(xí)1.3一、1..2.0.54;3.0.2,0;4.1/18;5.0.829,0.988二、。三、1.0.105；2.第一車(chē)間。四、0.010376,0.0376,90。五、1.；2.0.4856。六、0.988。七、61.98%。練習(xí)1.4一、1.1/3,1/15,17/36;2.0.52;3.26/27,4/9,7/27;4.0.3,3/7,0.6.二、5次試驗(yàn)不是相互獨(dú)立的,不能用二項(xiàng)概率公式。三、1.；2.。四、;.五、0.104。六、0.09693七、設(shè){甲進(jìn)球},{乙進(jìn)球},,則.八、略。自測(cè)題〔第一章一、1.等可能性,無(wú)窮的；2.不可能同時(shí)發(fā)生,必然至少有一個(gè)發(fā)生；3.互斥,;4.,獨(dú)立；5.;6.至多3次,至少7次；7.數(shù)學(xué)書(shū)全是90年后出版的中文版的；有外文版90年或90年前出版的數(shù)學(xué)書(shū)。二、1.錯(cuò)2.對(duì)3.錯(cuò)4.對(duì)5.對(duì)6.錯(cuò)。三、1.2..四、。五、。六、七、1.0.9428；2.0.9979。練習(xí)2.1一、1.;2.;3.二、〔1不是,因?yàn)?<2>不是,因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)下降；〔3是,但在不連續(xù),也不是階梯狀曲線,故既非連續(xù)型也非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。三、〔2=1,〔1=〔3=0.四、〔1;<2>..練習(xí)2.20121/4516/4528/45一、1.2.0.3;3.4.2；5.二、01222/3512/351/35三、01230.7290.2430.0270.001四、是。五、1.0.0729；2.0.4095。六、.七、1.0.000069;2.0.986305,0.615961.練習(xí)2.3一、1.2；2.1.96；3.0.4；4.0.4931；5.,;6.3/4,0,1/2,1/2;7.0.5328,0.9710,3;8.二、錯(cuò)。三、;;四、1.;2.;3..五、;六、20/27;七、,練習(xí)2.40121/121/41/121/31/61/12一、1.2.,;3.；4.；5.;6.二、.三、。四、1351/51/61/51/1511/30五、1.0141/57/3017/302.六、七、.自測(cè)題〔第二章一、1.1/2;2.;3.1/2;4.;5.二、1.錯(cuò)；2.錯(cuò)；3.錯(cuò)；4.對(duì)。三、.四、.五、；2.。六、。七、練習(xí)3.1一、1.；2.;3.;4.;5.<1>;<2>;<3>;<4>二、三、。四、1.;2.五、1.;2.一、1.;2.;二、1.；2.；;三、1.12300